二項分布和超幾何分布的區(qū)別(含答案)復習過程

收集于網絡，如有侵權請聯系管理員刪除收集于網絡，如有侵權請聯系管理員刪除二項分布和超幾何分

布的區(qū)別（含答案）

超幾何分布和二項分布一、兩者的定義是不同的1超幾何分布的定義在含有M件次品的卅件產品中，任取岸件*其中恰有X恰有X件次品，則P乜=必=網其中旳=血門［腮At且n<N.M<N,nM,N￡N\稱隨機變量X服從超幾何分布，X1:■ld■P廣0廣1沖一0C；J'nmcfjV■■廣ffl廣片一加52獨立重復試驗與二項分布的定義獨立重復試驗.在相同條件下竜復做的丹次試驗，且各次試驗試驗的結果相互獨立，稱為用次獨立重復試驗，其中AC/-1.2^n)是:第f次試驗結果，則A444?…如=H4)p(婦ZUJ…?二項分布.在"次獨立更復試驗中，用無表示事件眉發(fā)主的次數，設每次試驗中事件川發(fā)主的概率為P,則PgA)=C：h(1-ri^a=0,1p2Trr),此時稱隨機變呈/服從二項分布，記作X?時、并稱。為成功概率.本質區(qū)別超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，而二項分布描述的是放回抽樣問題超幾何分布中的概率計算實質上是古典概型問題；二項分布中的概率計算實質上是相互獨立事件的概率問題二、兩者之間是有聯系的

人教版新課標選修2-3第59頁習題2.2B組第3題：例1某批n件產品的次品率為2%,現從中任意地依次抽出3件進行檢驗，問：（1）當n=500,5000,500000時，分別以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件產品的概率各是多少？（2）根據（1）你對超幾何分布與二項分布的關系有何認識？【解】（"在不放回的方式抽取中，每次抽取時都是從這門件產品中抽取，從而扌由到次品的槪率都為0.02.可品數/?^（3,0.02），恰好抽到1件次品的概率為=l)=C\0.02x(l-0.02)2=3x0.02x0.982^0.057624在不放回的方式抽取中，抽到的次品數X是隨機變量，無服從超幾何分布，片的分布與產品的總數和有關，所以需要分3種情況分別計算：①》500時，產品的總數為500件；其中次品的件數為500X2^=10,合格品的件數為490從500件產品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率為“斗90x489^OO57S5S；pmW站吩戈！_的張4^OO57S5S；I_丿一匚爲-500x499x49ji~5IMIx49yx49K3!②n=5000時，產品的總數為5000件'其中次品的件數為5000X2^=100,合格品的件數為4900從5000件產P(X-1)-300x4900x48^95000x499^x4998品中抽出3件，其中恰好抽到P(X-1)-300x4900x48^95000x499^x4998*0.057647^?n=50000時，產品的總數為50000件，其中次品的件數為50000X2%=1000,合格品的件數為49000,從50000件產品中抽岀3件；其中恰好抽到1件次品的概率為二1）二二1）二3000號4沁00弒4899950000x49999x49998紜0.057626.⑵根據（D的計算結果可以看出，當產品的總數很大時，超幾何分布近似為二項分布?這也是可以理解的，當產品總數很大而抽出的產品較少時，每次抽出產品后，次品率近似不變，這樣就可以近似看成每次抽樣的結果是互相獨立的，抽出產品中的次品件數近似服從二項分布.【說明】由于數字比較大，可以利用計算機或計算器進行數值計算?另外，本題目也可以幫助學生了解超幾何分布和二項分布之間的關系：第一，n次試驗中，某一事件A出現的次數X可能服從超幾何分布或二項分布?當這n次試驗是獨立重復試驗時，X服從二項分布；當這n次試驗是不放回摸球問題，事件A為摸到某種特性（如某種顏色）的球時，X服從超幾何分布第二，在不放回n次摸球試驗中，摸到某種顏色的次數X服從超幾何分布，但是當袋子中的球的數目N很大時，X的分布列近似于二項分布，并且隨著N的增加，這種近似的精度也增加.從以上分析可以看出兩者之間的聯系：當調查研究的樣本容量非常大時，在有放回地抽取與無放回地抽取條件下，計算得到的概率非常接近，可以近似把超幾何分布認為是二項分布.例2袋中有8個白球、2個黑球，從中隨機地連續(xù)抽取3次，每次取一個球，求（1）又放回抽樣時，取到黑球的個數X的分布列；（2）無放回地抽樣時，取到黑球的個數Y的分布列.例1袋中有8個門球.2個黑球『從中隨機地連續(xù)抽取孑次，每次取1個球求：(1)有放回抽樣時舟取到烝球的個數兀的分布列；(2)無放冋抽祥時‘取到黑球的個數丫的分布列.解〈1)有放回抽樣時r取到的黑球數匱可取的取俏為0.1,23-又由于每次取到黑球的概率均為H次取就可以看成？次獨立重復試驗?則上-R⑶*)./*{A'=0]=<^(-y)C'(~)3=P(X-1}==—i小"二詠新(p=律KX=3}-^(y)5(4)°=[吉：因此用的分布列為V01234S121P\25125125125(2)無故回抽樣時+取到的黑球數F可能的取值為且有：7、C\C；P(F=0)=4^5o?IT巴八1-廣I~fp/y*、CtGi=15囚此「的分布列為Y012P71571'1515?例匚(2016?潭河模擬)寒假期間「我市某校學生會組織部分同學，用鋼。分制”隨機調查“陽光花園‘‘社區(qū)人們的幸福度.現從調查人群中隨機抽取忙名.如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分數(以小數點前的一位數字為莖，小數點后的一位數字為葉幾若車福度分數不低于&5分，則稱該人的幸福度為“幸?！?幸福度7308446677889997655(1)求從這比人中隨機選取3人,至少有2人為“幸福協(xié)的概率匚⑵以這皓人的樣本數據來估計整個社區(qū)的總體數據，若從該社區(qū)(人數很夢〉任選3人，記4表示抽到“幸福”的人數，求占的分布列及數學期望.［錯解］⑴由莖葉圖可知，抽取的16人中悻?！钡娜藬涤腥嗜耍渌挠?人；記''從這加人中隨機選取3人，至少有2人是“幸福神"為事件4由題意得0\蟲_114070_140(2)￡的可能取值為0,1,2,3.則P(￡=0)=41560-14072則P(￡=0)=41560-14072_9560~70264_33560_7040123￡?193311r140707028220_1156028所以4的分布列為1933119［錯解分析］第二問的選人問題是不放回抽樣問題,按照定義先考慮超幾何分布，但是題目中又明確給出:“以這16人的樣本數據來估計整個社區(qū)的總體數據，從該社區(qū)（人數很多）任選3人”，說明不是從16人中任選3人,而是從該社區(qū)（人數很多）任選3人,所以可以近似看作是3次獨立重復試驗，應該按照二項分布去求解，而不能按照超幾何分布去處理.【正解】（1）同上；（町由莖葉圖和任選一人■該人幸福度為“幸福"的槪f的可能取值5^0.1,2.3,廣昭1；｝,則忙=0）1/1Y則忙=0）1/1Ya叱7匚刃2卜耐所以I的分布列対i0123p16496427642764從以上解題過程中我們還發(fā)現，錯解中的期望值與正解中的期望值相等，好多學生都覺得不可思議,怎么會出現相同的結果呢？其實這還是由于前面解釋過的原因，超幾何分布與二項分布是有聯系的,看它們的期望公式：(1)在含有冊件次品的川件產品中，任取葉件，其中恰有才件次品，隨機變量才服從超幾何分布，超幾何分布的期望計算公式為EX=竺(可以根據組合數公N式以及期望的定義推導)’C2)隨機變量X服從二項分布，記作7匕乩EX=npi當超幾何分布中的Ntoo時’藝，可以把N超幾何分布中的不放回抽樣問題，近似看件是有放回抽樣問題，再次說明2Too時，可以把超幾何分布看作是二項分布一綜上可知，當提問中涉及“用樣本數據來估計總體數據”字樣的為二項分布。例2根據我國相關浹規(guī)規(guī)定，食甜的含汞屋不得超過1血ppg沿海某市對一種貝類海鮮產品進行拙樣檢杳，抽出樣本2。牛，測得含汞墾(單?位；卩網)數據如F表所養(yǎng)a(0.25,(a50f(0.75,(1/zrsi0.25]0.50]0.75]1]1.25]1.50]頻數43223(1)若從這20個產品中隨機任取3個,求恰有一個含汞雖超標的槪率；(2)以此如個產品的樣豐數據來估計這批貝類海鮮產品的總體?若從這批數量很夫的貝類海鮮產品中任選3個?記瓷表示抽到的產品含汞星超標的個數+求E的分布列及數學期望EE解⑴記“從這如個產品中隨機任取3個*恰有一牛含汞量超標”為事件九則所求概率為

（2）錯解所有f的取值為3,2』*F帖")_爼455二lUO^=1)525■硯_1140*莖2}一咼15C'1140*P姑一點酪~CL10=H401故F的分布列如下Eo123455525J501011401140J140U40器o+Ix525_114042X150立1伽宀W=3_1140=T（2）正解依題意.這批貝類海鮮產品中含汞量趙標的概率為所有總的取值為珥F=0）-?（+）%+）'=鞏￡=門蘭G（*）弋尋）’土P聳=2）=空（+『｛弓■”二叱=旳二臥p（討=故E的芬布列如下￡0[13P2764'27M9IEg乂a27127+1X7T64+2K--+3x—M-643（可苴接應用二項分布期望去式①用獨立重復試驗要求獨立（互不影響）而且重復（前后概率都相同）

②如果是任取，是一把取出來，還是分多次取出來，前后兩次會造成影響么？概率會相同么？有沒有順序？[由我旌測焼研熬機構往備舉行一啟毀學新課程研討僉，共違請別定一規(guī)就奔教憶使用不同脫本就材的救奔人毀如下表所豐:人就盤皺人就B版蘇赴慝北料大版人就2015510⑴版it鈾習就萍申隨機選!fc1客T奉M人所伐用戯本^目同制慨單；②苦疏機逸出2寵険用人就皺周就師疫吉「設樓用人就丄驢尚就肺人毀務X,采甌機酸量X的分并列施紙學期愛-薛：⑴眞50峯就弼中隨機選出2廟時亦法鉄営€^]=1225,選th2人使用題本4目同的店法毀看鷗4UHV+<^i=3毬撫2人權用皺本制同的慨犁務戸=害￥=言(2図的所宵可能取值対0,1,2.吩=1)=60

lip吩=1)=60

lip-理￥=可=魚_J1岳=而X012P3I?119鋁11?"^_0x17+1x1W+2x1M_119—7答題模板模板一離散型隨機變量的期望和方差例1.（2016*天津高考理1氐13分）某小組共10人,利用假期參抑義工活動，己知參加義工活動次數為I,2,號的人數分別為3,?￡現從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.（1）設A為事件巧矗由的2人參加又工活動次數之和為4J求事件A發(fā)生的概率：〔2）沒X為選出的2人參加義工活動次數之差的絕對俏，求隨機變量X的分布列和數學期望.思維分析「775：茁亦2U尋亦疋E帚懇兩丘齊1|A.求出選山的2人參加義丄沾吻次數藝和的所冇結II果.即町求解概率’epp（A）.I\<2）隨機變城X的可范取ff]為U,1,N分別求出I；卩tx-o）,P（X=l）.PCX=2）的lit■由此能求出I|X的分布列和EX,]規(guī)范解答示例TOC\o"1-5"\h\z\(丨)從W人中選出2人的選法哉有￡：=羽種，|i事件A：參加次數的和為4,情況有匕①1人參加丨|｝次?另I人參加3次：②2人都參抑2次一||共有C；C：+CJ-I5種，I■……制L宀I453IIII;二申件人發(fā)牛.的槪率為二!34分|1(R)%的可能取值為山】?2.P(X=0)=Q；+f：；+U415g+*：-cT~215P(X=2)=415川分!--X的分布列為’111t11X012P4741111石1515AEX=OxA十心丄十2x?=d*151515I…]32卜|建設答題模板求離散型隨機變量的均值和方差問題的一般步驟:第一步：確定隨機變量的所有可能取值.第二步：求每一個可能值對應的概率.第三步：列出離散型隨機變量的分布列.第四步：利用公式求出均值和方差.第五步：反思回顧■查看關鍵點、易錯點和答題規(guī)范.模板二離散型隨機變量的決策問題例2.(2016-新課標1理19,12分〉某公司計劃購買2臺機器’該種機器使用三年后即被淘汰"機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買*則每個兀+現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集井整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得如圖柱狀圖：以這100件機器更換的易損番件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發(fā)主的概率，icx表示2臺機(I)求X的分布列；(H)若要求P(X<n)>0.5r確定n的最小值*(ID)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在呼19與口=20之中選其一，應選用哪個？思堆分析<D由已知得X的可能取值為16,17,l?fL乩20.|\21.22r竹別束出相應的槪率，由此能來出X的分|測列.|<n)由x的甘布列琳出p(X￡i&｝與p(x<19).1山此陡確丘満足嚴疋蘭町芒0.5屮n的繪小■｛乩(m)由x的井布科得po^iso.求出買也佈1|哥費川期型眈I相買卻個所需費叩則"心比較I；exl與n選用期閔較小的那卒.構建答題模板TOC\o"1-5"\h\zI利用期望與方差進行決策的方法：IIII笫一步：求離收型隨機變呈拘數學朋望：此題解題的|!關魏是正確求出x的分布列.計算!EX=x,p,+眄用+…十兀耳，III第二步：比較兩種情況，通常首先比較數學期報期i[望反應了隨機變量的平均程度0!!第三步；報據最大收益原則，作出的選擇應該是數學II期塑高的方案。|\第網步：若期塑相等時.計算各自的方墾I]DX(X,-EX'y-+(a2EX)1-^+■+(^-/；\；仃】門2點門汕杠變祠巧聘疋件、力萃題小垃彳工二選|；擇方差較小者n｝II

I解:(]>Eh已知誓X的可能取血為16,17,IK,19,[護，21.22.|i|MJP(X-I6J■(-^L)jXi10025叫y)F嗇詩Ipg屈律齋X舗叭嗇產畚pg"囁)噲X1619202122P242SG2562552522512F；(IDii(I)騙hIsI8)==36)+/<￥=37}+找￡=1弟I=擺用=E}+岬片=l7]4-^4f=I￡}+P{j=]y)\-丄』』』-￡[252525252SI；.iff}5:0.5屮，"的塔小16為w-cm)由燈〕簿(^Ar<]9)|=P(X=16)+P(X=l7)-bP(lr■=!&}+P(X-19)L146L6_17252S252525,2UO\2Q+5W)門-+2E!買20平屈描零曲所醫(yī)費用的麗K*,2UO\2Q+5W)門-+2E丄■電琳仏25|■.'EX|-^EX,rASW平更音適.即應選ii=I:9b18.小題満分12^-）為旳戰(zhàn)國?！毕錅史龌?，廣業(yè)扶克“抽戰(zhàn)略，世一步優(yōu)化能源?fj費結梅，某市決応在一地處山區(qū)的』縣睢進光伏發(fā)電項口，衽詡縣山區(qū)居艮中隨機抽眠射戶，統(tǒng)計真年用電雖得到以卜統(tǒng)計表，頤桿*的頻率作九概率.ni電圭（度）(0.200](200,400](400,6(10](600.800](500,1000]戶數51510155〔門在詒縣山戌用良屮師機抽取10F，記具屮年用電雖爪趙過￡00度的戶數4JC求疋的數學捌望；⑺□知診去杲山區(qū)門然杓有居民3誡戶丁若計劃在該村安裝總轉機容魚為3QQ-T乩的比火壩電執(zhí)組'諂機紅聽發(fā)電塑除保LE該村匸常H1電外，剩余電雖區(qū)家電網以兀/度進行收購.經測算以每T瓦裝機容量T商發(fā)電1000疫，試帖汁診機紐毎今所發(fā)電雖除保止正常用電外注能為諺村創(chuàng)造直播收益藩卩兀？1S.解：（1）詣在該縣山區(qū)居民屮隨肌抽取1F,其鄧用電星木超過GOO度為爭件/.市卩（⑷=￡3分市□知W得從直縣山區(qū)尿艮屮隨機抽取10戶，衛(wèi)共屮鄧川電星爪超過goo度創(chuàng)戶數用，服從—壩■分布,即X故E(X)即X故E(X)⑵謖診總山區(qū)居民尸甘購川電雖為E（y）,rt抽樣刖得TOC\o"1-5"\h\zS（F}100x—+300X—+500k—+700x—+5iMxA=50<1C度》10v75050505050分則詒門煎棚年均川電150000度.乂詒杓所一裝發(fā)電機組年預汁發(fā)電亞為300000度,故諭拭組每年所發(fā)電量除保社正荷川電外迷能剩余電呈的150000度，能為詒杓創(chuàng)造直浚收益120000元L2-芬（2008年高考理科二卷）（18）（本大題滿分12分）購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費a元，若投保人在購買保險的一年度內出險，則可以獲得10000元的賠償金?假定在一年度內有10000人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立?已知保險公司在一年度內至少支付賠償金10000元的概率為10.999K4.(I)求一投保人在一年度內出險的概率p;(II)設保險公司開辦該項險種業(yè)務除賠償金外的成本為50000元，為保證盈利的期望不小于0,求每位投保人應交納的最低保費(單