2020高中數(shù)學(xué) 第2章 統(tǒng)計(jì) 2.2.2 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征學(xué)案 新人教A版

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE16-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精2.2。2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.會(huì)求樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差．（重點(diǎn))2．理解用樣本的數(shù)字特征來(lái)估計(jì)總體數(shù)字特征的方法．（重點(diǎn)）3．會(huì)應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際統(tǒng)計(jì)問(wèn)題．(難點(diǎn))1。通過(guò)數(shù)字特征的計(jì)算，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2．借助實(shí)際統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的應(yīng)用,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念(1）眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．（2)中位數(shù):一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后,處于中間位置的數(shù)．如果個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．(3)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的數(shù)．2．三種數(shù)字特征的比較名稱(chēng)優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)眾數(shù)①體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn);②容易計(jì)算①它只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中很少的一部分信息；②無(wú)法客觀地反映總體的特征中位數(shù)①不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)（即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù)）的影響;②容易計(jì)算，便于利用中間數(shù)據(jù)的信息對(duì)極端值不敏感平均數(shù)代表性較好，是反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量．一般情況下,可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變．?dāng)?shù)據(jù)越“離群”，對(duì)平均數(shù)的影響越大3.標(biāo)準(zhǔn)差、方差的概念與計(jì)算公式(1）標(biāo)準(zhǔn)差:標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，s＝eq\r（\f（1,n)[（x1－\x\to(x））2＋（x2－\x\to（x））2＋…＋（xn－\x\to（x)）2]）．（2）方差：標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2叫做方差．s2＝eq\f（1，n）[（x1－eq\x\to(x)）2＋(x2－eq\x\to(x)）2＋…＋(xn－eq\x\to（x）)2]．其中,xn是樣本數(shù)據(jù),n是樣本容量，eq\x\to（x)是樣本平均數(shù)．思考：在統(tǒng)計(jì)中,計(jì)算方差的目的是什么？[提示]方差與標(biāo)準(zhǔn)差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小,其值越大，數(shù)據(jù)離散程度越大，當(dāng)其值為0時(shí)，說(shuō)明樣本各數(shù)據(jù)相等,沒(méi)有離散性．1．為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田．這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg）分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是（)A．x1，x2，…，xn的平均數(shù)B．x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C．x1，x2，…,xn的最大值D．x1,x2，…，xn的中位數(shù)B［標(biāo)準(zhǔn)差能反映一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度．］2．?dāng)?shù)據(jù)101,98，102，100,99的標(biāo)準(zhǔn)差為(）A．eq\r(2) B．0C．1 D．2A［x＝eq\f(1,5）(101＋98＋102＋100＋99）＝100.∴s＝eq\r(\f（1,5)［(101－100）2＋（98－100)2＋（102－100）2＋（100－100）2＋（99－100）2)]＝eq\r（2)。3．10名工人某天生產(chǎn)同一零件,生產(chǎn)的件數(shù)是15，17,14，10,15，17，17，16，14，12,設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b,眾數(shù)為c，則有（)A．a(chǎn)〉b〉c B．b>c>aC．c〉a>b D．c〉b>aD［將數(shù)據(jù)從小到大排列為10,12，14，14,15，15，16，17，17，17，則中位數(shù)b＝15，眾數(shù)c＝17.平均數(shù)a＝eq\f(1,10)（10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7.顯然a〈b〈c。］4．某高校有甲、乙兩個(gè)數(shù)學(xué)建模興趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．現(xiàn)分析兩個(gè)班的一次考試成績(jī)，算得甲班的平均成績(jī)是90分，乙班的平均成績(jī)是81分，則該校數(shù)學(xué)建模興趣班的平均成績(jī)是________分．85[由題意知，該校數(shù)學(xué)建模興趣班的平均成績(jī)是eq\f（40×90＋50×81，40＋50)＝85（分）．]眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)【例1】某公司的33名職工的月工資(以元為單位)如下表：職務(wù)董事長(zhǎng)副董事長(zhǎng)董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資5500500035003000250020001500（1）求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；(2)假設(shè)副董事長(zhǎng)的工資從5000元提升到20000元，董事長(zhǎng)的工資從5500元提升到30000元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是多少？（精確到元)（3）你認(rèn)為哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量更能反映這個(gè)公司員工的工資水平？結(jié)合此問(wèn)題談一談你的看法．［解］(1）平均數(shù)是：x＝1500＋eq\f（4000＋3500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20,33)≈1500＋591＝2091（元），中位數(shù)是1500元,眾數(shù)是1500元．(2)新的平均數(shù)是x′＝1500＋eq\f（28500＋18500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20，33）≈1500＋1788＝3288(元），新的中位數(shù)是1500元,新的眾數(shù)是1500元．（3)在這個(gè)問(wèn)題中，中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司員工的工資水平，因?yàn)楣局猩贁?shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個(gè)公司員工的工資水平．對(duì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明(1)如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù),說(shuō)明數(shù)據(jù)中存在較大的極端值．在實(shí)際應(yīng)用中,樣本中位數(shù)和樣本平均數(shù)可以使我們了解樣本數(shù)據(jù)中的極端數(shù)據(jù)信息，幫助我們作出決策．(2)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)三者比較，平均數(shù)更能體現(xiàn)每個(gè)數(shù)據(jù)的特征，它是各個(gè)數(shù)據(jù)的重心．1．某小區(qū)廣場(chǎng)上有甲、乙兩群市民正在進(jìn)行晨練，兩群市民的年齡如下（單位：歲)：甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；乙群：54,3，4，4,5，6，6，6,6，56.（1)甲群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好地反映甲群市民的年齡特征？（2)乙群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好地反映乙群市民的年齡特征?［解］(1）甲群市民年齡的平均數(shù)為eq\f(13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17，10)＝15(歲）,中位數(shù)為15歲，眾數(shù)為15歲．平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)相等,因此它們都能較好地反映甲群市民的年齡特征．(2）乙群市民年齡的平均數(shù)為eq\f（54＋3＋4＋4＋5＋6＋6＋6＋6＋56,10）＝15（歲）,中位數(shù)為6歲，眾數(shù)為6歲．由于乙群市民大多數(shù)是兒童，所以中位數(shù)和眾數(shù)能較好地反映乙群市民的年齡特征，而平均數(shù)的可靠性較差．方差與標(biāo)準(zhǔn)差【例2】甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100cm的零件,為檢驗(yàn)質(zhì)量，從中抽取6件測(cè)量數(shù)據(jù)為：甲：9910098100100103乙：9910010299100100（1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)根據(jù)計(jì)算說(shuō)明哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．思路點(diǎn)撥：（1）直接利用求x與s2的公式求解．（2)先比較x的大小，再分析s2的大小并下結(jié)論．[解]（1）x甲＝eq\f（1,6）［99＋100＋98＋100＋100＋103]＝100，x乙＝eq\f（1，6）[99＋100＋102＋99＋100＋100]＝100，seq\o\al(2，甲)＝eq\f（1，6)［（99－100)2＋(100－100）2＋（98－100)2＋（100－100）2＋（100－100)2＋（103－100）2]＝eq\f(7，3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6）[(99－100)2＋（100－100)2＋（102－100)2＋(99－100)2＋（100－100）2＋(100－100）2]＝1.（2）由(1）知x甲＝x乙,比較它們的方差，∵seq\o\al（2，甲）＞seq\o\al（2,乙)，故乙機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差、方差估計(jì)總體的方法(1)用樣本估計(jì)總體時(shí)，樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差只是總體的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的近似．實(shí)際應(yīng)用中,當(dāng)所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不相等時(shí)，需先分析平均水平，再計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差(方差)分析穩(wěn)定情況．（2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍是［0，＋∞）．（3）因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差與原始數(shù)據(jù)的單位相同,且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫(huà)樣本數(shù)據(jù)的離散程度上是一樣的,但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差．2．甲、乙、丙、丁四名射手在選拔賽中所得的平均環(huán)數(shù)x及其方差s2如下表所示，則選送決賽的最佳人選應(yīng)是()甲乙丙丁x7887s26。36。378。7A．甲B．乙C．丙D．丁B[∵eq\x\to(x)乙＝eq\x\to（x）丙>eq\x\to（x)甲＝eq\x\to(x)丁，且seq\o\al(2,甲）＝seq\o\al（2,乙)〈seq\o\al（2，丙)<seq\o\al（2，丁)，故應(yīng)選擇乙進(jìn)入決賽．］頻率分布直方圖與數(shù)字特征的綜合應(yīng)用[探究問(wèn)題]1．觀察頻率分布直方圖，能獲得樣本數(shù)據(jù)的原始信息嗎?[提示]把樣本數(shù)據(jù)做成頻率分布直方圖后就失去了原始數(shù)據(jù)．2．給出樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖,可以求出數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)嗎?[提示]可以近似求出．【例3】統(tǒng)計(jì)局就某地居民的月收入（元）情況調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)出了樣本頻率分布直方圖(如圖）,每個(gè)分組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示月收入在[500,1000）內(nèi)．(1)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再?gòu)倪@10000人中用分層抽樣的方法抽出100人作進(jìn)一步分析，則月收入在[2000，2500）內(nèi)的應(yīng)抽取多少人？(2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)．思路點(diǎn)撥：結(jié)合頻率分布直方圖求解．[解］(1）因?yàn)椋?.0002＋0.0004＋0.0003＋0。0001)×500＝0.5，所以a＝eq\f（0。5,1000）＝0.0005，月收入在[2000，2500）內(nèi)的頻率為0.25，所以100人中月收入在［2000，2500)內(nèi)的人數(shù)為0。25×100＝25.(2)因?yàn)?。0002×500＝0.1，0.0004×500＝0.2。0。0005×500＝0。25。0。1＋0。2＋0。25＝0。55>0。5，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1500＋eq\f（0.5－（0.1＋0。2）,0.0005）＝1900（元）．（3)樣本平均數(shù)為（750×0.0002＋1250×0.0004＋1750×0。0005＋2250×0。0005＋2750×0.0003＋3250×0。0001)×500＝1900(元)．1．(變條件）某校從參加高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平測(cè)試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生,其數(shù)學(xué)成績(jī)（均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示．（1)求這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)．（2)求這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分．［解］(1)由圖知,設(shè)中位數(shù)為x，由于前三個(gè)矩形面積之和為0。4,第四個(gè)矩形面積為0.3，0.3＋0.4>0。5，因此中位數(shù)位于第四個(gè)矩形內(nèi)，得0。1＝0。03（x－70),所以x≈73。3。(2）由圖知這次數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為:eq\f（40＋50,2)×0.005×10＋eq\f（50＋60，2）×0。015×10＋eq\f（60＋70,2)×0。02×10＋eq\f(70＋80，2)×0。03×10＋eq\f(80＋90,2）×0.025×10＋eq\f(90＋100,2)×0.005×10＝72.2．(變結(jié)論）本例條件不變．（1）若再?gòu)倪@10000人中用分層抽樣的方法抽出若干人,分析居民收入與幸福指數(shù)的關(guān)系,已知月收入在[2000，2500)內(nèi)的抽取了40人．則月收入在[3000，3500]內(nèi)的該抽多少人？(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)．［解］(1）因?yàn)?0。0002＋0.0004＋0。0003＋0.0001）×500＝0。5。所以a＝eq\f（0。5，1000)＝0.0005.故月收入在[2000，2500）內(nèi)的頻率為0.0005×500＝0。25?！嘈鲁闃颖救萘繛閑q\f(40,0.25)＝160(人）．∴月收入在［3000，3500]內(nèi)的該抽：160×(0。0001×500)＝8（人）．(2）由圖知眾數(shù)為2000元．用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(1）眾數(shù)：取最高小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為眾數(shù)．（2）中位數(shù):在頻率分布直方圖中，把頻率分布直方圖劃分為左右兩個(gè)面積相等的部分的分界線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱(chēng)為中位數(shù)．(3)平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．1．一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個(gè)，中位數(shù)是唯一的,求中位數(shù)時(shí)，必須先排序．2．利用頻率分布直方圖求數(shù)字特征（1)眾數(shù)是最高的矩形的底邊的中點(diǎn)．（2）中位數(shù)左右兩邊直方圖的面積應(yīng)相等．（3）平均數(shù)等于每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．3．標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2稱(chēng)為方差，有時(shí)用方差代替標(biāo)準(zhǔn)差測(cè)量樣本數(shù)據(jù)的離散程度．方差與標(biāo)準(zhǔn)差的測(cè)量效果是一致的，在實(shí)際應(yīng)用中一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差．1．判斷下列結(jié)論的正誤（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）（1）在一組樣本數(shù)據(jù)中，眾數(shù)一定是唯一的． (）（2）中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)中最中間的那個(gè)數(shù)． ()（3）方差的值越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。?()[答案]（1）×(2)×（3)√2．下列說(shuō)法中，不正確的是（)A．?dāng)?shù)據(jù)2，4，6，8的中位數(shù)是4,6B．?dāng)?shù)據(jù)1，2，2，3,4,4的眾數(shù)是2，4C．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)有可能是同一個(gè)數(shù)據(jù)D．8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5,另3個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，則這11個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是eq\f(8×5＋7×3,11）A[數(shù)據(jù)2、4、6、8的中位數(shù)