2023年新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)真題源大題分類講義之專題05 利用空間向量解決直線與平面所成的角（解析版）

5.利用空間向量解決直線與平面所成的角一．求線面角的三角函數(shù)值【例1】（2018年·全國卷II）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．【解析】（1）因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，且．連結(jié)．因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，且由知．由知平面．?）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．由已知得取平面的法向量．設(shè)，則．設(shè)平面的法向量為．由得，可取所以．由已知得．所以．解得(舍去)，．所以．又，所以．所以與平面所成角的正弦值為．【方法技巧】利用向量求線面角的方法：（1）分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)．（2）通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．二．折疊問題【例2】（2018年·新課標(biāo)I）如圖，四邊形為正方形，分別為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值.【解析】（1）由已知可得，，，又，所以平面.又平面，所以平面平面；（2）作，垂足為.由（1）得，平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由（1）可得，.又，，所以.又，，故.可得.則為平面的法向量.設(shè)與平面所成角為，則.所以與平面所成角的正弦值為.【方法技巧】平面圖形的折疊問題，是?？碱}型，求解的關(guān)鍵是分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數(shù)量關(guān)系，哪些變，哪些不變．三．結(jié)構(gòu)不良問題【例3】（遼寧省大連市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末）如圖，在四棱錐中，.（1）證明：平面；（2）在下面三個條件中選擇兩個條件：________，求點(diǎn)到平面的距離.①；②二面角為；③直線與平面成角為.【解析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，可知四邊形是平行四邊形所以，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以又，且平面，所以平面；（2）選①②因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)?，所以二面角的平面角為，所以，又因?yàn)?，所以為等邊三角形，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面平面，連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面所以，由題意可知，，所以故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，則，設(shè)平面的法向量為，由得，令，則，點(diǎn)到平面的距離為.選①③因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面，易知為在平面?nèi)的射影，即為與平面所成的角，即，又因?yàn)椋詾榈冗吶切?連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，所以，由題意可知，，所以故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，則，設(shè)平面的法向量為，由得令，則點(diǎn)到平面的距離為.選②③因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面平面，易知為在平面?nèi)的射影，即為與平面所成的角，即，因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)椋远娼堑钠矫娼菫?，所以，所以為等邊三角?連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，所以，由題意可知，，所以，故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，則，設(shè)平面的法向量為，由得，令，則，點(diǎn)到平面的距離為.【方法技巧】結(jié)構(gòu)不良問題，需要仔細(xì)審題，在各種選擇當(dāng)中選一個自己擅長的，或認(rèn)為更有把握的求解.【演練提高】1．（河北省2022屆高三仿真模擬卷（二））如圖，在三棱錐中，，點(diǎn)E為中點(diǎn)，且平面，F(xiàn)為中點(diǎn).（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的余弦值.【解析】（1）證明：因?yàn)?，，點(diǎn)E為中點(diǎn)，∴.又∵平面，平面，∴.又，，平面，∴平面.又平面，∴.（2）由（1）可知，，，兩兩互相垂直，∴.以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，則.∵，F(xiàn)為中點(diǎn)，∴.∴.設(shè)平面的法向量為，則即取，則∴.∴，直線與平面所成角的余弦值為.2．（上海市松江二中2022屆高三下學(xué)期開學(xué)考試）在三棱錐中，已知為中點(diǎn)，平面，.（1）求三棱錐的體積；（2）若點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）連接，在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以，且，因?yàn)槠矫妫?，即三棱錐的高為，所以三棱錐的體積為.（2）由（1）知，且平面，以所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，即，設(shè)直線與平面所成角為，可得，即直線與平面所成角為.3．（山東省2022屆高三第二次學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合檢測）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD是等邊三角形，平面平面ABCD，E，F(xiàn)分別是PC，PB上的點(diǎn)，且，.（1）證明：平面BDE；（2）求直線BC與平面BDE所成角的正弦值.【解析】證明：如圖，取PC的中點(diǎn)Q，連接QF，因?yàn)?，，所以，且E為QC的中點(diǎn).又因?yàn)?，所以，所?又因?yàn)?，所以∽，所以，所?因?yàn)槠矫鍮DE，平面BDE，所以平面BDE.連接AC，交BD于點(diǎn)M，連接AQ，ME，因?yàn)镸為AC的中點(diǎn)，E為QC的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫鍮DE，平面BDE，所以平面BDE.因?yàn)槠矫鍭QF，平面AQF，，所以平面平面BDE.因?yàn)槠矫鍭QF，所以平面BDE.（2）如圖，取AD的中點(diǎn)H，BC的中點(diǎn)G，連接PH，HG，則.因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面PAD，所以平面ABCD，所以直線PH，AD，HG兩兩垂直.以H為原點(diǎn)，以HA所在直線為x軸，HG所在直線為y軸，HP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，，，，，，，設(shè)平面BDE的一個法向量為，則令，得，，所以.設(shè)直線BC與平面BDE所成的角為，則.所以直線BC與平面BDE所成角的正弦值為.4．（山西省呂梁市2022屆高三下學(xué)期開年摸底聯(lián)考）如圖，四棱柱中，四邊形為矩形，且平面平面，，，，，分別為，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求與平面所成的角的正弦值.【解析】（1）如圖，分別取AD和BC的中點(diǎn)H，P連接MH，HP，PE，則，，，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面，故，因?yàn)?，，所以，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.5．（遼寧省沈陽市大東區(qū)2022屆高三下學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測）如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，，平面平面，E，F(xiàn)分別是PD，AB中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若CE與平面PCF成角為30°，求點(diǎn)B到平面CEF的距離d.【解析】（1）取PC中點(diǎn)G，連接EG，BG，因?yàn)镋是PD中點(diǎn)，所以EG是三角形PCD的中位線，所以EG∥CD且EG=CD，又因?yàn)镕是AB中點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形，所以BF∥CD，BF=AB，故EG∥BF，EG=BF，所以四邊形BFEG是平行四邊形，所以EF∥BG，因?yàn)镋F平面PBC，BG平面PBC，所以平面.（2）因?yàn)椋現(xiàn)是AB中點(diǎn)，所以PF⊥AB，因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為AB，所以PF⊥平面ABCD，因?yàn)?，所以以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)C所在直線為x軸，過點(diǎn)F平行于BC的直線為y軸，F(xiàn)P所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，則，，，，設(shè)（），則，，其中平面PCF的法向量設(shè)為，則，解得：，，設(shè)平面CEF的法向量為，則，解得：，設(shè)，則，所以，則6．（2022屆高三數(shù)學(xué)新高考信息檢測原創(chuàng)卷（一））如圖，在四棱錐中，平面，，，，．（1）若是上一點(diǎn)，且，證明：平面；（2）若是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，是線段上的任意一點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值的取值范圍．【解析】（1）證明：如圖，在上取點(diǎn)，使，連接，．∵是上一點(diǎn)，且，∴且．又∵，，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴．又∵平面，平面，∴平面．（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，，，，設(shè)，∴，，．設(shè)與平面所成的角為，平面的法向量為，∴即令得，，∴，∴，當(dāng)時，，當(dāng)時，．∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∴，∴．綜上所述，，∴與平面所成角的正弦值的取值范圍為．7．（華大新聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期1月教學(xué)質(zhì)量測評）如圖所示，在四棱錐中，是面積為的等邊三角形，，，二面角為直二面角.（1）若平面平面，求證：；（2）若點(diǎn)為線段上靠近的三等分點(diǎn)，求直線與平面所成角的余弦值.【解析】（1）證明：延長、交于點(diǎn)，連接，則即為平面與平面的交線.，，故在中，、分別為、的中點(diǎn)，故，所以，，，所以，，故，同理可得，，，故平面，因?yàn)槠矫妫?，即，而，?（2）取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，，則，同理可得，故為等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，，則，，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈冗吶切危瑸榈闹悬c(diǎn)，故，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以，平面，又因?yàn)椋渣c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知可得，可得，所以，、、、，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，，，則，因此，直線與平面所成角的余弦值為.8．（2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)模擬）如圖，是的直徑，是圓周上不同于、的任意一點(diǎn)，垂直所在的平面，四邊形為平行四邊形．（1）求證：平面平面；（2）若，，，求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（1）∵是的直徑，∴,∵垂直所在的平面，∴平面，又∵四邊形為平行四邊形，∴∥，∴平面，∴，又∵，∴平面,∵∥，∴平面，又∵平面，且,∴平面平面．（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知，則，，,，，，,設(shè)平面的法向量為,由,,可得，令，則，，∴，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．9．（云南省保山市2022屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測）如圖的多面體是由一個直四棱柱被平面所截后得到的，其中，，．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正切值．【解析】（1）證明：在中，因?yàn)?，，所以由余弦定理得，，所以，所以，即，在直四棱柱中，平面，平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，，所以平?因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）因?yàn)?，，兩兩相互垂直，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由，得，，所以有，，，，，，，設(shè)為平面的一個法向量，則，即，令，解得，因?yàn)?，，設(shè)直線與平面所成角為，且，所以，從而，所以．所以直線與平面所成角的正切值為．10．（重慶市巴蜀中學(xué)2022屆高三高考適應(yīng)性月考（七））如圖甲所示，在平面四邊形中，，現(xiàn)將沿折起，如圖乙所示，使得．（1）求證：平面平面；（2）取的中點(diǎn)E，的中點(diǎn)F，與交于點(diǎn)G，求與平面所成角的正弦值．【解析】（1）過點(diǎn)A作，連接CO，過點(diǎn)O作．∵，∴.∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面．（2）以所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系：則，，則，設(shè)平面的法向量為，則，設(shè)直線，直線，則，，∴CE：，BF：，∴，∴，∴，設(shè)與平面所成角為，則.11．（河南省焦作市2021-2022學(xué)年高三第一次模擬）如圖，四棱錐的底面ABCD是平行四邊形，底面ABCD，，，平行四邊形ABCD的面積為，設(shè)E是側(cè)棱PC上一動點(diǎn).（1）求證：；（2）記，若直線PC與平面ABE所成的角為60°，求的值.【解析】（1）平行四邊形的面積為，，，所以，解得.在中，由，，，得，所以，即.因?yàn)榈酌?，所以，又，所以平?又平面，所以.（2）以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，，，所以點(diǎn)，，，.設(shè)，由，得.所以，所以，，，即點(diǎn).所以，，.設(shè)平面的法向量為.由得取，得平面的一個法向量為.因?yàn)橹本€與平面所成的角為60°，所以，化簡得，解得或.所以當(dāng)實(shí)數(shù)或時，直線與平面所成的角為60°.12．（江西省宜春市2022屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測）在四棱臺底面ABCD是正方形，且側(cè)棱垂直于底面ABCD，，O，E分別是AC與的中點(diǎn).（1）求證：OE//平面；（2）求直線AE與平面所成角的正弦值.【解析】（1）如下圖，連接，易知：與交于，且是中點(diǎn)，又E是的中點(diǎn).所以，又面，面，所以面.（2）由側(cè)棱垂直于底面ABCD，面ABCD，則，，又ABCD是正方形，即，可構(gòu)建以為原點(diǎn)，為x、y、z軸的空間直角坐標(biāo)系，，所以，則，，若是面的一個法向量，則，令，則，所以，即直線AE與平面所成角的正弦值為.13．（河南省洛陽市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第一次統(tǒng)一考試）已知底面為菱形的四棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，平面平面ABCD，E，F(xiàn)分別是棱PC，AB上的點(diǎn).（1）從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另一個成立；①F是AB的中點(diǎn)；②E是PC的中點(diǎn)；③平面PFD.（2）若.求PB與平面PDC所成角的正弦值.【解析】（1）選①F是AB的中點(diǎn)，②E是PC的中點(diǎn)為已知條件，證明③平面PFD，取的中點(diǎn)，連接，所以，，，所以四邊形是平行四邊形，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面PFD.選②E是PC的中點(diǎn)，③平面PFD為已知條件，證明①F是AB的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，所以，因?yàn)?，所以，即平面平面，因?yàn)槠矫鍼FD，所以，所以四邊形是平行四邊形，，因?yàn)椋?/p>