![2020高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 22 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)學(xué)案 2-1_第1頁(yè)](http://file4.renrendoc.com/view/2b164886e3a1d3eb75f7d055021b560a/2b164886e3a1d3eb75f7d055021b560a1.gif)
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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精PAGE18-學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精2.3.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.掌握雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).(重點(diǎn))2.理解雙曲線的漸近線及離心率的意義.(難點(diǎn))1.通過(guò)學(xué)習(xí)雙曲線的幾何性質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).2.借助雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用及直線與雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用,提升學(xué)生的直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng).1.雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)eq\f(y2,a2)-eq\f(x2,b2)=1(a>0,b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤-ay≤-a或y≥a對(duì)稱性對(duì)稱軸:坐標(biāo)軸,對(duì)稱中心:原點(diǎn)頂點(diǎn)(-a,0),(a,0)(0,-a),(0,a)軸長(zhǎng)實(shí)軸長(zhǎng)=2a,虛軸長(zhǎng)=2離心率e=eq\f(c,a)>1漸近線y=±eq\f(b,a)xy=±eq\f(a,b)x思考:(1)漸近線相同的雙曲線是同一條雙曲線嗎?(2)雙曲線的離心率和漸近線的斜率有怎樣的關(guān)系?[提示](1)漸近線相同的雙曲線有無(wú)數(shù)條,但它們實(shí)軸與虛軸的長(zhǎng)的比值相同.(2)e2=eq\f(c2,a2)=1+eq\f(b2,a2),eq\f(b,a)是漸近線的斜率或其倒數(shù).2.雙曲線的中心和等軸雙曲線(1)雙曲線的中心雙曲線的對(duì)稱中心叫做雙曲線的中心.(2)等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線,其離心率e=eq\r(2).1.雙曲線eq\f(x2,16)-y2=1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A.(4,0),(0,1) B.(-4,0),(4,0)C.(0,1),(0,-1) D.(-4,0),(0,-1)B[由題意知,雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,且a=4,因此雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-4,0),(4,0).]2.已知雙曲線9y2-m2x2=1(m>0)的一個(gè)頂點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為eq\f(1,5),則m=()A.1 B.2C.3 D.4D[方程9y2-m2x2=1(m>0)可化為eq\f(y2,\f(1,9))-eq\f(x2,\f(1,m2))=1(m>0),則a=eq\f(1,3),b=eq\f(1,m),取頂點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,3))),一條漸近線為mx-3y=0,所以eq\f(1,5)=eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(-3×\f(1,3))),\r(m2+9)),則m2+9=25?!適>0,∴m=4.]3.若雙曲線eq\f(x2,4)-eq\f(y2,m)=1(m>0)的漸近線方程為y=±eq\f(\r(3),2)x,則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是________.(-eq\r(7),0),(eq\r(7),0)[由雙曲線方程得出其漸近線方程為y=±eq\f(\r(m),2)x,∴m=3,求得雙曲線方程為eq\f(x2,4)-eq\f(y2,3)=1,從而得到焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-eq\r(7),0),(eq\r(7),0).]4.已知點(diǎn)(2,3)在雙曲線C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)上,C的焦距為4,則它的離心率為_(kāi)_______.2[由題意知eq\f(4,a2)-eq\f(9,b2)=1,c2=a2+b2=4,得a=1,b=eq\r(3),∴e=2.]根據(jù)雙曲線方程研究幾何性質(zhì)【例1】(1)已知雙曲線C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)過(guò)點(diǎn)(eq\r(2),2eq\r(2)),過(guò)點(diǎn)(0,-2)的直線l與雙曲線C的一條漸近線平行,且這兩條平行線間的距離為eq\f(2,3),則雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為()A.2 B.2eq\r(2)C.4 D.4eq\r(2)(2)求雙曲線nx2-my2=mn(m>0,n>0)的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程.(1)A[雙曲線C的漸近線方程為y=±eq\f(b,a)x,則點(diǎn)(0,-2)到漸近線bx-ay=0(或bx+ay=0)的距離d=eq\f(|2a|,\r(a2+b2))=eq\f(2a,c)=eq\f(2,3),得c=3a,即b=2eq\r(2)a。由雙曲線C過(guò)點(diǎn)(eq\r(2),2eq\r(2)),可得eq\f(2,a2)-eq\f(8,8a2)=1,解得a=1,故雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2a=2.](2)把方程nx2-my2=mn(m>0,n>0),化為標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,m)-eq\f(y2,n)=1(m>0,n>0),由此可知,實(shí)半軸長(zhǎng)a=eq\r(m),虛半軸長(zhǎng)b=eq\r(n),c=eq\r(m+n),焦點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\r(m+n),0),(-eq\r(m+n),0),離心率e=eq\f(c,a)=eq\f(\r(m+n),\r(m))=eq\r(1+\f(n,m))。頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-eq\r(m),0),(eq\r(m),0).所以漸近線的方程為y=±eq\f(\r(n),\r(m))x=±eq\f(\r(mn),m)x.由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟(1)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決本題的關(guān)鍵.(2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置,確定a,b的值.(3)由c2=a2+b2求出c值,從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì).提醒:求性質(zhì)時(shí)一定要注意焦點(diǎn)的位置.1.(1)下列雙曲線中,焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為y=±2x的是()A.x2-eq\f(y2,4)=1 B。eq\f(x2,4)-y2=1C.eq\f(y2,4)-x2=1 D.y2-eq\f(x2,4)=1C[A、B選項(xiàng)中雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,可排除;C、D選項(xiàng)中雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,令eq\f(y2,4)-x2=0,得y=±2x;令y2-eq\f(x2,4)=0,得y=±eq\f(1,2)x.故選C。](2)若雙曲線eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1的離心率為eq\r(3),則其漸近線方程為()A.y=±2x B.y=±eq\r(2)xC.y=±eq\f(1,2)x D.y=±eq\f(\r(2),2)xB[在雙曲線中,離心率e=eq\f(c,a)=eq\r(1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up20(2))=eq\r(3),可得eq\f(b,a)=eq\r(2),故所求的雙曲線的漸近線方程是y=±eq\r(2)x。]利用幾何性質(zhì)求雙曲線方程【例2】(1)已知雙曲線eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b〉0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上,△OAF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形(O為原點(diǎn)),則雙曲線的方程為()A。eq\f(x2,4)-eq\f(y2,12)=1 B.eq\f(x2,12)-eq\f(y2,4)=1C.eq\f(x2,3)-y2=1 D.x2-eq\f(y2,3)=1(2)漸近線方程為y=±eq\f(1,2)x,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,-3)的雙曲線方程為_(kāi)________.思路探究:(1)△OAF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形?求c和點(diǎn)A的坐標(biāo)?漸近線的斜率?求a,b。(2)法一:分焦點(diǎn)在x軸和y軸上兩種情況求解.法二:待定系數(shù)法求解.(1)D(2)eq\f(y2,8)-eq\f(x2,32)=1[(1)不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限,由題意可知c=2,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,eq\r(3)),所以eq\f(b,a)=eq\r(3),又c2=a2+b2,所以a2=1,b2=3,故所求雙曲線的方程為x2-eq\f(y2,3)=1,故選D。(2)法一:因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=±eq\f(1,2)x,若焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b〉0),則eq\f(b,a)=eq\f(1,2).①因?yàn)辄c(diǎn)A(2,-3)在雙曲線上,所以eq\f(4,a2)-eq\f(9,b2)=1.②聯(lián)立①②,無(wú)解.若焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)-eq\f(x2,b2)=1(a>0,b>0),則eq\f(a,b)=eq\f(1,2)。③因?yàn)辄c(diǎn)A(2,-3)在雙曲線上,所以eq\f(9,a2)-eq\f(4,b2)=1.④聯(lián)立③④,解得a2=8,b2=32。故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,8)-eq\f(x2,32)=1.法二:由雙曲線的漸近線方程為y=±eq\f(1,2)x,可設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,22)-y2=λ(λ≠0).因?yàn)辄c(diǎn)A(2,-3)在雙曲線上,所以eq\f(22,22)-(-3)2=λ,即λ=-8。故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,8)-eq\f(x2,32)=1.]1.由雙曲線的幾何性質(zhì)求雙曲線的方程的常用方法:一是設(shè)法確定基本量a,b,c,從而求出雙曲線方程;二是采用待定系數(shù)法.首先依據(jù)焦點(diǎn)的位置設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,再由題目條件確定參數(shù)的值.當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí),方程可能有兩種形式,此時(shí)應(yīng)注意分類討論,防止漏解.為了避免討論,也可設(shè)方程為mx2-ny2=1(mn>0),從而直接求解.2.常見(jiàn)雙曲線方程的設(shè)法(1)漸近線為y=±eq\f(n,m)x的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,m2)-eq\f(y2,n2)=λ(λ≠0,m〉0,n〉0);如果兩條漸近線的方程為Ax±By=0,那么雙曲線的方程可設(shè)為A2x2-B2y2=m(m≠0,A〉0,B〉0).(2)與雙曲線eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1或eq\f(y2,a2)-eq\f(x2,b2)=1(a>0,b>0)共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=λ或eq\f(y2,a2)-eq\f(x2,b2)=λ(λ≠0).(3)與雙曲線eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b〉0)離心率相等的雙曲線系方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=λ(λ〉0)或eq\f(y2,a2)-eq\f(x2,b2)=λ(λ〉0),這是因?yàn)殡x心率不能確定焦點(diǎn)位置.2.求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)以直線2x±3y=0為漸近線,過(guò)點(diǎn)(1,2);(2)與雙曲線eq\f(y2,4)-eq\f(x2,3)=1具有相同的漸近線,且過(guò)點(diǎn)M(3,-2);(3)過(guò)點(diǎn)(2,0),與雙曲線eq\f(y2,64)-eq\f(x2,16)=1離心率相等.[解](1)由題意可設(shè)所求雙曲線方程為4x2-9y2=λ(λ≠0),將點(diǎn)(1,2)的坐標(biāo)代入方程解得λ=-32。因此所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,\f(32,9))-eq\f(x2,8)=1.(2)設(shè)所求雙曲線方程為eq\f(y2,4)-eq\f(x2,3)=λ(λ≠0).由點(diǎn)M(3,-2)在雙曲線上得eq\f(4,4)-eq\f(9,3)=λ,得λ=-2.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,6)-eq\f(y2,8)=1。(3)當(dāng)所求雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí),可設(shè)其方程為eq\f(x2,64)-eq\f(y2,16)=λ(λ>0),將點(diǎn)(2,0)的坐標(biāo)代入方程得λ=eq\f(1,16),故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)-y2=1;當(dāng)所求雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),可設(shè)其方程為eq\f(y2,64)-eq\f(x2,16)=λ(λ>0),將點(diǎn)(2,0)的坐標(biāo)代入方程得λ=-eq\f(1,4)<0(舍去).綜上可知,所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)-y2=1。求雙曲線的離心率【例3】(1)若雙曲線eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,-4),則此雙曲線的離心率為()A.eq\f(\r(7),3)B.eq\f(5,4)C。eq\f(4,3)D。eq\f(5,3)(2)已知A,B為雙曲線E的左、右頂點(diǎn),點(diǎn)M在E上,△ABM為等腰三角形,且頂角為120°,則E的離心率為()A。eq\r(5) B.2C。eq\r(3) D.eq\r(2)思路探究:(1)漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,-4)?漸近線的斜率?離心率.(2)由已知條件畫(huà)圖?點(diǎn)M的坐標(biāo)?代入雙曲線方程.(1)D(2)D[(1)由題意知eq\f(b,a)=eq\f(4,3),則e2=1+eq\f(b2,a2)=eq\f(25,9),所以e=eq\f(5,3).(2)設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a〉0,b>0),不妨設(shè)點(diǎn)M在雙曲線的右支上,如圖,AB=BM=2a,∠MBA=120°,作MH⊥x軸于H,則∠MBH=60°,BH=a,MH=eq\r(3)a,所以M(2a,eq\r(3)a).將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入雙曲線方程eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1,得a=b,所以e=eq\r(2).故選D。]求雙曲線離心率的方法(1)若可求得a,c,則直接利用e=eq\f(c,a)得解.(2)若已知a,b,可直接利用e=eq\r(1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up20(2))得解.(3)若得到的是關(guān)于a,c的齊次方程pc2+qac+ra2=0(p,q,r為常數(shù),且p≠0),則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程pe2+qe+r=0求解.3.(1)(2019·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)F為雙曲線C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P,Q兩點(diǎn).若|PQ|=|OF|,則C的離心率為()A。eq\r(2) B。eq\r(3)C.2 D。eq\r(5)[答案]A(2)過(guò)雙曲線C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b〉0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線,交C于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a,則C的離心率為_(kāi)_______.2+eq\r(3)[如圖,F(xiàn)1,F2為雙曲線C的左,右焦點(diǎn),將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)2a代入eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1中,得y2=3b2,不妨令點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2a,-eq\r(3)b),此時(shí)kPF2=eq\f(\r(3)b,c-2a)=eq\f(b,a),得到c=(2+eq\r(3))a,即雙曲線C的離心率e=eq\f(c,a)=2+eq\r(3).]直線與雙曲線的位置關(guān)系[探究問(wèn)題]1.直線和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),那么直線和雙曲線一定相切嗎?[提示]可能相切,也可能相交,當(dāng)直線和漸近線平行時(shí),直線和雙曲線相交且只有一個(gè)交點(diǎn).2.過(guò)點(diǎn)(0,2)和雙曲線eq\f(x2,16)-eq\f(y2,9)=1只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條?[提示]四條,其中兩條切線,兩條和漸近線平行的直線.【例4】已知雙曲線C:x2-y2=1及直線l:y=kx-1.(1)若直線l與雙曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;(2)若直線l與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),且△AOB的面積為eq\r(2),求實(shí)數(shù)k的值.思路探究:直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組?判斷“Δ”與“0”的關(guān)系?直線與雙曲線的位置關(guān)系.[解](1)聯(lián)立方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=kx-1,,x2-y2=1,))消去y并整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.∵直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1-k2≠0,,Δ=4k2+8(1-k2)>0,))解得-eq\r(2)<k<eq\r(2),且k≠±1.∴若l與C有兩個(gè)不同交點(diǎn),實(shí)數(shù)k的取值范圍為(-eq\r(2),-1)∪(-1,1)∪(1,eq\r(2)).(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),對(duì)于(1)中的方程(1-k2)x2+2kx-2=0,由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=-eq\f(2k,1-k2),x1x2=-eq\f(2,1-k2),∴|AB|=eq\r(1+k2)|x1-x2|=eq\r(1+k2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(2k,1-k2)))\s\up20(2)+\f(8,1-k2))=eq\r(\f((1+k2)(8-4k2),(1-k2)2)).又∵點(diǎn)O(0,0)到直線y=kx-1的距離d=eq\f(1,\r(1+k2)),∴S△AOB=eq\f(1,2)·|AB|·d=eq\f(1,2)eq\r(\f(8-4k2,(1-k2)2))=eq\r(2),即2k4-3k2=0,解得k=0或k=±eq\f(\r(6),2).∴實(shí)數(shù)k的值為±eq\f(\r(6),2)或0。直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷方法(1)方程思想的應(yīng)用把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組,通過(guò)消元后化為ax2+bx+c=0的形式,在a≠0的情況下考察方程的判別式.①Δ〉0時(shí),直線與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).②Δ=0時(shí),直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).③Δ<0時(shí),直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn).當(dāng)a=0時(shí),此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行,直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn).(2)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用①直線過(guò)定點(diǎn)時(shí),根據(jù)定點(diǎn)的位置和雙曲線的漸近線的斜率與直線的斜率的大小關(guān)系確定其位置關(guān)系.②直線斜率一定時(shí),通過(guò)平行移動(dòng)直線,比較直線斜率與漸近線斜率的關(guān)系來(lái)確定其位置關(guān)系.提醒:利用判別式來(lái)判斷直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的前提是通過(guò)消元化為一元二次方程.4.已知雙曲線eq\f(x2,4)-y2=1,求過(guò)點(diǎn)A(3,-1)且被點(diǎn)A平分的弦MN所在直線的方程.[解]法一:由題意知直線的斜率存在,故可設(shè)直線方程為y+1=k(x-3),即y=kx-3k-1,由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=kx-3k-1,,\f(x2,4)-y2=1,))消去y,整理得(1-4k2)x2+8k(3k+1)x-36k2-24k-8=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),∴x1+x2=eq\f(8k(3k+1),4k2-1)?!逜(3,-1)為MN的中點(diǎn),∴eq\f(x1+x2,2)=3,即eq\f(8k(3k+1),2(4k2-1))=3,解得k=-eq\f(3,4).當(dāng)k=-eq\f(3,4)時(shí),滿足Δ〉0,符合題意,∴所求直線MN的方程為y=-eq\f(3,4)x+eq\f(5,4),即3x+4y-5=0.法二:設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),∵M(jìn),N均在雙曲線上,∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),4)-yeq\o\al(2,1)=1,,\f(xeq\o\al(2,2),4)-yeq\o\al(2,2)=1,))兩式相減,得eq\f(xeq\o\al(2,2)-xeq\o\al(2,1),4)=y(tǒng)eq\o\al(2,2)-yeq\o\al(2,1),∴eq\f(y2-y1,x2-x1)=eq\f(x2+x1,4(y2+y1))?!唿c(diǎn)A平分弦MN,∴x1+x2=6,y1+y2=-2?!鄈MN=eq\f(y2-y1,x2-x1)=eq\f(x2+x1,4(y2+y1))=-eq\f(3,4)。經(jīng)驗(yàn)證,該直線MN存在.∴所求直線MN的方程為y+1=-eq\f(3,4)(x-3),即3x+4y-5=0.1.漸近線是雙曲線特有的性質(zhì).兩方程聯(lián)系密切,
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