結(jié)構(gòu)力學(xué)教學(xué)課件-09矩陣位移法

基本概念求解固體力學(xué)問(wèn)題的方法解析法——應(yīng)用經(jīng)典理論，具有精確解，但求解范圍局限；前面介紹的力法、位移法、力矩分配法等適用于手算, 只能分析較簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)。數(shù)值法——應(yīng)用線性代數(shù)中的矩陣?yán)碚摚哂薪平?，能收斂于?jīng)典解答，求解范圍廣。

以傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)力學(xué)作為理論基礎(chǔ)、以矩陣作為數(shù)學(xué)表達(dá)形

式，以計(jì)算機(jī)作為計(jì)算手段的電算結(jié)構(gòu)分析方法，它能

解決大型復(fù)雜的工程問(wèn)題。

理論基礎(chǔ)：位移法分析工具：矩陣計(jì)算手段：計(jì)算機(jī)桿件結(jié)構(gòu)的有限元法矩陣位移法第一頁(yè)，共四十一頁(yè)。本章主要內(nèi)容結(jié)構(gòu)的離散化與桿端力（位移）的表示方法；單元分析；整體分析；直接剛度法坐標(biāo)變換；邊界支承條件處理；非結(jié)點(diǎn)荷載的處理第二頁(yè)，共四十一頁(yè)。e矩陣位移法基本步驟:1.化整為零------結(jié)構(gòu)離散化

將結(jié)構(gòu)拆成桿件,桿件稱(chēng)作單元.單元的連接點(diǎn)稱(chēng)作結(jié)點(diǎn)，對(duì)單元和結(jié)點(diǎn)編碼.2.單元分析

634512135642單元桿端力3.集零為整------整體分析單元桿端位移基本未知量:結(jié)點(diǎn)位移單元?jiǎng)偠染仃嚱⒄麄€(gè)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移與結(jié)點(diǎn)荷載間的關(guān)系第三頁(yè)，共四十一頁(yè)。指桿件除有彎曲變形外，還有軸向變形和剪切變形的單元，桿件兩端各有三個(gè)位移分量

(平面結(jié)構(gòu)桿件單元的一般情況)

符號(hào)規(guī)則：圖(a)表示單元編號(hào)、桿端編號(hào)和局部座標(biāo)，局部坐標(biāo)的坐

標(biāo)與桿軸重合；

圖(b)、(c)中桿端位移和桿端力均以坐標(biāo)軸正向?yàn)檎较颍?/p>

轉(zhuǎn)角和彎矩按照右手螺旋法則確定（圖中順時(shí)針為正方向）

12EAIl(a)局部坐標(biāo)單元編號(hào)桿端編號(hào)12(b)桿端位移12桿端力(c)桿端位移、桿端力的正負(fù)號(hào)規(guī)定一般單元：①第四頁(yè)，共四十一頁(yè)。12（1）單元桿端位移向量（2）單元桿端力向量凡是符號(hào)上面帶了一橫杠的就表示是基于局部座標(biāo)系而言的；各元素按照先1端后2端并且依照順序排列。

12第五頁(yè)，共四十一頁(yè)。第9章矩陣位移法9.2單元分析（單元?jiǎng)偠确匠蹋?/p>

所謂單元?jiǎng)偠确匠讨傅氖菃卧獥U端位移與桿端內(nèi)力間關(guān)系的方程。有兩種處理方法：

先處理法及后處理法：是否先（后）處理邊界條件先處理法的優(yōu)缺點(diǎn)：[k]階數(shù)低，不統(tǒng)一后處理法的優(yōu)缺點(diǎn)：[k]階數(shù)高，統(tǒng)一，但有較多的零元素。第六頁(yè)，共四十一頁(yè)。第9章矩陣位移法9.2.1軸力桿件單元矩陣形式若122'1'9.2單元分析（單元?jiǎng)偠确匠蹋┑谄唔?yè)，共四十一頁(yè)。第9章矩陣位移法(9.4)——軸力桿件的

單元?jiǎng)偠确匠獭S力桿件的單元?jiǎng)偠染仃?/p>

(9.5)9.2.1軸力桿件單元9.2單元分析（單元?jiǎng)偠确匠蹋┑诎隧?yè)，共四十一頁(yè)。第9章矩陣位移法9.2.2平面彎曲桿件單元9.2單元分析（單元?jiǎng)偠确匠蹋?/p>

Fy1

Fy29第九頁(yè)，共四十一頁(yè)。第9章矩陣位移法9.2.2平面彎曲桿件單元9.2單元分析（單元?jiǎng)偠确匠蹋?/p>

Fy1

Fy2桿端變形

桿端力

第十頁(yè)，共四十一頁(yè)。單元左端（1端）發(fā)生支座位移時(shí)(b)kij表示第j個(gè)桿端位移分量為1時(shí)

引起的第i個(gè)桿端力分量的值

第十一頁(yè)，共四十一頁(yè)。單元2端發(fā)生支座位移時(shí)(d)kij表示第j個(gè)桿端位移分量為1時(shí)

引起的第i個(gè)桿端力分量的值

第十二頁(yè)，共四十一頁(yè)。單元1端發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)(C)kij表示第j個(gè)桿端位移分量為1時(shí)

引起的第i個(gè)桿端力分量的值

第十三頁(yè)，共四十一頁(yè)。單元2端發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)(e)第十四頁(yè)，共四十一頁(yè)。第9章矩陣位移法9.2.2平面彎曲桿件單元：桿端力表達(dá)式

9.2單元分析（單元?jiǎng)偠确匠蹋┑谑屙?yè)，共四十一頁(yè)。第9章矩陣位移法（9.7）9.2單元分析（單元?jiǎng)偠确匠蹋?.2.2平面彎曲桿件單元：矩陣形式

第十六頁(yè)，共四十一頁(yè)。第9章矩陣位移法（9.10）單元?jiǎng)偠染仃?.2.2平面彎曲桿件單元9.2單元分析（單元?jiǎng)偠确匠蹋?2341234

每一列，對(duì)應(yīng)單位變形時(shí)產(chǎn)生的桿端力第十七頁(yè)，共四十一頁(yè)。第9章矩陣位移法單元?jiǎng)偠染仃嚕?/p>

(1)每一列都有明確的物理意義；(2)恒為對(duì)稱(chēng)矩陣；(3)是奇異矩陣，不存在逆陣。反力互等定理行列式等于零無(wú)支承條件的自由桿件，在桿端力的作用下，除了彈性變形，還有剛體運(yùn)動(dòng)奇異矩陣

9.2.2平面彎曲桿件單元9.2單元分析（單元?jiǎng)偠确匠蹋┑谑隧?yè)，共四十一頁(yè)。第9章矩陣位移法9.2.3一般平面桿件單元（9.13）（9.14）

和（9.15）（9.16）

第十九頁(yè)，共四十一頁(yè)。第9章矩陣位移法即單元的桿端力向量和位移向量分別為剛度矩陣可以由軸力單元的剛度矩陣＆平面彎曲單元的剛度矩陣直接“裝配”（9.19）第二十頁(yè)，共四十一頁(yè)。（9.19）（9.20）第二十一頁(yè)，共四十一頁(yè)。（9.21）將剛度矩陣分塊，以便于使向量間的層次更加分明第二十二頁(yè)，共四十一頁(yè)。[k11]e[k12]e[k21]e[k22]e第二十三頁(yè)，共四十一頁(yè)。第二十四頁(yè)，共四十一頁(yè)。EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2123456123456

例：已知兩端固定單元兩頭只發(fā)生轉(zhuǎn)角，其它位移等于零，同時(shí)只需要獲得桿端彎矩，剛度矩陣如何裝配？處理的方法：保留剛度矩陣的第3、6行和列即可。第二十五頁(yè)，共四十一頁(yè)。EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=12

3456123456

又如：已知兩端固定單元沒(méi)有軸向變形，也不需要寫(xiě)桿端軸力，剛度矩陣如何裝配？

處理的方法：把下面剛度矩陣的第1、4行和列劃掉即可?。礊槠矫鏃U件單元）。26第二十六頁(yè)，共四十一頁(yè)。

形成兩端固定單元不考慮軸向變形的單元?jiǎng)偠染仃嚕?×4階）：（平面彎曲桿件單元）6EIL24EIL12EIL36EIL2-6EIL22EIL-12EIL36EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=12341234第二十七頁(yè)，共四十一頁(yè)。

EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=123456123456同理：對(duì)于僅具有軸力桿件的單元?jiǎng)偠染仃?，剛度矩陣如何裝配？處理的方法是：把下面剛度矩陣的第2、3、5、6行和列劃掉即可。28第二十八頁(yè)，共四十一頁(yè)。第9章矩陣位移法9.3整體分析（整體剛度方程）化整為零

集零為整結(jié)構(gòu)離散化（單元及結(jié)點(diǎn)編號(hào)）單元分析整體分析所依據(jù)的力學(xué)準(zhǔn)則——“變形協(xié)調(diào)”&“靜力平衡”

（“物理?xiàng)l件”包含在剛度矩陣中）第二十九頁(yè)，共四十一頁(yè)。第9章矩陣位移法9.2結(jié)構(gòu)的離散化與桿端力（位移）的表示假定：采用等截面直桿單元，承受結(jié)點(diǎn)荷載（非結(jié)點(diǎn)荷載另行解決）離散化的基本原則（編碼、標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系的建立）：截面變化點(diǎn)；荷載作用點(diǎn)；結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)折處。第三十頁(yè)，共四十一頁(yè)。第9章矩陣位移法首先用位移法解該題：2、桿端彎矩：

1、未知量：M1M3M2i1i21329.3整體分析（整體剛度方程）i1i2

132第三十一頁(yè)，共四十一頁(yè)。3、建立方程：4、解方程得：5、回代得：桿端彎矩①

②

③M1M3M2i1i2132第三十二頁(yè)，共四十一頁(yè)。把以上解題過(guò)程寫(xiě)成矩陣形式：1、確定未知量：可以通過(guò)編號(hào)來(lái)解決（一個(gè)結(jié)點(diǎn)一個(gè)轉(zhuǎn)角未知量）。2、桿端彎矩表達(dá)式（按桿件來(lái)寫(xiě)）1-2桿，單元①寫(xiě)成矩陣形式1212M1M3M2i1i2132單元?jiǎng)偠确匠挞佗诘谌?yè)，共四十一頁(yè)。2-3桿，單元②寫(xiě)成矩陣形式23233、位移法方程：①②③單元?jiǎng)偠确匠蘉1M3M2i1i2132①②第三十四頁(yè)，共四十一頁(yè)。位移法方程寫(xiě)成矩陣形式：整體剛度矩陣4、解方程得：5、回代得：桿端彎矩123

123結(jié)點(diǎn)荷載列陣結(jié)點(diǎn)位移列陣M1M3M2i1i2132①②對(duì)號(hào)入座第三十五頁(yè)，共四十一頁(yè)。根據(jù)全體結(jié)點(diǎn)的靜力平衡條件，單元桿端力矩與結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)荷載之間存在下列矩陣形式表達(dá)的關(guān)系：第三十六頁(yè)，共四十一頁(yè)。第三十七頁(yè)，共四十一頁(yè)。9.4直接剛度法（9.26）注意桿件的局部編碼與結(jié)構(gòu)的整體編碼之間的匹配關(guān)系：（9.25）M1M3M2i1i2132第三十八頁(yè)，共四十一頁(yè)。因此可不必進(jìn)行推導(dǎo)，直接將單元?jiǎng)偠染仃囍械脑靥钊胂鄳?yīng)位置，求得整體剛度矩陣直接剛度法(對(duì)號(hào)入座)

1212

2323123123第三十九頁(yè)，共四十一頁(yè)。（9.27）25個(gè)地址帶狀稀疏矩陣中心帶狀稀疏性程序化建立整體剛度矩陣