高中數(shù)學(xué)階段質(zhì)量檢測(三)空間向量與立體幾何新人教A版高二選修2-1數(shù)學(xué)試題

..階段質(zhì)量檢測（三）空間向量與立體幾何(時間120分鐘滿分150分)一、選擇題(本大題共8小題，每題5分，共40分．在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項吻合題目要求的)1．設(shè)空間向量a＝(1,2,1)，b＝(2,2,3)，則a·b＝()A．(2,4,3)B．(3,4,4)C．9D．－5剖析：選C∵a＝(1,2,1)，b＝(2,2,3)，∴a·b＝1×2＋2×2＋1×3＝9.2．設(shè)l1的方向向量為a＝(1,2，－2)，l2的方向向量為b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，則m等于()A．1B．21C.2D．3剖析：選B若l1⊥l2，則a⊥b，∴a·b＝0，1×(－2)＋2×3＋(－2m)＝0，解得m＝2.3．已知向量i，j，k是一組單位正交向量，m＝8j＋3k，n＝－i＋5j－4k，則m·n＝()A．7B．－20C．28D．11剖析：選C由于＝(0,8,3)，＝(－1,5，－4)，因此·＝0＋40－12＝28.mnmnπ4．已知二面角αlβ的大小為3，m，n為異面直線，且m⊥α，n⊥β，則m，n所成的角為()ππA.6B.3πD.2πC.32剖析：選B設(shè)，的方向向量分別為，.mnmn由m⊥α，n⊥β知m，n分別是平面α，β的法向量．π1π2π|cos〈m，n〉|＝cos3＝2，∴〈m，n〉＝3或3.π但由于兩異面直線所成的角的范圍為0，2，π故異面直線m，n所成的角為.35．已知空間三點(0,0,0)，(－1,1,0)，(0,1,1)在直線上有一點H滿足⊥，OABOABHOADOC版...則點H的坐標(biāo)為()A．(－2,2,0)B．(2，－2,0)1111C.－2，2，0D.2，－2，0剖析：選C由＝(－1,1,0)，且點H在直線OA上，可設(shè)H(－λ，λ，0)，則BH―→＝(－λ，λ－1，－1)．又⊥，∴·―→＝0，BHOAOA即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，1即λ＋λ－1＝0，解得λ＝，21H－2，2，0.6．如圖，三棱錐SABC中，棱SA，SB，SC兩兩垂直，且SA＝SB＝SC，則二面角ABCS大小的正切值為()2A．1B.2C.2D．2剖析：選C∵三棱錐SABC中，棱SA，SB，SC兩兩垂直，且SA＝SB＝SC，22D，連接SD，AD，則∴SA⊥平面SBC，且AB＝AC＝SA＋SB，取BC的中點SD⊥BC，AD⊥BC，則∠ADS是二面角ABCS的平面角，設(shè)SA＝SB＝SC＝1，則SD＝2SA12，應(yīng)選C.，則tan∠ADS＝＝＝2SD227．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k分別是x軸、y軸、z軸的方向向量，設(shè)a為非零向量，且〈a，i〉＝45°，〈a，j〉＝60°，則〈a，k〉＝()A．30°B．45°C．60°D．90°剖析：選C以下列圖，設(shè)||＝(>0)，amma＝，PA⊥平面xOy，則在Rt△PBO中，|PB|＝||·sin〈a，i〉＝22m，在Rt△PCO中，DOC版...m|OC|＝||·cos〈a，j〉＝2，m|AB|＝2，在Rt△PAB中，||＝||2－||2PAPBAB222mm＝4m－4＝2，m∴|OD|＝2，在Rt△PDO中，|OD|1cos〈a，k〉＝＝，又0°≤〈a，k〉≤180°，∴〈a，k〉＝60°.如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，動點P，Q分別在線段CD，AC上，則線段PQ長度的最小值是()123A.3B.325C.D.33剖析：選C建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系，則(1,0,0)，(1,1,0)，(0,1,0)，ABCC1(0,1,2)．設(shè)點P的坐標(biāo)為(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，點Q的坐標(biāo)為(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]，PQ＝(1－μ)2＋(μ－λ)2＋4λ22μ2＋5λ2－2λμ－2μ＋1129524＝5λ－5μ＋5μ－9＋9，152當(dāng)且僅當(dāng)λ＝9，μ＝9時，線段PQ的長度獲取最小值3.二、填空題(本大題共7小題，多空題每空3分，單空題每題4分，共36分)9．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝14，若(a＋b)·c＝7，則a與c的夾角為________，|a|＝________.剖析：設(shè)向量a＋b與c的夾角為α，由于a＋b＝(－1，－2，－3)，|a＋b|＝14，(＋)·c1cosα＝＝，|a＋b||c|2DOC版...由于向量a＋b與a的方向相反，因此a與c的夾角為120°，|a|＝12＋22＋32＝14.答案：120°1410．已知a＝(3λ，6，λ＋6)，b＝(λ＋1,3,2λ)為兩平行平面的法向量，則λ＝________，a的同向單位向量為________．剖析：由題意知∥，∴3λ6λ＋6＝＝，abλ＋132λ解得λ＝2.∴a＝(6,6,8)，|a|＝234，∴a的同向單位向量為|a334，334，234.|＝a343417答案：2334，334，23434341711．若a＝(2,3，－1)，＝(－2,1,3)，則a－＝________.以，為鄰邊的平行四邊bbab形的面積為________．a(chǎn)·b235剖析：a－b＝(4,2，－4)，cos〈a，b〉＝|a||b|＝－7，得sin〈a，b〉＝7，則S＝|a||b|sin〈a，b〉＝65.答案：(4,2，－4)6512．在長方體ABCDACD中，底面是邊長為2的正方形，高為4，則點A到截面ABD1111111的距離為________，三棱錐AA1B1D1的體積為________．剖析：建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系．則A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，A1(2,0,4)，(0,2,4)，＝(－2,0,4)，(0,0,4)．設(shè)平面AB1D1的法向量n＝(x，y，z)，·n＝0，則·n＝0，2y＋4z＝0，即2x＋4z＝0，令x＝2，得n＝(2，－2,1)．111|AA―→·n|4因此A到平面ABD的距離為d＝1＝3.|n|VAABD＝118×2.111DOC版...8答案：3313．三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC為正三角形，側(cè)棱長等于底面邊長，A1在底面的射影是△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于________．剖析：如圖，設(shè)A1在底面ABC內(nèi)的射影為O，以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)△ABC邊長為1，3316則A3，0，0，B1－2，2，3，∴＝錯誤!.又平面的法向量n＝(0,0,1)，ABC則AB1與底面ABC所成角α的正弦值為6，n〉|＝32sinα＝|cos〈7516＝3.答案：

36＋4＋92314．在平行六面體ABCD1B1C1D1中，若＝a＋2b＋3c，則abc＝________.剖析：∵＝＋＋＝a＋2b＋3c，1a＝1，b＝2，c＝－3.1abc＝－6.答案：－

1615．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，EF∥BC且AE＝2EB，G為BC的中點，K為AF的中點．沿EF將矩形折成120°的二面角AEFB，此時KG的長為________．剖析：如圖，過K作KM⊥EF，垂足M為EF的中點，則向量與的夾角為120°，〈，〉＝60°.又＝＋＝＋，∴＝＋＋2·1＋1＋2×1×1×cos60°＝3.∴||＝3.答案：3DOC版...三、解答題(本大題共6小題，共74分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)16．(本小題滿分14分)已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)．a(chǎn)∥b，b⊥c，求：a，b，c；a＋c與b＋c夾角的余弦值．41解：(1)由于a∥b，因此－2＝y(tǒng)＝－1，解得x＝2，y＝－4，則a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．又b⊥c，因此b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，設(shè)a＋c與b＋c夾角為θ，5－12＋32因此cosθ＝＝－.38·381917．(本小題滿分15分)如圖，在四棱錐PABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點．求證：EF⊥CD；求DB與平面DEF所成角的正弦值．解：(1)證明：以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖．設(shè)AD＝a，則D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，aa，2，0，P(0,0，a)，aaa2，2，2.aa·(0，a,0)＝0.∵＝－，0，22∴，∴⊥.EFCD設(shè)平面DEF的法向量為n＝(x，y，z)，aaan·＝0，(x，y，z)·2，2，2＝0，則即an·＝0，(x，y，z)·a＝0，，，02DOC版...a2(x＋y＋z)＝0，即aax＋2y＝0.取x＝1，則y＝－2，z＝1，∴n＝(1，－2,1)，，n〉＝·na3∴cos〈|·|n|＝＝6.|a設(shè)DB與平面DEF所成角為θ，則sin3θ＝6.18．(本小題滿分15分)已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PD⊥底面ABCD，且PD＝DA＝CD＝2AB＝2，M點為PC的中點．求證：BM∥平面PAD；在平面PAD內(nèi)找一點N，使MN⊥平面PBD.解：(1)證明：∵PD⊥底面ABCD，CD∥AB，CD⊥AD.∴以D為原點，DA，DC，DP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(以下列圖)．由于PD＝CD＝DA＝2AB＝2，因此D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，M(0,1,1)，∴＝(－2,0,1)，＝(0,2,0)，∵⊥平面PAD，∴是平面PAD的法向量，且·＝0，又BM?平面PAD.BM∥平面PAD.設(shè)N(x,0，z)是平面PAD內(nèi)一點，則＝(x，－1，z－1)，＝(0,0,2)，＝(2,1,0)，·＝0，若MN⊥平面PBD，則·＝0，∴2(z－1)＝0，1即x＝2，2x－1＝0，z＝1.1∴在平面PAD內(nèi)存在點N2，0，1，使MN⊥平面PBD.19.(本小題滿分15分)四棱錐中，⊥底面，∥，PABCDPDABCDADBCDOC版...AC⊥DB，∠CAD＝60°，AD＝2，PD＝1.證明：AC⊥BP；求二面角CAPD的平面角的余弦值．解：(1)證明：∵PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，AC⊥PD.又AC⊥BD，BD∩PD＝D.AC⊥平面PBD，又BP?平面PBD，AC⊥BP.(2)設(shè)AC∩BD＝O，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OD，OA所在直線分別為x軸，y軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則O(0,0,0)，D(3，0,0)，A(0,1,0)，P(3，0,1)，∴＝(0,1,0)，＝(3，0,1)，＝(3，－1,0)，＝(0,0,1)．設(shè)平面ACP的法向量m＝(x1，y1，z1)，平面的法向量n＝(x2，2，2)，ADPyzm·＝0，由·＝0my1＝0，得3x1＋z1＝0.取x1＝1，則m＝(1,0，－3)．·＝0.同理，由n·＝0n得n＝(1，3，0)．m·n11∴cos〈m，n〉＝|m||n|＝2×2＝4.1∴二面角CAPD的平面角的余弦值為.420.(本小題滿分15分)(2016·浙江高考)如圖，在三棱臺ABCDEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.求證：BF⊥平面ACFD；求二面角BADF的平面角的余弦值．DOC版...解：(1)證明：延長AD，BE，CF訂交于一點K，以下列圖．由于平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，因此AC⊥平面BCFE，又由于BF?平面BCFE，因此BF⊥AC.又由于EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，因此△BCK為等邊三角形，且F為CK的中點，則BF⊥CK.又AC∩CK＝C，因此BF⊥平面ACFD.法一：過點F作FQ⊥AK于Q，連接BQ.由于BF⊥平面ACFD，因此BF⊥AK，則AK⊥平面BQF，因此BQ⊥AK.因此∠BQF是二面角BADF的平面角．在Rt△ACK中，AC＝3，CK＝2，13得AK＝13，F(xiàn)Q＝13.313在Rt△BQF中，F(xiàn)Q＝13，BF＝3，3得cos∠BQF＝4.3因此二面角BADF的平面角的余弦值為4.法二：取BC的中點O，連接KO，則KO⊥BC.又平面BCFE⊥平面ABC，因此KO⊥平面ABC.以點O為原點，分別以射線OB，OK的方向為x軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.Oxyz由題意得B(1,0,0)