二次根式的知識(shí)點(diǎn)匯總

二次根式的知識(shí)點(diǎn)匯總知識(shí)點(diǎn)一：二次根式的概念形如血（詛20）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開(kāi)放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒(méi)有平方根，所以厘工°是亦為二次根式的前提條件，如的，F(xiàn)Ti,等是二次根式，而辰，戸匚7等都不是二次根式。知識(shí)點(diǎn)二：取值范圍二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)aNO時(shí)，拓有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開(kāi)方數(shù)大于或等于零即可。二次根式無(wú)意義的條件：因負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a<0時(shí)，攝沒(méi)有意義。知識(shí)點(diǎn)三：二次根式攝（讓0）的非負(fù)性罷2工°）表示a的算術(shù)平方根，也就是說(shuō)，攝2工°）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即亦巨0（盤蘭0）。注：因?yàn)槎胃酵?蘭°）表示a的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0,所以非負(fù)數(shù)（詛三°）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即拓巨0320），這個(gè)性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對(duì)值、偶次方類似。這個(gè)性質(zhì)在解答題目時(shí)應(yīng)用較多，如若罷+弟N，則a=O,b=O；若拓+忖’°，則a=O,b=O；若需十滬二0，則a=O,b=O。知識(shí)點(diǎn)四：二次根式（拓）的性質(zhì)二&謂0）

文字語(yǔ)言敘述為：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù)。知識(shí)點(diǎn)五：二次根式的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)六：（血尸與聘的異同點(diǎn)1、不同點(diǎn)：（亦尸與妊表示的意義是不同的，表示"一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而妊表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在（@尸中，而存中a可以是正實(shí)數(shù)，0,負(fù)實(shí)數(shù)。但〔血尸與妊都是非負(fù)數(shù)，即④心，屈工Q。因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的，（屈—D0）2、相同點(diǎn)：當(dāng)被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即詛之0時(shí)，（亦化&；詛<°時(shí)，你無(wú)意義，而歷….知識(shí)點(diǎn)七：二次根式的運(yùn)算（1）因式的外移和內(nèi)移：如果被開(kāi)方數(shù)中有的因式能夠開(kāi)得盡方，那么，就可以用它的算術(shù)根代替而移到根號(hào)外面；如果被開(kāi)方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先分解因式，變形為積的形式，再移因式到根號(hào)外面，反之也可以將根號(hào)外面的正因式平方后移到根號(hào)里面.（2）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式再合并同類二次根式.（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），將被開(kāi)方數(shù)相乘（除），所得的積（商）仍作積（商）的被開(kāi)方數(shù)并將運(yùn)算結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式.<abf'a?Jb<abf'a?Jb（a$O，b$O）；<a（b$O，a>0）.（4）有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，□乘法對(duì)加法的分配律以及多項(xiàng)式的乘法公式，都適用于二次根式的運(yùn)算.

例題精選】二次根式有意義的條件：例1：求下列各式有意義的所有x的取值范圍。解：3解：(1)要使.3-2x有意義，必須3-2x>0，由3-2x>0得x<,23,???當(dāng)x<-時(shí)，式子芒-2x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。2)要使2)要使3亍1有意義，x+1為任意實(shí)數(shù)均可,當(dāng)X取任意實(shí)數(shù)時(shí)3x+1均有意義。3)要使洱有意義，必須x3)要使洱有意義，必須x+1>0|x|-2豐0x>—1且xH±2，但x=—2不在x>—1的范圍內(nèi)。當(dāng)x當(dāng)x>-Kx豐2時(shí)，式子鋁在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。小練習(xí)：1)X是多少時(shí)，<3X^1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義2)小練習(xí)：1)X是多少時(shí)，<3X^1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義2)X是多少時(shí)，3)X是多少時(shí)，、亦3+丄在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義②x+1旦主3+X2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義x4)時(shí)，弋x+2+\;1—2x意'乂。4)2.使式子p-(x—5)2有意義的未知數(shù)％有()個(gè).

A．0B．1C．2DA．0B．1C．2D■無(wú)數(shù)3?已知yf2二7+贏二2+5,求-的值.y4■若J3-x+y/x-3有意義，則二5.若\-m+有意義，則m的取值范圍是m+1最簡(jiǎn)二次根式例2：把下列各根式化為最簡(jiǎn)二次根式：(1)96a3b(a>0,b>0)⑶晉(a>0,b>0)分析：依據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念進(jìn)行化簡(jiǎn),被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是整式；被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式。解：(1)、：96a3b=v16a2?6ab=4a、6abG>0,b>0遼:匹:空=7==1豐―505025x25125\2x210蘭0空=嚴(yán)2b?=現(xiàn)歷(a>0,b>0)121c4121c411c2同類根式：例3：判斷下列各組根式是否是同類根式：(1)(1)-v-175；-”3\分析：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后,如果被開(kāi)方數(shù)相同,那么這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式,所以判斷幾個(gè)二次根式是否為同類二次根式,首先要將其化為最簡(jiǎn)二次根式。解：(1)■■■175=75x7=-5訂7；

-_3環(huán)\：16\164'-_3環(huán)\：16\164'7；=2[343=2149x7=7萬(wàn)===7343433=-16—33‘175「：3存3產(chǎn)4是同類二次根式分母有理化：例4：把下列各式的分母有理化：⑴1：'3；（2）_J；2\22、：3_弋2分析：把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化，兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們說(shuō)，這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因子，如邁與邁,運(yùn)+打與、5—込均為有理化因式。解：⑴2詩(shī)=⑴2詩(shī)=2誤=4（：6迂)、—2J15+V105+,/2/10求值：例5：計(jì)算：a)P18_J!丁-(52J3+邁丿3分析：迅速、準(zhǔn)確地進(jìn)行二次根式的加減乘除運(yùn)算是本章的重點(diǎn)內(nèi)容，必須掌握，要特別注意運(yùn)算順序和有意識(shí)的使用運(yùn)算律，尋求合理的運(yùn)算步驟，得到正確的運(yùn)算結(jié)果。

__3解：⑴原式=（弭2-2顯*372x不=?壬3=?壬3化簡(jiǎn)：例6：化簡(jiǎn)：(1)上—4b二+4莎+4b)a-2、：b分析：應(yīng)注意(1)式a>0,b>0,(2)a>0，所以a=(.a),b=(b),a-4b可看作(a)-4(拓)可利用乘法公式來(lái)進(jìn)行化簡(jiǎn)，使運(yùn)算變得簡(jiǎn)單。(,，a+2Jb)(,，a-2Jb)(L解：(1)原式=^-a+2門興a-2、：b=(a+2\；b)一(a+2.-b)=i=ja-2jb■v'a+2爲(wèi)a-4b例7：化簡(jiǎn)練習(xí)(1)-st3(s>0)⑵)6-2|-J解：(1)-st3>0

st3<0,而s>013<0,即t<0I原^式=i：—st?t2=11I、.：一st=—t訂一st(°.°t<0)(2)???2<、拓<3p6一2>0,而J6—3<0原式=卜'6—2|-卜6—3|=46—2—1—^6—3》=\6—2+\6—3=2\.6—5化簡(jiǎn)求值：例8:已知：a="+"2,b=———求:ab3+a3b的值。22分析：如果把a(bǔ),b的值直接代入計(jì)算a3,b3的計(jì)算都較為繁瑣，應(yīng)另辟蹊v'3-邁=12徑，考慮到*3+巨■與-邁互為有理化因子可計(jì)算a+b,a?b,然后將求值式子化為a+b與v'3-邁=12解：a+b=、；3*2+心3r2=<3,a?b=止7.ab3+a3b=ab(b2+a2)=abKa+b)2—2ab」將a+b與a?b的值代入，得：占［G>-2-扌卜4(得：小結(jié)：顯然上面的解法非常簡(jiǎn)捷，在運(yùn)算過(guò)程中我們必須注意尋求合理的運(yùn)算途徑，提高運(yùn)算能力。類似的解法在許多問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用，大家應(yīng)有意識(shí)的總結(jié)和積累。例9：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：

2x2—4；【提示】先提取2,再用平方差公式■【答案】2（x+、邁）（x—<2）..X4—2x2—3.【提示】先將X2看成整體，利用X2+px+q=（x+a）（x+b）其中a+b=p,ab=q分解■再用平方差公式分解X2—3■【答案】3+1）（x+打）（x—J3）.例10、綜合應(yīng)用：如圖所示的RtAABC中，ZB=90°，點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)始沿BA邊以1厘米/秒的速度向點(diǎn)A移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q也從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng)■問(wèn)：幾秒后△PBQ的面積為35平方厘米PQ的距離是多少厘米（結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式表示）【專項(xiàng)訓(xùn)練】：一、選擇題：在以下所給出的四個(gè)選擇中，只有一個(gè)是正確的1、1、a-1成立的條件是:A.a豐1B.a>1C.a<1D.a<12、把￡27化成最簡(jiǎn)二次根式，結(jié)果為:A.音B-fc.169D.空93、下列根式中，最簡(jiǎn)二次根式為：1—A.j4xB.\：x2—4C巴—4D?x+4)24、已知t<1，化簡(jiǎn)1-t—\'A2—2t+1得：A.2-2tB.2tC.2D.05、下列各式中，正確的是：

A.1=-7c.1^7)=72A.1=-7c.1^7)=72D．6、列命題中假命題是：A■設(shè)x<0,貝Ui(-x匕=-xC.設(shè)x<0,貝嘰:'x2=xD．D．6、列命題中假命題是：A■設(shè)x<0,貝Ui(-x匕=-xC.設(shè)x<0,貝嘰:'x2=xD．xB.設(shè)x<0,則=-1x2設(shè)x<0,則(x2)=x27、與2、.3是同類根式的是:B.3J2C．<188、列各式中正確的是：B.2+73=2^3C.3a^x一4jx=3a-4xD.V27-畔=0三、1、化簡(jiǎn)-a^a2—4a+42、知：x=,y=2+J3273求：x2一5xy+y2拓展訓(xùn)練一、分式，平方根，絕對(duì)值；\；a2=(、瘍)2成立的條件是當(dāng)a時(shí)，也！=1；當(dāng)玄時(shí)，也1=-1。aa3?若Ja2=a，則a;若Ja2=-a，則a把(x-1)」-丄根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，結(jié)果為。x一1

5?把-33根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，結(jié)果為。36?xVy,那么化簡(jiǎn)y-x-、(x-y)x3+x3+y3;「I;四、整數(shù)部分與小數(shù)部分1■奶的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是。4■已知x,x的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求的值。73a+b10.若"懈與ga+b是同類二次根式，則a=____,b=11?求使l：-(a+1)2為實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)a的值為—。二、根式，絕對(duì)值的和為0;1.若7'(a-5)2f也+3)2=o,則｛石=02?如果52+2ab+b2+a+3=0求b-2a的算術(shù)平方根。6■在AABC中，a,b,c為三角形的三邊，則、(a-b+c)2-2|c—a-b\=y=、1-8x+p8x—1+丄,求代數(shù)式■-+—+2-，'-+--2的值。7?已知2門x“x&如果y=』2工-3+羽-2工+2,則2z+.y=。三、分式的有理化5.已知x=韶，y=啓，求下列各式的值;1、已知x=\'2-1y=<3+11、已知x=\'2-1y=<3+1求x2—y2的值。x2-3xy+2y2五、根式，分式的倒數(shù);111.已知111.已知x+-=4,求X—-的值。XX六、轉(zhuǎn)換完全平方公式;a+b..的值\：3b+2、：a1a+b..的值\：3b+2、：a1、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，匚有意義，則x的取值范圍是）；2、A.B.xW0C.x>0使二次根式J口有意義的x的取值范圍是B.x>2D.D.xV0）；1.已知a2+b2—4a—2b+5=0，求3■已知x，y是實(shí)數(shù)，?|4+/一的-9=0，若axy-3x=y，求a的值;5、已知0VxV，化簡(jiǎn)：J(x-1)2+4一J(x+1)2-4xx6、化簡(jiǎn)：1、*5+2*5?邁+2;2、訂+4抒；七、技巧性運(yùn)算.11111.+++???+一1+邁邁+訂運(yùn)+棲罷+32、計(jì)算丄+1+1+……+1的結(jié)果是1+J3J3+15<5+J7<'2n-1+(2n+14、已知a—b=2+、：3,b—c=2-、：3，那么a2+b2+c2-ab-bc-ac的值是5、已知x+y=*95-、2,x-y二丫9、2-、5那么xy的值是16、已知x一y=J5,xy=，求x2-xy+y2的值附：中考類型TOC\o"1-5"\h\z3一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根為a,則和這個(gè)自然數(shù)相鄰的下一個(gè)自然數(shù)是（）;A.a+1B.a2+1C.a2+1+14、在電路中，已知一個(gè)電阻的阻值R和它消耗的電功率P.由電功率計(jì)算公式U2P=U-可得它兩端的電壓卩為（）；RrRrp,_,_A.U=、:一B.U=、:一C.U=pPRD.U=±、PRPR5、使代數(shù)式衛(wèi)三有意義的x的取值范圍是（）x—4A、x>3；B、x三3；C、x>4；D、x三3且x豐4；6函數(shù)y=_丄的自變量x的取值范圍是（）x+2x>0B?x2—2x>—2D?x豐—2函數(shù)y=*口+丄中自變量x的取值范圍是（x—3A.xW2；B.x=3；C.x<2且x豐3；D.xW2且x豐3；二、二次根式的運(yùn)算問(wèn)題TOC\o"1-5"\h\z7、（09武漢市）二次根式貞—祝的值是（）；A.—3B.3或—3C.9D.38、（衡陽(yáng)市2009年）下面計(jì)算正確的是（）；A.3+.3=3^3B.v'27=3C.邁?、込=45D^4=±29、（09年安順市）下列計(jì)算正確的是（）；A.-邁=邁B.訂3-巨=1C.J3+邁=J5D.2、近=、拓10、（09太原市）計(jì)算的結(jié)果等于11、（黔東南州2009年）712=;12、（09山西?。┯?jì)算：-、込=備用題、（09綏化市）計(jì)算：^12-邁7=三、二次根式與絕對(duì)值、0指數(shù)幕等的混合運(yùn)算14、（09黔東南州）方程14x-81+*：x-y-m=0，當(dāng)y>0時(shí)，m的取值范圍是（）；A、0<m<1；B、m三2；C、m<2；D、mW2；15、（09嘉興市）當(dāng)x=-2時(shí)，代數(shù)式15x2—3x-1的值是■16、（09嘉興市）計(jì)算：78+（-1）2009-1^/2.17、（09臺(tái)州市）計(jì)算：-3|+G/5-1）0-&6）2.四、二次根式與整式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題：18、（09廣州市）先化簡(jiǎn)，再求值：（a-、3）（a+-a（a-6），其中a=上5+-219x（09孝感市）已知：x=運(yùn)+1,y=込-1,求下列各式的值.⑴x2+2xy+y2；（2）x2一y2.20、（09威海市）先化簡(jiǎn)，再求值：（a+b）2+（a-b）（2a+b）-3a2，其中a=-2-、3b=€3-2.1、已知x=''，y=，求：x2—3xy+y2的值；2+732-羽2、已知：x=一,y=+，計(jì)算：（1）-3x2+12xy一3y2；（2）2222-7x2-32xy-7y2五、二次根式與分式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題：21、（09黔東南州）先化簡(jiǎn)，再求值：亠-x2+2x+1一乂二！，其中x=打-2；x+2x+2x-122、（09恩施）求代數(shù)式的值：Jx-2-弐二^］，其中x=2+近.x2—4（x+2丿23、（09泰安市）先化簡(jiǎn)、再求值：上二3-（-1-a-2）,其中a仝-3。2a—4a—224、（09黔東南州）先化簡(jiǎn)，再求值：亠-x2+2x+1一土1，其中x=打—2；x+2x+2x-1六、二次根式的探究規(guī)律問(wèn)題：

25、我們看幾個(gè)等式：<1x2x3x4+1=1X4+仁5;f2x3x4x5+1=2X5+仁11;<3x4x5x6+1=3X6+仁19;仔細(xì)觀察上面幾道題及其結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律能解釋這一規(guī)律嗎并用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律猜想下面的結(jié)果：①4x5x6x7+1=.②<2006x2007x2008x2009+1=()X()+()；\,：nx(n+1)x(n+2)x(n+3)+1=2011安徽，4,4分）設(shè)a=J■育一1,a在兩個(gè)相鄰整數(shù)之間，則這兩個(gè)整數(shù)是A.1和22A.1和22和33和44和5（2011山東煙臺(tái),（2011山東煙臺(tái),5,4分）如果、（2a—1）2二1-2a，則A.aV-2B.aA.aV-2B.aW12C.a>丄2D.2011安徽蕪湖，14,5分）已知a、b為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù),且a<邁8<b，貝I]2011四川內(nèi)江，加試1,6分)若m二』11，則m5—2m4—2011m2011四川內(nèi)江，加試1,J2012—1（2011山東德州12,4分）當(dāng)x=時(shí)，旦已—1=X2—X2011四川內(nèi)江，加試3,6分）已知|6—3m\+（n—5）2=3m—6-—3）n2，則m—n二.2011四川涼山州，25,5分）已知a、b為有理數(shù)，m、n分別表示5-、訂的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且amn+bn2=1，則2a+b二201