2020高中數(shù)學(xué) 第八章 立體幾何初步 8.5.2 直線與平面平行學(xué)案 第二冊(cè)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE21-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精8．5。2直線與平面平行考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)直線與平面平行的判定理解直線與平面平行的定義,會(huì)用圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確描述直線與平面平行的判定定理，會(huì)用直線與平面平行的判定定理證明一些空間線面位置關(guān)系直觀想象、邏輯推理直線與平面平行的性質(zhì)理解并能證明直線與平面平行的性質(zhì)定理，明確定理的條件，能利用直線與平面平行的性質(zhì)定理解決有關(guān)的平行問(wèn)題直觀想象、邏輯推理問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P135－P138的內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：1．直線與平面平行的判定定理是什么?2．直線與平面平行的性質(zhì)定理是什么?1．直線與平面平行的判定定理文字語(yǔ)言如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行符號(hào)語(yǔ)言a?α，b?α，且a∥b?a∥α圖形語(yǔ)言■名師點(diǎn)撥用該定理判斷直線a和平面α平行時(shí),必須同時(shí)具備三個(gè)條件：（1）直線a在平面α外，即a?α。（2)直線b在平面α內(nèi)，即b?α.（3）兩直線a，b平行,即a∥b.2．直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行符號(hào)語(yǔ)言a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b圖形語(yǔ)言■名師點(diǎn)撥(1)線面平行的性質(zhì)定理成立的條件有三個(gè)：①直線a與平面α平行，即a∥α;②平面α，β相交于一條直線，即α∩β＝b；③直線a在平面β內(nèi),即a?β。以上三個(gè)條件缺一不可．(2）定理的作用：①線面平行?線線平行;②畫一條直線與已知直線平行．(3)定理揭示了直線與平面平行中蘊(yùn)含著直線與直線平行，即通過(guò)直線與平面平行可得到直線與直線平行，這給出了一種作平行線的方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸的思想．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）（1）如果一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．（）（2）若直線l上有兩點(diǎn)到平面α的距離相等，則l∥平面α。（）(3)若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線平行．（）（4)若直線a∥平面α,直線a∥直線b,則直線b∥平面α。(）（5)若直線a∥平面α，則直線a與平面α內(nèi)任意一條直線都無(wú)公共點(diǎn)．()答案：(1)×（2)×(3）×(4)×(5)√能保證直線a與平面α平行的條件是（)A．b?α，a∥bB．b?α，c∥α，a∥b，a∥cC．b?α,A，B∈a，C，D∈b,且AC∥BDD．a(chǎn)?α,b?α，a∥b答案:D如圖，在三棱錐S.ABC中，E，F(xiàn)分別是SB,SC上的點(diǎn)，且EF∥平面ABC，則（)A．EF與BC相交 B．EF∥BCC．EF與BC異面 D．以上均有可能解析：選B。因?yàn)槠矫鍿BC∩平面ABC＝BC,又因?yàn)镋F∥平面ABC，所以EF∥BC。已知l，m是兩條直線，α是平面，若要得到“l(fā)∥α”，則需要在條件“m?α，l∥m”中另外添加的一個(gè)條件是________．解析：根據(jù)直線與平面平行的判定定理,知需要添加的一個(gè)條件是“l(fā)?α”．答案：l?α直線與平面平行的判定如圖，在正方體ABCD。A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是BC，CC1，BB1的中點(diǎn)，求證:EF∥平面AD1G?！咀C明】連接BC1，則由E,F分別是BC，CC1的中點(diǎn)，知EF∥BC1。又ABeq\o(\s\do3（═）,\s\up3（∥）)A1B1eq\o（\s\do3(═），\s\up3（∥)）D1C1,所以四邊形ABC1D1是平行四邊形，所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.又EF?平面AD1G，AD1?平面AD1G，所以EF∥平面AD1G.eq\a\vs4\al（)應(yīng)用判定定理證明線面平行的步驟上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有：①空間直線平行關(guān)系的傳遞性法;②三角形中位線法;③平行四邊形法;④成比例線段法．[提醒]線面平行判定定理應(yīng)用的誤區(qū)(1)條件羅列不全，最易忘記的條件是“直線在平面外”．（2)不能利用題目條件順利地找到兩平行直線．1．如圖，下列正三棱柱ABC-A1B1C1中，若M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，則不能得出AB∥平面MNP的是（）解析：選C。在題圖A，B中，易知AB∥A1B1∥MN，MN?平面MNP，AB?平面MNP，所以AB∥平面MNP；在圖D中，易知AB∥PN，PN?平面MNP，AB?平面MNP，所以AB∥平面MNP.2．已知有公共邊AB的兩個(gè)全等的矩形ABCD和ABEF不同在一個(gè)平面內(nèi)，P，Q分別是對(duì)角線AE,BD上的點(diǎn)，且AP＝DQ.求證:PQ∥平面CBE。證明：如圖,作PM∥AB交BE于點(diǎn)M,作QN∥AB交BC于點(diǎn)N,連接MN，則PM∥QN，eq\f（PM,AB)＝eq\f（EP，EA)，eq\f（QN，CD）＝eq\f(BQ,BD）.因?yàn)镋A＝BD，AP＝DQ，所以EP＝BQ.又因?yàn)锳B＝CD，所以PMeq\o（\s\do3(═），\s\up3(∥））QN，所以四邊形PMNQ是平行四邊形，所以PQ∥MN.又因?yàn)镻Q?平面CBE，MN?平面CBE，所以PQ∥平面CBE.線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn),M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G和AP作平面，交平面BDM于GH.求證：AP∥GH?！咀C明】如圖，連接AC，交BD于點(diǎn)O,連接MO.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．又因?yàn)辄c(diǎn)M是PC的中點(diǎn),所以AP∥OM.又因?yàn)锳P?平面BDM，OM?平面BDM，所以AP∥平面BDM.因?yàn)槠矫鍼AHG∩平面BDM＝GH，AP?平面PAHG,所以AP∥GH。eq\a\vs4\al()如圖，四棱錐P。ABCD中,底面ABCD是平行四邊形，且PA＝3.F在棱PA上,且AF＝1，E在棱PD上．若CE∥平面BDF，求PE∶ED的值．解：過(guò)點(diǎn)E作EG∥FD交AP于點(diǎn)G，連接CG，連接AC交BD于點(diǎn)O,連接FO.因?yàn)镋G∥FD，EG?平面BDF，F(xiàn)D?平面BDF，所以EG∥平面BDF，又EG∩CE＝E，CE∥平面BDF,EG?平面CGE，CE?平面CGE,所以平面CGE∥平面BDF，又CG?平面CGE，所以CG∥平面BDF，又平面BDF∩平面PAC＝FO，CG?平面PAC，所以FO∥CG。又O為AC的中點(diǎn)，所以F為AG的中點(diǎn)，所以FG＝GP＝1，即G是PF的中點(diǎn)，又EG∥FD，所以E為PD的中點(diǎn),所以PE∶ED＝1∶1。1．已知b是平面α外的一條直線，下列條件中，可得出b∥α的是(）A．b與α內(nèi)的一條直線不相交B．b與α內(nèi)的兩條直線不相交C．b與α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線不相交D．b與α內(nèi)的所有直線不相交解析：選D。若b與α內(nèi)的所有直線不相交，即b與α無(wú)公共點(diǎn)，故b∥α.2．給出下列命題:①如果一條直線不在平面內(nèi)，則這條直線就與這個(gè)平面平行;②過(guò)直線外一點(diǎn)，可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面與這條直線平行；③如果一條直線與平面平行，則它與平面內(nèi)的任何直線平行．其中正確命題的個(gè)數(shù)為(）A．0 B．1C．2 D．3解析：選B。①中，直線可能與平面相交,故①錯(cuò);②是正確的；③中，一條直線與平面平行，則它與平面內(nèi)的直線平行或異面，故③錯(cuò)．3．三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中，直線AB與平面A1B1C1的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．在平面內(nèi) D．不確定解析：選B。在三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，AB?平面A1B1C1，A1B1?平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1.4．如圖，直三棱柱ABC。A1B1C1中，D是AB的中點(diǎn)．證明：BC1∥平面A1CD。證明：如圖,連接AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1的中點(diǎn)．又D是AB的中點(diǎn),連接DF，則DF∥BC1.因?yàn)镈F?平面A1CD,BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．下列選項(xiàng)中，一定能得出直線m與平面α平行的是（)A．直線m在平面α外B．直線m與平面α內(nèi)的兩條直線平行C．平面α外的直線m與平面內(nèi)的一條直線平行D．直線m與平面α內(nèi)的一條直線平行解析：選C.選項(xiàng)A不符合題意，因?yàn)橹本€m在平面α外也包括直線與平面相交；選項(xiàng)B與D不符合題意,因?yàn)槿鄙贄l件m?α；選項(xiàng)C中，由直線與平面平行的判定定理，知直線m與平面α平行，故選項(xiàng)C符合題意．2.如圖，已知S為四邊形ABCD外一點(diǎn)，G，H分別為SB,BD上的點(diǎn)，若GH∥平面SCD，則()A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能解析:選B。因?yàn)镚H∥平面SCD,GH?平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，顯然GH與SA，SC均不平行，故選B。3．已知直線a∥平面α,a∥平面β，α∩β＝b，則a與b（)A．相交 B．平行C．異面 D．共面或異面解析：選B.因?yàn)橹本€a∥α，a∥β，所以在平面α，β中分別有一直線平行于a，不妨設(shè)為m，n，所以a∥m,a∥n，所以m∥n.又α，β相交,m在平面α內(nèi)，n在平面β內(nèi)，所以m∥β,所以m∥b，所以a∥b。4．在空間四邊形ABCD中，E,F，G，H分別是AB，BC,CD,DA上的點(diǎn)，當(dāng)BD∥平面EFGH時(shí),下列結(jié)論中正確的是（)A．E，F(xiàn),G，H一定是各邊的中點(diǎn)B．G，H一定是CD,DA的中點(diǎn)C．BE∶EA＝BF∶FC,且DH∶HA＝DG∶GCD．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC解析：選D。由于BD∥平面EFGH,由線面平行的性質(zhì)定理,有BD∥EH,BD∥FG,則AE∶EB＝AH∶HD,且BF∶FC＝DG∶GC。5．若直線l∥平面α,則過(guò)l作一組平面與α相交，記所得的交線分別為a，b，c，…，那么這些交線的位置關(guān)系為（）A．都平行B．都相交且一定交于同一點(diǎn)C．都相交但不一定交于同一點(diǎn)D．都平行或交于同一點(diǎn)解析:選A。因?yàn)橹本€l∥平面α，所以根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)知l∥a,l∥b,l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故選A。6．在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是對(duì)角線A1D、B1D1的中點(diǎn)，則正方體6個(gè)表面中與直線EF平行的平面有________________．解析：如圖,連接A1C1，C1D，所以F為A1C1的中點(diǎn)，在△A1C1D中,EF為中位線，所以EF∥C1D，又EF?平面C1CDD1，C1D?平面C1CDD1,所以EF∥平面C1CDD1.同理，EF∥平面A1B1BA.故與EF平行的平面有平面C1CDD1和平面A1B1BA.答案：平面C1CDD1和平面A1B1BA7．如圖,在正方體ABCD。A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)度等于________．解析：因?yàn)樵谡襟wABCD。A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2eq\r（2)。又E為AD的中點(diǎn),EF∥平面AB1C，EF?平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC,所以F為DC的中點(diǎn),所以EF＝eq\f（1，2)AC＝eq\r(2）.答案：eq\r（2)8.如圖,正方體ABCD.A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若EF∥平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)度等于________．解析：因?yàn)镋F∥平面AB1C，EF?平面ACD,平面ACD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，又E為AD的中點(diǎn)，AB＝2，所以EF＝eq\f(1，2）AC＝eq\f（1，2)×eq\r(22＋22)＝eq\r（2)。答案：eq\r（2)9．如圖所示，四棱錐P。ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，E為PC的中點(diǎn)，PF＝2FD，求證:BE∥平面AFC。證明：如圖，連接BD，交AC于點(diǎn)O，取PF的中點(diǎn)G，連接EG，ED,ED交CF于點(diǎn)M，連接MO.在△PCF中，E，G分別為PC,PF的中點(diǎn)，則EG∥FC。在△EDG中，MF∥EG,且F為DG的中點(diǎn)，則M為ED的中點(diǎn)．在△BED中，O，M分別為BD，ED的中點(diǎn)，則BE∥MO.又MO?平面AFC,BE?平面AFC，所以BE∥平面AFC.10．如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是棱BC，C1D1的中點(diǎn)，求證:EF∥平面BDD1B1。解：如圖，取D1B1的中點(diǎn)O，連接OF,OB。因?yàn)镺Feq\o(\s\do3（═),\s\up3(∥)）eq\f(1,2)B1C1,BEeq\o（\s\do3(═）,\s\up3(∥)）eq\f（1,2)B1C1，所以O(shè)Feq\o(\s\do3(═),\s\up3（∥））BE，所以四邊形OFEB是平行四邊形，所以EF∥BO。因?yàn)镋F?平面BDD1B1，BO?平面BDD1B1，所以EF∥平面BDD1B1.[B能力提升］11．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，EH∥FG,則EH與BD的位置關(guān)系是(）A．平行 B．相交C．異面 D．不確定解析：選A。因?yàn)镋H∥FG，F(xiàn)G?平面BCD，EH?平面BCD,所以EH∥平面BCD。因?yàn)镋H?平面ABD,平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD。12．已知直線a∥平面α,P∈α，那么過(guò)點(diǎn)P且平行于a的直線()A．只有一條,不在平面α內(nèi)B．有無(wú)數(shù)條，一定不在α內(nèi)C．只有一條，一定在α內(nèi)D．有無(wú)數(shù)條，一定在α內(nèi)解析：選C.若這樣的直線不只一條,由基本事實(shí)4知，這些直線互相平行，這與這些直線都過(guò)點(diǎn)P矛盾，因此只有一條．又由直線與平面平行的性質(zhì)定理知,這條直線一定在α內(nèi)．13。如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn),矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為O，M為PB的中點(diǎn)，給出五個(gè)結(jié)論:①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA;⑤OM∥平面PBC.其中正確的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C。矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)．在△PBD中，M是PB的中點(diǎn),所以O(shè)M是△PBD的中位