材料力學(xué)課件楊大方-0105梁彎曲時位移

第五章梁彎曲時的位 §5-1梁的位移——§5-2§5-3*§5-4§5-5梁的剛度校核·§5-61研究目1決梁的剛度問2解靜不定3研究穩(wěn)定問題打基§5-1梁的位移——撓度和轉(zhuǎn)11C(即軸線上的點)x軸方向的線位 y

w撓22橫橫截面對其原來位置的角位移,稱為該截面的轉(zhuǎn)角.用表AACBxyw撓度轉(zhuǎn)角梁變形梁變形后的軸線稱為撓曲線3wf(式中,x為梁變形前軸線上任一點的橫坐標,wACACBy轉(zhuǎn)角撓曲ww撓度44

w'

w'(x)ACACByw撓轉(zhuǎn)角撓曲第五章梁彎曲時的位直梁彎曲時的撓度和轉(zhuǎn)角這兩個位移不但與梁的彎曲所受的外力偶之矩也相等，顯然它們的變形程度(也就是撓曲線的曲率大小)相同，但兩根梁相應(yīng)截面的撓度和轉(zhuǎn)角則明顯不同。7撓度撓度向下為正,向上為負轉(zhuǎn)角自x轉(zhuǎn)至切線方向,順時針轉(zhuǎn)為正,逆時針轉(zhuǎn)為負yACACB轉(zhuǎn)角w撓撓曲1第1§§5-2梁的撓曲線近似微分方程及其積 9第五章梁彎曲時的位生影響。但工程上常用的梁其跨長l往往大于橫截面高度hx Mxx第五章梁彎曲時的位11(1w2(1w232

M(x)M

第五章梁彎曲時的位M 再注意到在圖示坐標系中，負彎矩對應(yīng)于正值w"應(yīng)于負值的w"

MxwMxwMx第五章梁彎曲時的位wwMxEIwEIwMx后進行積分，再利用邊界條件(boundarycondition)確定積分第五章梁彎曲時的位 EIwEIwMxdxEIwEIwMxdxdxC1x第五章梁彎曲時的位AAB BA第五章梁彎曲時的位(constraintcondition)外，還需利用相鄰兩段梁在交界處的連續(xù)條件(continuitycondition)。這兩類條件統(tǒng)稱為邊連續(xù)條件：分段處撓曲軸應(yīng)滿足的連續(xù)、光滑條FBC$撓曲軸在B、C

w左第五章梁彎曲時的位例題5-1試求圖示等直梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，第五章梁彎曲時的位解：該梁的彎矩方程Mx

Mx

x

Flx

x222x3EIwF

C1x6該梁的邊界條件為：在 處w

0，w

從而有轉(zhuǎn)角方程

w

第五章梁彎曲時的位

w

第五章梁彎曲時的位可見該梁的max和wmax均在x=l的自由端處。于是

|xl

Fl

Fl2

w|xl

Fl

Fl

第五章梁彎曲時的位EIwEIwMxdxEIwEIw[[Mxdx]dxC1x

EIw|x0

C2

EIw|x0

此例題所示的懸臂梁，0=0，w0=0C1=0，C2=0第五章梁彎曲時的位例題5-2試求圖示等直梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，第五章梁彎曲時的位解：該梁的彎矩方程

ql 2

2

q2 q

q

C1x2

12第五章梁彎曲時的位x=0w=0，x=lw=0

C2

EIw|xl

ql

l

C1l2 12ql3 C1

24，C2從而有轉(zhuǎn)角方程

w

4x3

w

x3第五章梁彎曲時的位根據(jù)對稱性可知，兩支座處的轉(zhuǎn)角A及B的絕對值

B

ql3ql2

l

l3

5ql

w|xl2

24EI

2

2

384EI

例題5-3試求圖示等直梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，解：約束baFAFl，F(xiàn)BFbabbM1x

FAxFl

0

xaM2x

FAxFxa

bxFxaal

xl左段梁0

xa

右段梁a

xl

xFbl

2x

bxl

Fxa

x2

Fx

b

x

bx3

2Fx6

C2在x=a支座約束條件：在x=0w1=0x=l

D1w1|x=0=0D1

D2w2|x=l=0

|xl

bl3

F

6

C2l

b2

C

b2

(0

x

(a

xl)1

1l3

b2x2

2

x

3

b2w1

x2

w

lxa3x3l2b2

Fabl 1|x0

B2

|xl

Fabla

Fabla 根據(jù)圖中所示撓曲線的大致形狀可知，最大撓度

0轉(zhuǎn)角方程

l2b23l2b231

aa2baa2b l2b2

l2 l2b2Fbl

b2l2相比可略去不計時有Fblwmax

3lx13l

x

l0.500l2中點C)的撓度wCwC

w1|xl2

2

max和最大撓度wmaxmax

B

Fl

wmax

第五章梁彎曲時的位§§5-3按疊加原理計算梁的撓度和 原理(principleofsuperposition)。例題5-4一抗彎剛度EI的簡支梁受荷載如圖所示，試疊加原理求梁跨中點的撓度wC和支座處橫截面A,BmqmqACl 解：將梁上荷載分為兩項簡的荷載,如圖所

BBwC

4

ml

θA

θAqθ

Aq

ql(

ml) mABmABCllθBθBqθ

ql

6EI例題5-5試按疊加原理求圖a所示等直梁的跨中截面wC和兩支座截面的轉(zhuǎn)角AB。解：此梁wC及A，B實際上可不按疊加原理而直接 C正對稱 C

5ql

A1

q/2l3

ql3

q/

ql3 在集度為q/2 稱均布C wC2注意到稱荷載作用下跨中截面不僅撓度為零，而且該梁AC和右半跨梁CB分別視為受集度為q/2的均布荷載作l/2的簡支梁。于是利用附錄Ⅳ表中序號8情況 ql3 A2

B2

wC

0

5ql

A

ql3

ql3

B

B

ql3

ql3

7ql3 ABC例5-6求圖示梁C截面的撓度ABCaaaABC解ABC

Bq Bq

q(2a)4 C

B2a

7qa4

B

2qa4

C

例5-7：EI=常值wcABlABl2Cl2ABl2CABl2Cl2 1C2C, ql例題5-8試按疊加原理求圖a所示等直外伸梁其截面的轉(zhuǎn)角B，以及A端和BC段中點D的撓度wA和wD 轉(zhuǎn)角資料，將圖a所示外伸梁看作由懸臂梁(圖b)和簡支 S S

MB

12

qa2 應(yīng)與 和M

附錄Ⅳ中的資料求Bq，BM和wDq，wDM并疊加后得到的就是原外伸梁的B和wD。B

BM

2 wAw11qa3

3

a

7qa412

§5-5梁的剛度校核·足剛度條件(stiffnesscondition)：

w 的撓度與跨長之比(簡 wwl跨比)，[]

w

l

機械工程中，對于主要的軸w

l

0.005~0.001rad例題5-10圖a所示簡 兩根槽鋼組成(圖b)，試[]=170MPa，[]=100MPa，E=210GPa，w l

17010在距左支座0.8m處，Mmax=62.4kN·m。梁所需17010Wz

M

62.4

N6

367106而每根槽鋼所需的彎曲截面系數(shù)Wz≥367×10-610-6m3。由型鋼表查得20a號槽鋼其Wz=178cm3，雖略小于所需的Wz=183.5×10-6m3而最大彎曲正應(yīng)力將略高于許用彎曲正應(yīng) 62.4103Nm

2

m3

10

1755%2×22.63kg/m=0.4435最大剪力FS,max=138kN，在左支座以右0.4m范圍內(nèi)各2

1382

69103S*S

73mm100mm50mm10011mm737mm100112104000

SzS

S 73mm11mm10011

10011mm7mm10011

2 104000每根20aIz=1780

//

(69103N)10410-6

Izd

(178010-

m4)(7103其值小于許用切應(yīng)力[]=100MPa，故選用20a號槽鋼滿足切57.6106其值小于許用切應(yīng)力[]=100MPa，故選用20a號槽鋼滿足切 11中給出了簡支梁受單個集中荷載F時，若荷載離左支座wC

Fb3l24b2wC

wl l

增大梁的彎曲剛度(E≈210GPa)，故從增大梁的彎曲剛度來說采用高強度鋼跨長為l的簡支梁受集度為q的滿布均布荷載時，最大M

ql8

0.125ql

ql

M

MCM

MBqa22

0.0214qlqa2

5ql

ql

2 0.000

qa2qa4 q(l

2

wD

ql

a

a

§5-6本節(jié)研究等直梁彈性范圍內(nèi)工作時，由于作用在等直 1M1M

ll