非線性振動(dòng)漫談

課程名稱小組成員學(xué)院系別專業(yè)課程名稱小組成員學(xué)院系別專業(yè)年級(jí)任課教師振動(dòng)理論工程科學(xué)學(xué)院近代力學(xué)系理論與應(yīng)用力學(xué)2012級(jí)陳海波非線性振動(dòng)漫談1:概述牛頓方程建立以來，人們應(yīng)用線性微分方程研究物體的運(yùn)動(dòng)，取得了許多重要的成果。實(shí)際上，不僅是力學(xué)，還包括其他物理學(xué)領(lǐng)域，人們長(zhǎng)期研究的主要是線性理論。自20世紀(jì)60年代以來，人們?cè)趯?shí)驗(yàn)研究中發(fā)現(xiàn)，在自然科學(xué)的許多領(lǐng)域都存在一些線性理論無法解釋的現(xiàn)象，開始是非線性振動(dòng)，后來又在流體力學(xué)和聲學(xué)領(lǐng)域，接著是伴隨激光而誕生的非線性光學(xué)...非線性向人們展示了一副令人驚奇、甚至是不可思議的圖景。本文首先宏觀得介紹非線性現(xiàn)象及其與線性系統(tǒng)的不同點(diǎn)，然后初步介紹非線性振動(dòng)的兩類求解方法，一類是定性的方法或稱幾何法，用以判定一個(gè)系統(tǒng)的發(fā)展趨勢(shì)，主要是其穩(wěn)定性問題；另一類是定量的方法，主要有平均法，迭代法與攝動(dòng)法等。由于定量法設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)知識(shí)比較復(fù)雜，旦數(shù)學(xué)推導(dǎo)很麻煩，因此本文將把重點(diǎn)放在定性求解上。2：非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的對(duì)比從數(shù)學(xué)的角度看，線性系統(tǒng)有兩個(gè)顯著的特點(diǎn)：一個(gè)特點(diǎn)是，因?yàn)樽宰兞颗c函數(shù)之間的關(guān)系是線性的，因而自變量的變化率與函數(shù)的變化率之間成確定的比例。例如，函數(shù)y=ax+b,它對(duì)自變量x是線性的，則由?=a&可■見，當(dāng)尿T0時(shí)，也有勻T。。這意味著函數(shù)值對(duì)自變量的取值精確度不敏感，亦即相應(yīng)于自變量的微小變化，函數(shù)值也只會(huì)產(chǎn)生微小的變化。而一般的非線性系統(tǒng)，對(duì)初始值具有高度的敏感性，著名的蝴蝶效應(yīng)就是典型的例子,意思是說，今天在巴西的熱帶雨林里有一只蝴蝶偶爾拍打了一下翅膀，可■能在兩個(gè)星期后,就在美國(guó)的德克薩斯州引起一場(chǎng)龍卷風(fēng)。天氣的演化對(duì)初始值如此敏感，因此長(zhǎng)期的天氣預(yù)報(bào)是不可能的。線性系統(tǒng)的另一個(gè)特點(diǎn)是，系統(tǒng)的整體性質(zhì)可以由組成它的各個(gè)子系統(tǒng)的代數(shù)疊加得出，這就是所謂的線性疊加原理。如果一個(gè)系統(tǒng)可以分解為若干相對(duì)獨(dú)立的子系，則線性關(guān)系表明的是，只要各個(gè)子系的行為都己知，則系統(tǒng)的所有行為就是所有子系的簡(jiǎn)單疊加。從這里可以看出，線性系統(tǒng)是由若干互不相干的獨(dú)立子系組成的，線性關(guān)系就是來源于各個(gè)獨(dú)立子系的獨(dú)立貢獻(xiàn)。于此對(duì)照，非線性系統(tǒng)的各個(gè)子系之間有著不可忽略的相互作用，因而在非線性的情況下，事情就變得復(fù)雜多了。下面以洛倫茲方程為例子，簡(jiǎn)單得說明非線性現(xiàn)象對(duì)初值的高度敏感。1963年美國(guó)麻省理工學(xué)院的1象學(xué)專家洛倫茲在研究天氣預(yù)報(bào)問題時(shí)，將異常復(fù)雜的大氣對(duì)流偏微分方程化簡(jiǎn)后，得到一組常微分方程.X=—10x4-1Oy?(1)<y=28x—y—xz?SZ=-§z+xy.這一方程己成為混沌理論的經(jīng)典方程，即著名的洛倫茲方程。洛倫茲當(dāng)時(shí)使用的是真空管電子計(jì)算機(jī)，通過數(shù)值計(jì)算求解這一方程，因?yàn)橛?jì)算費(fèi)時(shí)太多，為避免每次從頭算起，他把每次計(jì)算的中間結(jié)果打印下來。使他驚異的是，在重復(fù)上次計(jì)算結(jié)果的過程中，知識(shí)開頭一小段與上次結(jié)果一致，但很快就越來越偏離上次的結(jié)果。他意識(shí)到，他的這一組方程并不是線性的故不遵從傳統(tǒng)線性理論下的規(guī)律，而是對(duì)初值具有高度的敏感性。除了對(duì)初值極為敏感這一點(diǎn)以外，洛倫茲方程的解(圖1)也顯出很奇異的特性。從圖1可以看到，方程的解總體由兩個(gè)環(huán)套組成,像三維空間中的某種雙螺旋，又像蝴蝶的兩個(gè)翅膀，

這種結(jié)構(gòu)稱為奇怪吸引子，因?yàn)樗鼈兾嗥矫娴南帱c(diǎn)，但所有的相點(diǎn)又都永遠(yuǎn)到不了環(huán)套的中心。從圖中看，每一個(gè)環(huán)套上都分布著細(xì)密的軌線，軌線一層層纏繞，在一個(gè)環(huán)套上轉(zhuǎn)幾圈，又跑到另一個(gè)換套上，完全無法預(yù)料什么時(shí)候從一個(gè)環(huán)套跑到另一個(gè)環(huán)套上。而且,這些軌線盡管緊密纏繞，但從不相交。從軌線的這些特征可以明顯看到，洛倫茲方程的長(zhǎng)期行為是無法預(yù)測(cè)的。圖1:圖1:洛倫茲吸引子3：非線性振動(dòng)的求解方法3.1非線性振動(dòng)的定性分析方法3.1.1狀態(tài)空間及狀態(tài)方程將廣義坐標(biāo)q（t）與J',義速度q（t）組成一個(gè)向量（q1,q2,...,qix;?稱為狀態(tài)向量,其各個(gè)分量稱為狀態(tài)變量，狀態(tài)向量所存在的空間，稱為相空間或狀態(tài)空間。狀態(tài)向量的端點(diǎn)，稱為“狀態(tài)點(diǎn)”，其運(yùn)動(dòng)軌跡稱為相軌跡或軌線，軌線的總體稱為相圖。通過相空間中一點(diǎn)，一般只會(huì)有一條軌線，因此其各條軌線不會(huì)相交（個(gè)邊點(diǎn)除外），而整個(gè)相圖紋理井然，便于分析，因此非線性系統(tǒng)的幾何理論經(jīng)常在相空間展開。以狀態(tài)變量作為基本變量可得到狀態(tài)方程，多自由度的運(yùn)動(dòng)方程一般可以寫為??????q（t）=￡（缶42迎,…，qn；qi，qz，q3,…，qn；t）,i=l,2,3,…，n為此令xi=春=qi>1=L二???》n（3）而狀態(tài)向量成為{x}={&Xj必,…,％}T(4)因此多自由度的運(yùn)動(dòng)方程一般可以寫為*（t）=長(zhǎng)（玉,瑪,…,X2n；t},i=l,2,…,n（5）方程（5）稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程，這是2n個(gè)變量的一階微分方程組。對(duì)于一組確定的初始條件

xJ0)=q,i=l,2,...,2n(6)可以證明方程(5)有惟一的解。這表明通過狀態(tài)空間中一個(gè)確定的點(diǎn)，一般只有一條確定的軌線。{x}={&Xj必,…,％}T(4)3.1.2平衡點(diǎn)及平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.狀態(tài)空間中{X}A{0}的點(diǎn)稱為普通點(diǎn)或正則點(diǎn)，而????{x}={Xl,X2,...,X2n)T=(Xi(^,X2>...,X2n)}={0}⑺的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)或平衡點(diǎn)。在平衡點(diǎn)上，所有的狀態(tài)變量的變化率夭(1=1二…,2n)均為°,因而狀態(tài)變量不會(huì)改變。其結(jié)果是系統(tǒng)只能靜止在原來的位置上，不可能運(yùn)動(dòng)。如果平衡點(diǎn)不在原點(diǎn)，那么按下式進(jìn)行坐標(biāo)平移：%7一％(8)就可以將原點(diǎn)平移到平衡點(diǎn)上。平衡點(diǎn)可以分兩類，即穩(wěn)定的平衡點(diǎn)和不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，其差別并不在于平衡點(diǎn)本身的狀態(tài),而在于系統(tǒng)在略為偏離平衡點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)是趨向于回到平衡點(diǎn)，保持在平衡點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)還是趨向于偏離該平衡點(diǎn)越來越遠(yuǎn)。相應(yīng)的，該平衡點(diǎn)分為漸進(jìn)穩(wěn)定，僅穩(wěn)定的或不穩(wěn)定的,其中前兩種平衡點(diǎn)又稱為穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。3.1.3單自由度自治系統(tǒng)狀態(tài)方程在平衡點(diǎn)領(lǐng)域的線性化。如果狀態(tài)方程(5)的右邊不顯含時(shí)間t,即Xi(t)=%(習(xí)，忍，...，^},1=1,2,…，n(9)則狀態(tài)空間的流場(chǎng)是定常的，這種系統(tǒng)叫做自治系統(tǒng)。單自由度系統(tǒng)的狀態(tài)方程式如式(10)所示Xl=X](%X2)>X2=X2(Xj,x2)(10)設(shè)平衡點(diǎn)的坐標(biāo)為為=%,為=22代入式(10)得??Xi=a2)=°,X2=(a】>&2)=0(】］)由于XLX2是非線性函數(shù)，一般會(huì)得到關(guān)于al,a2的多組解，即可能有多個(gè)平衡點(diǎn)，我們總可以采用(8)所示的坐標(biāo)變換，將坐標(biāo)原點(diǎn)移到任何一個(gè)平衡點(diǎn)，因而不失一般性我們可以認(rèn)為平衡點(diǎn)即為原點(diǎn)，即al=a2=0,而在原點(diǎn)附近將狀態(tài)方程式(10)展開為式中(12)(13)勺，與是二階以上的微量。如略去這些高階微量，并采用矩陣記法有

21'(14)此式在原點(diǎn)(平衡點(diǎn))附近近似地成立。一下分析此式所代表的近似線性系統(tǒng)在原點(diǎn)附近的相圖的幾何特性，并按之對(duì)平衡點(diǎn)進(jìn)行分類。式中(12)21'(14)3.1.4平衡點(diǎn)領(lǐng)域中的相圖及平衡點(diǎn)的類型式(14)表明系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的動(dòng)態(tài)特性由矩陣何]確定，這里假定[a]是非奇異矩陣。為了研充次矩陣對(duì)平衡點(diǎn)附近的相圖性質(zhì)的影響，對(duì)相平面進(jìn)行線性變換，其目的是將同變?yōu)楸M可能簡(jiǎn)單的形式。若記{x}=[b]{u}(15)其中[b]是一非奇異的變換矩陣：{u}是新的狀態(tài)變量。對(duì)于新的狀態(tài)變量{u}的狀態(tài)方程juL[b]-1[a][b](u}=[c]{u}1J(16)其中兩矩陣稱為相似矩陣。相似矩陣具有相同的特征值。矩陣同的特征值滿足以下方程:ail一ail一人a!2a21a22~=0&+知)人+(%禹2-％舟1)=0(17)求解可得出兩個(gè)特征值入1，入2.這兩個(gè)特征值有以下三種情形，對(duì)于每一種情形，都可以選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q矩陣[b],使得[c]矩陣化為最簡(jiǎn)單的約當(dāng)(Jordan)形入1,入2是相異的實(shí)數(shù)，此時(shí)有[c]=[bf1[a][b]=(18)式(16)成為

u.u.(19)其解為lyUioe^Uylh。"(20)如果入2<Al<0則在原點(diǎn)附近的相圖如圖2所示。這種情況下，相平面(ul,u2)的原點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。從相圖上可見，從原點(diǎn)附近的所有點(diǎn)出發(fā)的軌線都單調(diào)地趨向原點(diǎn)。因此，此節(jié)點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。如果入2>A1>0,軌線的形狀任與圖2相同,但所有的箭頭需反向，我們得到不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)。如果入2<0<A1則相圖如圖3所示，這時(shí)的原點(diǎn)稱為鞍點(diǎn)，鞍點(diǎn)總是不穩(wěn)定的。圖3鞍點(diǎn)如果入1,入2是相等的實(shí)數(shù)。則c的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型有兩種:[c]=A1A[c]=A1A%(21)對(duì)于第一種情況，解為叫=呻"凹=可0。邳（22）這時(shí)原點(diǎn)仍為結(jié)點(diǎn)，但相軌跡成為過原點(diǎn)的直線，這種結(jié)點(diǎn)稱為邊界結(jié)點(diǎn)。且當(dāng)入X0時(shí)是穩(wěn)定的，而當(dāng)入1>0是不穩(wěn)定的。至于式（21）所示的第二種情況，將得到一種退化的結(jié)點(diǎn)，軌線為曲線，仍然是入1<0時(shí)是穩(wěn)定的，而入1>0是不穩(wěn)定的（3）如果入1,X2是共軸復(fù)數(shù)，令入1=（a+iB）,入2=（a-i。），a,6為實(shí)數(shù)，其解為u】=(uM)e%f=(uk)e"(23)做線性變換i】io(24)以（23）式中的ul,u2代入式（24）,并記ulOu2O=uO,得V=（11蘆炒伙,&=（11蘆）密創(chuàng)在（vl,V2）平面上這時(shí)一對(duì)數(shù)螺旋線，如圖4所示，B的符號(hào)確定螺旋線的旋向：3>0,為逆時(shí)針方向；P<0,為順時(shí)針方向。a的符號(hào)則決定是向內(nèi)旋，還是向外旋，即決定平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性：a<0,向內(nèi)旋，漸進(jìn)穩(wěn)定；a>0向外旋，不穩(wěn)定。圖3是a<0,B<0的情況，這種類型的平衡點(diǎn)稱為螺旋極點(diǎn)或焦點(diǎn)。在平衡點(diǎn)為焦點(diǎn)的情況下，其附近的軌線以衰減振蕩的方式趨于平衡，或以增幅振蕩的方式，偏離平衡點(diǎn)。當(dāng)a二。時(shí)，軌線稱為圖5所示的同心圓，這種平衡點(diǎn)稱為中心，屬于僅穩(wěn)定。圖5中心圖4穩(wěn)定焦點(diǎn)基于以上的討論與分析，可以不必求出［a］的特征值，而直接按［a］的元素來判斷平衡點(diǎn)的類型。若記%+a”=p,ana22-a12a21=q,A=p2-4q奇點(diǎn)的不同類型由參數(shù)P和D完全確定，只要這兩個(gè)參數(shù)確定了，則系統(tǒng)奇點(diǎn)的類型就確定圖5中心奇點(diǎn)類型和這兩個(gè)參數(shù)的關(guān)系可以歸納如RA>0q>0結(jié)點(diǎn)，A<Q<.q<0A>0q>0結(jié)點(diǎn)，A<Q<.q<0鞍點(diǎn)

p=0中心p*0焦點(diǎn)，p<0p>0p<0p>0穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定焦點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn)3.2非線性振動(dòng)的定量分析方法3.2.1解析求解法非線性振動(dòng)問題很雅嚴(yán)格求解，但有限擺幅的單擺問題卻是一個(gè)成功的例子。設(shè)單擺的質(zhì)量m,擺長(zhǎng)為I。選取擺線偏離鉛垂線的角度。為廣義坐標(biāo)，以6=0點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，體系的拉格朗口函數(shù)為L(zhǎng)=imZ202-mgl（l-cos6）=^mZ202-2mglsin2|因?yàn)樗詮V義能量枳分（這里就是機(jī)械能）守恒，即otimZ262+2mglsm2-=E022設(shè)初始條件為6=6。且0=0,代入上式得Eo=2mglsin2—2因而doge0e無=±#即萬―s濾刃為了求得系統(tǒng)的周期T,我們將上述方程在te[o,：]和。e[00,0]的范圍內(nèi)積分。此時(shí)上式取負(fù)號(hào)，可變形為T=2d9=(1)e2做變換sin|=ksinn,06[0,00]?uG其中K=sin?,則式（1）變?yōu)門=4j捕曷并(k)⑵T=2其中du是第一類橢圓積分。式(2)表明，大振幅單擺的周期與振幅有關(guān)。為具體考察T與6。的關(guān)系，將式(2)展開成S的幕級(jí)數(shù)，得3)萼I】+G)k+G.9七4+《.：.第*+所以T=2irp-(l+-sin2—+—sin4—H—)y]g\42642)可見，當(dāng)振幅60?1時(shí)，上式中的前疽牛以后的高次項(xiàng)均可略去，得到與振幅無關(guān)的小振動(dòng)的周期T=2nJ然而隨著振幅的增大，s泊2岑以后的高次項(xiàng)不能忽略，T隨。0的增大而增W2大。下表是具體的數(shù)值計(jì)算結(jié)果。表1:不同擺幅下嚴(yán)格解與零階近似的周期比較0o/°1257.22422.81304590180T/1.00001.00001.00041.00101.01001.01741.03991.18030028800174由上表中數(shù)據(jù)可以看出，在精度要求一般時(shí)，比如1%精度，要求初始擺動(dòng)角不超過22.81°即可，這是一個(gè)很容易滿足的要求。但如果要求精度再增加一個(gè)數(shù)量及，如在用單擺測(cè)量重力加速度實(shí)驗(yàn)中，則。。必須小于7°，實(shí)際操作時(shí)務(wù)必注意這一限制。此外，如果取6。取180°時(shí)，表中的周期為無窮大，但這僅有數(shù)學(xué)上的意義。因?yàn)樗鼘?duì)應(yīng)一個(gè)不穩(wěn)定平衡的初始位置，而實(shí)際情況下總會(huì)有各種因素打破這一不穩(wěn)定平衡。3.2.2.微擾法微擾法又稱逐級(jí)近似法攝動(dòng)法，它適于求解形如X+co02x=f(x,x)的振動(dòng)方程，其中非線性項(xiàng)|/(%,%)|?tu02%,4將其視為對(duì)線性方程的擾動(dòng)或攝動(dòng)，為表示微擾的數(shù)量級(jí)，我們引入?yún)⒘俊?將上式寫成x+cu02x=ef(x,x)(3)微擾法的基本做法是：令'和s的n階近似解為(X=Xo++￡2x2+"?+(co=O>0+￡(JO1+￡2(j02HF￡nCOn其中辦和gi=l,2,…,n)為對(duì)零階近似解初和⑦o的i階微擾。將上式代入式(3)中，使等式兩側(cè)W同級(jí)幕的系數(shù)相等，就得到關(guān)于各階'和3的一組方程，從零階開始逐級(jí)求解這些方程(求解第i階方程時(shí)，把零到i-1階的解作為己知條件)，便可以得到原方程的n階近似解。下面我們?nèi)砸源髷[幅擺動(dòng)的單擺為例，說明微擾法的應(yīng)用。從單擺的拉格朗口方程易知其運(yùn)動(dòng)微分方程為d+ysin0=O(4)將sin3做幕級(jí)數(shù)展開sin0=0—-03+—056120取到。的三次項(xiàng)，式(4)近似為d+a>o26=a03其中伽=出，a=3°2/6.上式可以看成是線性方程0+too20=O的解再加上小量展3的微小修正后得到的。為了明確表示數(shù)量級(jí)，引入￡，將上式變成6^a)Q2Q=Ea03(5)假定只求二階近似解，則令0=0q+￡0[+$2°2CO=COq+ECOi+e2co2代入式(5),得0q4~801+82的+(①—ECO^—+￡0+8^02)=隊(duì)+已。】+尸公)'略去《的三次以上項(xiàng)，比較上式等號(hào)兩側(cè)同為￡°,N和E2的項(xiàng)，分別得到零階，一階和二階(0q+口2。0=0近似方程分別為｛+co20l=Icoco^q+aOQ3(6)V命2+=—+260601。]+260602。。+3(10q^0i零階近似即常規(guī)的小振動(dòng)單擺的結(jié)果為。0=Aocos(a)t+<p)其中4。和甲為待定常量。將上式代入式(6)中第二式，則S1+a)20x=2a)a)iA0cos伽+.)+aA03cos3(a)t+<p)利用三倍角公式化01+a)?。]=33(2coco1/lo+°：°?)cos(o)t+<p)+^-cos3(cot+(p)(7)如果我們將該方程的右側(cè)部分視為策動(dòng)力項(xiàng)，則其中的第一項(xiàng)的頻率與左側(cè)的固有頻率都是3,由于這里不存在任何耗散，此策動(dòng)力將產(chǎn)生振幅無窮大的共振，除非該項(xiàng)的系數(shù)為零,即3aA032口紈刀0H=0所以3aAQ2

coA=—18a)于是式(7)簡(jiǎn)化為..-qAq^0i+a)20]=—-—cos3(cot+9)4易解其特解為(通解己經(jīng)包含在零階近似解中，不必再考慮)301=/l1COS3(6Ot+^),Al=-^采用類似但繁瑣的步驟，可以得到二階近似下的求解結(jié)果。首先，為去掉不符合實(shí)際情況的發(fā)散型共振，要求4t0]2—3clAqA^21q2刀8a)因而二階微分方程簡(jiǎn)化為&2+口2』2=|"七+：履0"icos3(st++Alcos5(a)t+(P)解得02=A2cos3(a)t+<p)+F2cos5(a)t+<p)aA^Ai32以_(4cuwi+3a402)4i16cu2A2=aA^Ai32以16cu2系數(shù)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為=二一2&52—1024^2—10243，于是我們得到二階近似下的總解為。=。0+色+。2=Aqcos(a)t+(p)+(勿+i42)cos3(cot+(p)+B2cos5(a)t+cp)=4。8s(m+9)+(-；*；l*；；：：)cos3(m+9)+器^cos5(m+饑一般情況下沒有必要求解更高階近似，因?yàn)樽鳛閱栴}的出發(fā)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程中僅精確到。的一階項(xiàng)。最后，有初始擺角為和角速度為零的條件，即Aq8S0+(—履七氣)COS30+F"4‘8s50=0Q°Fl32321024網(wǎng)*1024w4*°.,f3a403.9a24o5>..血sm肥+(-歹+聲小in3肥+同芥岫<p=0以及頻率關(guān)系3aA^21a%43=+刃2=3。Z1—cl/~°1~°8co256①3聯(lián)合求解各階振幅，初位相和頻率(實(shí)際計(jì)算時(shí)可用迭代法求快捷解)。下表是不同初始擺角下二階近似解與解析解周期的比較。由表可知，直到初始擺角達(dá)到大約15°,二階近似解與嚴(yán)格解的誤差才有IO-,即使擺角增加到90°,誤差也僅為1.6%。表2：不同擺幅下二階近似解與嚴(yán)格解的周期比較00/°14.2520304590T1.000011.000041.000201.001031.01576值得指出的是，微擾法中引入W來表這階數(shù)，只是為了方便區(qū)分各階小量，所以一旦各階量求得后，在表達(dá)總量時(shí)就可以舍棄它了。3.2.3求解非線性方程的數(shù)值分析方法數(shù)值分析方法就是對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值積分，在時(shí)域內(nèi)把響應(yīng)的時(shí)間歷程離散化，對(duì)每一時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)可按線性系統(tǒng)來進(jìn)行計(jì)算，并對(duì)每一步的結(jié)果進(jìn)行修正。這種方法又稱為逐步積分法或直接積分法。數(shù)值分析方法得到廣泛應(yīng)用一個(gè)原因是因?yàn)榉蔷€性分析理論發(fā)展的不完善性，對(duì)很多問題無法進(jìn)行理論上的分析；另一個(gè)原因是數(shù)值分析理論的發(fā)展和計(jì)算工具性能的提高使得數(shù)值分析成為可能。常用的數(shù)值分析方法有紐馬克(Newmark)法、威爾遜(Wilson)法、Range—Kutta法等。由于篇幅有限這里不再詳細(xì)介紹。3.2.4解析法，微擾法和數(shù)值計(jì)算