高數(shù)-數(shù)一11第講無窮小量比較

第三章函數(shù)的極限與連續(xù)本章 了解函數(shù)極限的概念，知道運(yùn)用“ε－δ”ε－X”第六窮小量一.二.一一.,若若lim0,高階無窮小,o(此時lim若若limC，C0為常數(shù)是同階無窮小O(若若lim C，C0k0為常數(shù)k階無窮小,O(k)此時k是同階無窮小若若lim1,等階無窮小,~等價無窮小必是同階無窮小lim例x0時的幾個無窮小量的比較例

2x0 2

0

o(x)

(x

(2)

x2x

sin

2xx0

x0

x0

x2x

O(

(x(3)

1cos

2sin22x0 sin2 x0 sin22sin2 lim x0 x2

1sin2 1cos

sn2

(x(4)

x

sinxx

sinx~

(x例a例

1

(x0

a證證

ax11

令yax

1,

x0時

y0x

y)

ln(1y)ax1

y

有何想故

y

ln(1y)

y

1y)ax

1

(x由該例的證明過程,得

x)~

(x

例因為lim1例

x2

12所以1cosx=O(x2 (x0)1cosx~1x22(x0例xsin例 lim x0

x

sinx不存在,但不是無窮大 x0時,

xsinx

x二二.定定設(shè)在某一極限過程中

~,

~

lim

證lim證

a

lim

lim

a lim

0,

a

lim

0

lim

綜上所述

lim

定定設(shè)在某極限過程中,限過程中的第三

~

z是該

za

或為

z證證

za,

z

z

由定1,

,limz綜上所述33設(shè)在某極限過程中~,~~例例

xsinx

1.2

xsinx

xx

(x

0時

tanx~

sinx

將常用的等階無窮小列設(shè)在某極限過程

(x)

0,sin(x)

~(x)

(x)

~(x)

tan(x)

~(x)arctan(x)

~(x)

ln(1

~(x)

e(

1~(x)(1

1

n(x)

1(x)

1

(x)

a(

1~(x)ln1cos(x)

2(x)~2

m1(x)

1

(x)m

tan(x)sin(x)

3(x)~2,

nZ

a0為常數(shù)例例x

tan3x5x解解

lim3xx0

5x

x05x 例例x

x2sinx解解x

x2sinx

limx2x 1例1例

2sinx0

tan1解1解

2sinx0

tan

1ln(1

2sin

limx0

tan xx

tanx0

lim2x x0

22例lim例x

ln1

2x3解lim解x

ln1

2x3

xx

x2x32x例求例

eax

ebx

，ax0

axsinbx解解

eax

ebx

ebx(e(ab)

x0

axsinbx

x0

2cos

b)x

(ab)x和差化 ee

e(ab)x1x0

2cos

2

x0

(ab)x212x0

(ab)x1(ab)x2

1m1nm1n1例求x0 解解

mm1

n1n1(m1

1)x

1

1 1m1n1m1n11ax 1bx

ab 例證明：若在某極限過程中0,例且0,則~的充要條件是lim證證在某極限過程中若~,

lim1

1

lim

11反之

lim

0lim

(

1

10~35x235x25x3例

0時

x的幾階無窮小量解2解2 x3

x335x235x25x335355x22x3

355x355x3limf(x)xkx

x的3535x25x3

335x O(x2323xx例xx例

1

x)解x1解y

x時

y0

12

y1

1y)y0

12

1

1y1 110

例lim1cos(1cos2x例 x4解x2解1cosx2

(x

0),

2x4(2x)2

2x4

(2x)48x4

2例lim(1例

exsin

x)1cosxx2解解

x)~x

1cosx2

(x

0)lim(1

sin

x)1cos

ln(1

sin

x)

1cos

2

sin2xx2

lim

sinx2

xe2這樣做行不行xlimx

sin2xx2

1

x0

exsin2x1

x2.lim(1

exsin

x)1cos

lim(1

x2)1cos

x2)

e2.請看下面的定理

(1cosx

1x22

(x

定定設(shè)

為某極限過程中的兩個等價無窮小量

lim(x)

)(

lim(1)(x)

證證

)(

elimln(1)(x

elim(x)ln(1等價替elim(x) elim(等價替還可得到:若~,elim還可得到:若~,lim(1)(x).例例

x)(1

x)(1

sin

(nN) (1sin2m1解 1~m1解sin3sinsin3sin

(x nsinnsin原式

1sin

1sin

1sin2lim1

x1)11

x1)11

1sin

1sin

1sin211112 n例例

ex2cos.

解解

ex21

1cos

ex21

1cos

(cos

2 2

lim1cosx0cosx1x0x0時,1cosxx22 ln(1x)~

x0cosx1a1

a1

a1

求lim

(a1,a2,

a1

a1

a1解解

exp{

nxln nn a1xa1

a1

limnxln

1

a1

a1

a1

x0x0時ln(1x)~xax1~xlna

nx

exp{lim[x(a1

1)

x(a1

1)

x(a1

exp{ln

ln

lnan}

a1a2ann1n1例

0時

ax2

1

解由x解

時ax2ax2x22

~x;

1cosx~x,222

ax2

1

2a

故a3.例例

(1x

cosn

的斂散性.(x>0為常數(shù)2x22解由于解

1 n

2n2

x n2x2

n2 0

(xn n

n=2P級數(shù),它是收斂的 原級

(1

cosxn

已知

f(x)

存在,

1

(x)sin

1