確定角范圍的七種方法

Word-5-確定角范圍的七種方法

2確定角范圍的七種辦法由于點(diǎn)B是鈍角β2的終邊與單位圓O的交點(diǎn)，且點(diǎn)B的縱坐·標(biāo)是，所以sinβ＝，cosβ72＝－，101010四川·成都陳玉華72－三角函數(shù)的求值問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn)，而求值問(wèn)題的關(guān)鍵是確定角的范圍，也惟獨(dú)確定了角的范圍，才干判所以cosα－β＝cosαcosβ＋sinαsinβ5252＝×1010＋×＝－.551010斷三角函數(shù)值的符號(hào)，進(jìn)而正確求值，本文給出確定角的范圍的七種辦法，供大家參考.2由于sinα255＝，cosα＝，cosα0－β1＝－，

一、按照所給角的范圍確定551072－例1已知4，，求2的范圍.sinα－β＝sinαcosβ3－cosαsinβ2552＝×1010－×＝－，33551010解設(shè)2mn，則2mnmn.所以sin2α－β＝sin[α＋α2－β]＝sinαcosα－β＋cosαsinα－β＝－，21mn2m比較兩邊系數(shù)得，解得πππ225，.所以213.mn1由于α2，π為銳角，sinα＝，所以α∈42，所以2α∈2，n322522π，πππ－，4又β∈2，所以2α－β∈22，而，且，可得2.336π所以2α－β＝－.4評(píng)析本題利用待定系數(shù)，結(jié)合整體思想，用與整體表示2，按照不等式性質(zhì)，正確求出2的范圍.若利用已知條件分離求α、β的范圍，然后再求2的范圍，這樣所求得的2范圍比實(shí)際范圍要大，

三、按照三角函數(shù)的單調(diào)性確定則產(chǎn)生錯(cuò)解.3例3已知，（0s1，），且sinin，coscos，求α－β的值.

二、按照三角函數(shù)值確定利用特別值與特別角縮小范圍222例21sis1已知（0，），且sincos，求cos2的值.2nin解由條件知2兩式平方相加得112cos1，所以cos1.因，（0，），122解由sincosi3，可得sn2，可知α不能是銳角或直角，所以.cos3sco24221所以.又sinsin0，知sinsin，所以，即

0.由上可得sin|cos|3，37由條件易得，可知即2，故cos2.22222424.3評(píng)析如圖所示，若0，則1sincos23；若，則0≤sincos31；若，2244評(píng)析本題按照已知條件，得.若到此為止，則產(chǎn)生錯(cuò)解.因此應(yīng)進(jìn)一步通過(guò)正弦函則1sincos0；若37，則23sinα＋cosα≤－1；若，則1sincos0；2232247數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得，從而將α－β的范圍縮小為α－β0，問(wèn)題就迎刃而解了.若2，則0sincosα≤

1.通過(guò)上述結(jié)論可迅速斷定本題中α的范圍.240π，跟蹤練習(xí)已知α，β，γ∈2，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，則下列說(shuō)法正確的是跟蹤練習(xí)如圖，在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為始邊的銳角α與鈍角β的終邊與單A．cosβ－α1＝B．cosβ－α1＝C．β－αππ＝－D．β－α＝2333位圓O分離交于A，B兩點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸與單位圓O交于點(diǎn)M，已知S52△OAM＝，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是.510解析由題意知，sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ，1求cosα－β的值；將兩式分離平方后相加，得1＝sinβ－sinα2＋cosα－cosβ2＝2－2sinβsinα＋cosβcosα，2求2α－β的值．1∴cosβ－α＝，即選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；2解1由題意知，|OA|＝|OM|＝1，由于S1|OA|·|OM|sinα5△OAM＝＝，所以sinα255＝，又α為銳角，所以cosα＝.25550π，∵γ∈2，∴sinγ＝sinβ－sinα0，第1頁(yè)共2頁(yè)0π，∴βα，而α，β∈2，∴0β－απ，∴β－απ＝，23即選項(xiàng)D正確，C錯(cuò)誤．

四、結(jié)合三角形中角的范圍確定例4c在銳角△ABC中，a、b、c分離是內(nèi)角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊，若C=2B，則的范圍是（）bA.（0，2）B.（2，2）C.（2，3）D.（1，3）csinCsin2B解因C=2B，由正弦定理知2cosBc，所以把求的范圍轉(zhuǎn)化為求2cosB的范圍，進(jìn)而轉(zhuǎn)化bsinBsinBb為求B的范圍.由△ABC為銳角三角形，知0B2第2頁(yè)共2頁(yè)，而0C2B，且0A3B解得B..故選C.2264評(píng)析本題若僅考慮0B2，則錯(cuò)選A.因而應(yīng)按照條件全面考慮A、B、C均為銳角，從而確定B的范圍.

五、通過(guò)角的互相制約舉行確定例5已知△ABC中，33Bsin2Acos41Bcos2Asin4，，求C的大小.解由已知33Bsin2Acos41Bcos2Asin4，，平方相加得21Csin，所以C=30°或C=150°.由，可知，得21Bcos0Bcos21Asin4B60°在△ABC中，0°C120°，故C=30°.評(píng)析本題由21Csin，知C的值不唯一，因此推斷C的范圍就成了解決問(wèn)題的關(guān)鍵.而已知條件中僅含有A、B，因此可推斷其中某一個(gè)角（例如B）的范圍，從而間接求得C的范圍.跟蹤練習(xí)2022·阜陽(yáng)模擬設(shè)α，β∈[0，π]，且滿足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，則sin2α－β＋sinα－2β的取值范圍為．解析由sinαcosβ－cosαsinβ＝1，得sinα－β＝1，又α，β∈[0，π]，∴－π≤α－β≤π，∴α－β＝π2，∴0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，即π2≤α≤π，∴sin2α－β＋sinα－2β＝sin2α－α＋π2＋sinα－2α＋π＝cosα＋sinα＝2sinα＋π

4.∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤5π4，∴－1≤2sinα＋π4≤1，即sin2α－β＋sinα－2β的取值范圍為[－1，1]．

六、通過(guò)方程解的狀況確定例6已知方程01a3ax4x2（a1）的兩根為tanα，tanβ，且α，β），（22，求2tan的值.解由韋達(dá)定理可得1a3tantana4tantan，∴341a31a4tantan1tantantan∴212tan22tan342tan12tan22或，解得又a1，故tanα，tanβ同為負(fù)值，可知02，，∴），（），即，（0220可得22tan02tan，故評(píng)析本題按照a1，結(jié)合韋達(dá)定理推斷兩根tanα，tanβ的符號(hào)，從而獲得α，β的精確?????范圍.若不注重對(duì)角的范圍挖掘，易得出兩個(gè)答案，從而造成錯(cuò)解.

七、通過(guò)數(shù)形結(jié)合確定角的范圍例7若），則（20tancossin（）A.），（60B.），（46C.），（34D.），（23分析α的范圍是由已知三角方程確定，但解這個(gè)方程又超出了高中數(shù)學(xué)的范圍.因此可通過(guò)α所在的范圍內(nèi)，有這樣的α值使得方程成立的這一原理，利用估值選出正確答案，或通過(guò)數(shù)形結(jié)合的辦法解決.解設(shè)xtanxg4xsin2xcosxsinxf