2020高中數(shù)學(xué) 第1章 數(shù)列 .1 等比數(shù)列 第2課時(shí) 等比數(shù)列的性質(zhì)教案 5

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE13-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1。結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì),了解等比數(shù)列的性質(zhì)和由來(lái)．2．理解等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用．（重點(diǎn))3．掌握等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用．（難點(diǎn))1.通過(guò)等比數(shù)列性質(zhì)的研究,培養(yǎng)邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．2．通過(guò)學(xué)習(xí)等比中項(xiàng)的概念．提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)。1．等比數(shù)列的單調(diào)性閱讀教材P23思考交流以下P24例3以上部分，完成下列問(wèn)題．對(duì)于等比數(shù)列{an}，通項(xiàng)公式an＝a1·qn－1＝eq\f(a1,q）·qn。根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可分析當(dāng)q＞0時(shí)的單調(diào)性如下表：a1a1＞0a1＜0q的范圍0＜q＜1q＝1q＞10＜q＜1q＝1q＞1｛an}的單調(diào)性遞減數(shù)列常數(shù)列遞增數(shù)列遞增數(shù)列常數(shù)列遞減數(shù)列思考：（1)若等比數(shù)列｛an｝中，a1＝eq\r（2)，q＝eq\f(1,2)，則數(shù)列{an｝的單調(diào)性如何？[提示]遞減數(shù)列．(2）等比數(shù)列｛an}中,若公比q＜0，則數(shù)列{an}的單調(diào)性如何?[提示]數(shù)列｛an}不具有單調(diào)性，是擺動(dòng)數(shù)列．2．等比中項(xiàng)閱讀教材P25練習(xí)2以上最后兩段部分，完成下列問(wèn)題．(1）前提：在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使得a，G，b成等比數(shù)列．（2）結(jié)論：G叫作a,b的等比中項(xiàng)．（3）滿足關(guān)系式：G2＝ab．思考：(1)任意兩個(gè)數(shù)都有等差中項(xiàng)，任意兩個(gè)數(shù)都有等比中項(xiàng)嗎？[提示］不是，兩個(gè)同號(hào)的實(shí)數(shù)必有等比中項(xiàng)，它們互為相反數(shù)，兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)無(wú)等比中項(xiàng)．(2)兩個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)是唯一的，若兩個(gè)數(shù)a,b存在等比中項(xiàng)，唯一嗎？［提示]不唯一，如2和8的等比中項(xiàng)是4或－4。1．已知｛an｝是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝eq\f(1，4),則公比q等于()A．－eq\f(1,2) B．－2C．2 D．eq\f（1,2)D［由a5＝a2q3，得q3＝eq\f(a5，a2）＝eq\f(\f（1，4）,2）＝eq\f（1，8），所以q＝eq\f(1，2)，故選D．]2．將公比為q的等比數(shù)列｛an｝依次取相鄰兩項(xiàng)的乘積組成新的數(shù)列a1a2，a2a3，a3A．公比為q的等比數(shù)列B．公比為q2的等比數(shù)列C．公比為q3的等比數(shù)列D．不一定是等比數(shù)列B［由于eq\f（anan＋1,an－1an)＝eq\f（an，an－1）×eq\f(an＋1,an)＝q·q＝q2，n≥2且n∈N＋，所以｛anan＋1｝是以q2為公比的等比數(shù)列，故選B．]3．等比數(shù)列｛an｝中，若a1＝2，且{an｝是遞增數(shù)列，則數(shù)列｛an｝的公比q的取值范圍是________．（1,＋∞)［因?yàn)閍1＝2＞0，要使｛an｝是遞增數(shù)列,則需公比q＞1.]4．4－2eq\r(3）與4＋2eq\r（3）的等比中項(xiàng)是________．2或－2［由題意知4－2eq\r(3)與4＋2eq\r(3）的等比中項(xiàng)為±eq\r（4－2\r(3）4＋2\r（3))＝±eq\r（16－12)＝±2。]等比中項(xiàng)及應(yīng)用【例1】(1)設(shè)x，2x＋2，3x＋3成等比數(shù)列，則x＝_____________。（2)設(shè)a，b，c是實(shí)數(shù),若a，b,c成等比數(shù)列，且eq\f(1，a)，eq\f(1,b),eq\f(1,c）成等差數(shù)列，則eq\f(c,a)＋eq\f(a,c)的值為________．(1）－4（2）2［（1）由題意得（2x＋2）2＝x(3x＋3)，x2＋5x＋4＝0，解得x＝－1或x＝－4，當(dāng)x＝－1時(shí)，2x＋2＝0，不符合題意，舍去，所以x＝－4.（2)由a,b,c成等比數(shù)列,eq\f（1，a），eq\f（1，b）,eq\f(1，c）成等差數(shù)列，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（b2＝ac，,\f(2,b)＝\f（1,a)＋\f(1,c)，))即eq\f(4，ac）＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,a）＋\f(1,c）））2,故(a－c)2＝0，則a＝c，所以eq\f(c,a）＋eq\f（a,c）＝1＋1＝2.］應(yīng)用等比中項(xiàng)解題的兩個(gè)注意點(diǎn)（1）要證三數(shù)a,G，b成等比數(shù)列，只需證明G2＝ab，其中a，b,G均不為零．(2）已知等比數(shù)列中的相鄰三項(xiàng)an－1，an，an＋1,則an是an－1與an＋1的等比中項(xiàng)，即aeq\o\al（2，n）＝an－1·an＋1，運(yùn)用等比中項(xiàng)解決問(wèn)題,會(huì)大大減少運(yùn)算過(guò)程．1．（1）已知1既是a2與b2的等比中項(xiàng)，又是eq\f(1，a)與eq\f(1，b)的等差中項(xiàng)，則eq\f（a＋b,a2＋b2)的值是()A．1或eq\f（1,2) B．1或－eq\f(1,2）C．1或eq\f(1,3） D．1或－eq\f（1，3）（2)已知等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為a－1，a＋1，a＋4，則an＝________。（1)D(2)4×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3,2)))n－1［（1）由題意得，a2b2＝（ab)2＝1，eq\f(1，a)＋eq\f（1，b)＝2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝1，,a＋b＝2））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（ab＝－1,，a＋b＝－2.）)因此eq\f（a＋b，a2＋b2)的值為1或－eq\f(1，3).(2)由已知可得(a＋1）2＝（a－1)(a＋4），解得a＝5,所以a1＝4，a2＝6，所以q＝eq\f(a2,a1)＝eq\f(6，4)＝eq\f（3,2），所以an＝4×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3，2）））n－1.］等比數(shù)列的設(shè)法與求解【例2】已知四個(gè)實(shí)數(shù)，前三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列,它們的積是－8,后三個(gè)數(shù)依次成等差數(shù)列，它們的積是－80,則這四個(gè)數(shù)為________．1,－2，4，10或－eq\f(4,5），－2，－5，－8［由題意設(shè)此四個(gè)數(shù)分別為eq\f(b,q)，b，bq，a，則b3＝－8，解得b＝－2，q與a可通過(guò)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2bq＝a＋b，，ab2q＝－80))求出，即為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝10，，b＝－2，，q＝－2)）或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝－8,，b＝－2，，q＝\f（5，2)，））所以此四個(gè)數(shù)為1，－2,4，10或－eq\f(4，5)，－2，－5，－8.］靈活設(shè)項(xiàng)求解等比數(shù)列的技巧(1)三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為eq\f（a,q)，a,aq.(2)四個(gè)符號(hào)相同的數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為eq\f(a,q3)，eq\f(a，q)，aq，aq3.（3)四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，不能確定它們的符號(hào)相同時(shí)，可設(shè)為：a，aq,aq2，aq3。2．已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其積為1，第2項(xiàng)與第3項(xiàng)之和為－eq\f(3，2)，則這三個(gè)數(shù)依次為________．－eq\f（2,5）,1，－eq\f（5,2)[設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為eq\f（a,q），a,aq，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a3＝1，，a＋aq＝－\f(3,2），))解得a＝1，q＝－eq\f(5，2），所以這三個(gè)數(shù)依次為－eq\f(2,5）,1，－eq\f（5，2）.］等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用［探究問(wèn)題］1．在等差數(shù)列｛an｝中，an＝am＋(n－m）d,類比等差數(shù)列中通項(xiàng)公式的推廣，你能得出等比數(shù)列通項(xiàng)公式推廣的結(jié)論嗎？[提示]an＝am·qn－m.2．在等差數(shù)列{an｝中，由2a2＝a1＋a3,2a3＝a2＋a4，…我們推廣得到若2p＝m＋n，則2ap＝am＋an，若｛a［提示]若2p＝m＋n,則aeq\o\al(2，p）＝am·an.3．在等差數(shù)列{an｝中，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq，類比這個(gè)性質(zhì)，若｛an}是等比數(shù)列，有哪個(gè)結(jié)論成立？[提示]若m＋n＝p＋q,則am·an＝ap·aq?！纠?】（1)在等比數(shù)列｛an}中，an＞0，若a3·a5＝4，則a1a2a3a4a5a6a7＝________。（2）設(shè)｛an}為公比q＞1的等比數(shù)列，若a2018和a2019是方程4x2－8x＋3＝0的兩根,則a2030＋a2031＝________。（3)在等比數(shù)列{an}中,已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比q為整數(shù)，則an思路探究：利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解．（1)128（2）2·312(3）－（－2)n－1[（1）a3a5＝aeq\o\al(2,4)＝4，又an＞0，所以a4＝2，a1a2a3a4a5a6a7＝（a1·a7)·（a2·＝aeq\o\al(2,4)·aeq\o\al(2,4)·aeq\o\al(2，4)·a4＝aeq\o\al（7,4)＝27＝128.（2)解方程4x2－8x＋3＝0得x1＝eq\f（1,2)，x2＝eq\f(3，2），因?yàn)閝＞1，故a2019＝eq\f（3,2），a2018＝eq\f(1,2），故q＝3，∴a2030＋a2031＝a2018q12＋a2019·q12＝(a2018＋a2019）q12＝2·312.（3)在等比數(shù)列{an}中,由a4a7＝－512得a3a又a3＋a8＝124，解得a3＝－4，a8＝128或a3＝128，a8＝－4，因?yàn)楣萹為整數(shù)，所以q＝eq\r(5，\f（a8,a3))＝－eq\r（5,\f（128，4））＝－2，故an＝－4×(－2）n－3＝－(－2）n－1。］1．（變條件）將例3(3)中等比數(shù)列滿足的條件改為“a4＋a7＝2，a5a6＝－8”，求a1＋a10［解］因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，所以a5a6＝a4a又a4＋a7＝2，解得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4，當(dāng)a4＝4，a7＝－2時(shí)，q3＝－eq\f（1,2),a1＋a10＝eq\f(a4，q3）＋a7q3＝－7,當(dāng)a4＝－2，a7＝4時(shí)，q3＝－2,a1＋a10＝eq\f（a4，q3）＋a7q3＝－7.故a1＋a10＝－7。2．（變結(jié)論)例3（3)題的條件不變，求log4|a2｜＋log4｜a3｜＋log4｜a8｜＋log4|a9｜.［解］因?yàn)閍4a7＝－512,所以a2a9＝a3故log4｜a2｜＋log4|a3｜＋log4｜a8｜＋log4|a9｜＝log4(|a2a9|·|a3a8|）＝log45122＝log229＝9.等比數(shù)列的常用性質(zhì)性質(zhì)1：通項(xiàng)公式的推廣：an＝am·qn－m(m，n∈N＋）．性質(zhì)2:若{an｝為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，則ak·al＝am·an.特別的，若k＋φ＝2m(m，k，φ∈N＋），則ak·aφ＝aeq\o\al(2,m）。性質(zhì)3:若{an}，｛bn｝(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列,則｛λbn}，eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1（\f（1，an））），{aeq\o\al（2，n）}，｛an·bn},eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1（\f(an，bn）））仍是等比數(shù)列．性質(zhì)4：在等比數(shù)列｛an}中，序號(hào)成等差數(shù)列的項(xiàng)仍成等比數(shù)列．性質(zhì)5：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a1＞0，，q＞1)）或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a1＜0，，0＜q＜1））?｛an｝遞增；eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a1＞0,,0＜q＜1))或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a1＜0，，q＞1)）?｛an}遞減；q＝1?{an｝為常數(shù)列；q＜0?{an｝為擺動(dòng)數(shù)列．1．解題時(shí),應(yīng)該首先考慮通式通法，而不是花費(fèi)大量時(shí)間找簡(jiǎn)便方法．2．所謂通式通法，指應(yīng)用通項(xiàng)公式,前n項(xiàng)和公式，等差中項(xiàng),等比中項(xiàng)等列出方程（組)，求出基本量．3．巧用等比數(shù)列的性質(zhì)，減少計(jì)算量,這一點(diǎn)在解題中也非常重要．1．判斷正誤(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)數(shù)列－1,－2，－4，－8，－16是遞減數(shù)列．()(2）等比數(shù)列{an｝中，a1＞1,q＜0，則數(shù)列|a1｜，|a2｜，｜a3|，…，｜an｜，…是遞增數(shù)列．（）(3)若G是a，b的等比中項(xiàng)，則G2＝ab，反之也成立．（）[答案］（1)√（2）×（3）×[提示]（1)正確；（2）不正確，如a1＝2，q＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（1，2）)），則|an|＝2×eq\f(1,2n－1）＝eq\f（1，2n－2)是遞減數(shù)列；（3）不正確，當(dāng)G是a,b的等比中項(xiàng)時(shí)，G2＝ab成立，但當(dāng)G2＝ab時(shí),G不一定是a，b的等比中項(xiàng)，如G＝a＝b＝0.2．在等比數(shù)列｛an}中，a4＝6,則a2a6A．4 B．8C．36 D．32C［因?yàn)閧