自動(dòng)控制原理16

第五章控制系統(tǒng)的頻率法分析12/5/20221頻率特性的基本概念頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖頻率特性的極坐標(biāo)圖奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定裕度閉環(huán)系統(tǒng)的性能分析本章主要內(nèi)容

12/5/20222第一節(jié)頻率特性的基本概念12/5/20223考察一個(gè)系統(tǒng)的好壞，通常用階躍輸入下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)來分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。有時(shí)也用正弦波輸入時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)來分析，但這種響應(yīng)并不是單看某一個(gè)頻率正弦波輸入時(shí)的瞬態(tài)響應(yīng)，而是考察頻率由低到高無數(shù)個(gè)正弦波輸入下所對(duì)應(yīng)的每個(gè)輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。因此，這種響應(yīng)也叫頻率響應(yīng)。頻率響應(yīng)盡管不如階躍響應(yīng)那樣直觀，但同樣間接地表示了系統(tǒng)的特性。頻率響應(yīng)法是分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)的一個(gè)既方便又有效的工具。12/5/20224一、頻率特性的定義：系統(tǒng)的頻率響應(yīng)定義為系統(tǒng)在正弦作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅、相位與所加正弦作用的頻率之間的依賴關(guān)系。對(duì)于一般的線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸入和輸出分別為r(t)和c(t)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)。式中，為極點(diǎn)。若：則：12/5/20225拉氏反變換為：若系統(tǒng)穩(wěn)定，則極點(diǎn)都在s左半平面。當(dāng)，即穩(wěn)態(tài)時(shí)：式中，分別為：12/5/20226而式中：Rm、Cm分別為輸入輸出信號(hào)的幅值。上述分析表明，對(duì)于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，加入一個(gè)正弦信號(hào)，它的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是一個(gè)與輸入同頻率的正弦信號(hào)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入不同之處僅在于幅值和相位。其幅值放大了倍，相位移動(dòng)了。

和都是頻率的函數(shù)。12/5/20227定義穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與正弦輸入信號(hào)的相位差為系統(tǒng)的相頻特性，它描述系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)對(duì)不同頻率輸入信號(hào)的相位移特性；定義穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值與輸入信號(hào)的幅值之比為系統(tǒng)的幅頻特性，它描述系統(tǒng)對(duì)不同頻率輸入信號(hào)在穩(wěn)態(tài)時(shí)的放大特性；

幅頻特性和相頻特性可在復(fù)平面上構(gòu)成一個(gè)完整的向量 ，它也是的函數(shù)。稱為頻率特性。這里和分別稱為系統(tǒng)的實(shí)頻特性和虛頻特性。

還可將寫成復(fù)數(shù)形式，即12/5/20228由于這種簡單關(guān)系的存在，頻率響應(yīng)法和利用傳遞函數(shù)的時(shí)域法在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的。頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系為：幅頻特性、相頻特性和實(shí)頻特性、虛頻特性之間具有下列關(guān)系：12/5/20229[結(jié)論]：當(dāng)傳遞函數(shù)中的復(fù)變量s用代替時(shí)，傳遞函數(shù)就轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性。反之亦然。到目前為止，我們已學(xué)習(xí)過的線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有以下幾種：微分方程、傳遞函數(shù)、脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻率特性。它們之間的關(guān)系如下：微分方程頻率特性傳遞函數(shù)脈沖函數(shù)12/5/202210從另一一方面面，若若線性性系統(tǒng)統(tǒng)在正正弦信信號(hào)輸輸入作作用下下，在在穩(wěn)態(tài)態(tài)情況況下，，輸入入輸出出都是是正弦弦函數(shù)數(shù)，可可用矢矢量表表示：：可見，，頻率特特性就就是輸輸出、、輸入入正弦弦函數(shù)數(shù)用矢矢量表表示時(shí)時(shí)之比比。表示線線性系系統(tǒng)在在穩(wěn)態(tài)態(tài)情況況下，，輸出出、輸輸入正正弦信信號(hào)之之間的的數(shù)學(xué)學(xué)關(guān)系系。是是頻率率域中中的數(shù)數(shù)學(xué)模模型。。11/27/202211[例子]：設(shè)傳遞函數(shù)為：微分方程為：頻率特性為：其余略略。11/27/202212頻率響響應(yīng)法法的優(yōu)優(yōu)點(diǎn)之之一在在于它它可以以通過過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)量測(cè)測(cè)來獲獲得，，而不不必推推導(dǎo)系系統(tǒng)的的傳遞遞函數(shù)數(shù)。事實(shí)上上，當(dāng)當(dāng)傳遞遞函數(shù)數(shù)的解解析式式難以以用推推導(dǎo)方方法求求得時(shí)時(shí)，常常用的的方法法是利利用對(duì)對(duì)該系系統(tǒng)頻頻率特特性測(cè)測(cè)試曲曲線的的擬合合來得得出傳傳遞函函數(shù)模模型。。此外，，在驗(yàn)驗(yàn)證推推導(dǎo)出出的傳傳遞函函數(shù)的的正確確性時(shí)時(shí)，也也往往往用它它所對(duì)對(duì)應(yīng)的的頻率率特性性同測(cè)測(cè)試結(jié)結(jié)果相相比較較來判判斷。。頻率響響應(yīng)法法的優(yōu)優(yōu)點(diǎn)之之二在在于它它可以以用圖圖來表表示，，這在在控制制系統(tǒng)統(tǒng)的分分析和和設(shè)計(jì)計(jì)中有有非常常重要要的作作用。。11/27/202213頻率特特性的的推導(dǎo)導(dǎo)是在在線性性定常常系統(tǒng)統(tǒng)是穩(wěn)穩(wěn)定的的假設(shè)設(shè)條件件下得得出的的。如如果不不穩(wěn)定定，則則動(dòng)態(tài)態(tài)過程程c(t)最終不不可能能趨于于穩(wěn)態(tài)態(tài)響應(yīng)應(yīng)cs(t)，當(dāng)然也也就無無法由由實(shí)際際系統(tǒng)統(tǒng)直接接觀察察到這這種穩(wěn)穩(wěn)態(tài)響響應(yīng)。。但從從理論論上動(dòng)動(dòng)態(tài)過過程的的穩(wěn)態(tài)態(tài)分量量總是是可以以分離離出來來的，，而且且其規(guī)規(guī)律性性并不不依賴賴于系系統(tǒng)的的穩(wěn)定定性。。因此此可以以擴(kuò)展展頻率率特性性的概概念，，將頻頻率特特性定定義為為：在在正弦弦輸入入下，，線性性定常常系統(tǒng)統(tǒng)輸出出的穩(wěn)穩(wěn)態(tài)分分量與與輸入入的復(fù)復(fù)數(shù)比比。所所以對(duì)對(duì)于不不穩(wěn)定定的系系統(tǒng)，，盡管管無法法用實(shí)實(shí)驗(yàn)方方法量量測(cè)到到其頻頻率特特性，，但根根據(jù)式式由傳遞遞函數(shù)數(shù)還是是可以以得到到其頻頻率特特性。。11/27/202214工程上常用用圖形來表表示頻率特特性，常用用的有：1．極坐標(biāo)圖圖，也稱奈奈奎斯特(Nyquist)圖。是以開開環(huán)頻率特特性的實(shí)部部為直角角坐標(biāo)橫坐坐標(biāo)，以其其虛部為為縱坐標(biāo)，，以為為參變變量的幅值值與相位的的圖解表示示法。2．對(duì)數(shù)坐標(biāo)標(biāo)圖，也稱稱伯德(Bode)圖。它是由由兩張圖組組成，以為為橫橫坐標(biāo)，對(duì)對(duì)數(shù)分度，，分別以和和作作縱坐標(biāo)標(biāo)的一種圖圖示法。3．對(duì)數(shù)幅相相頻率特性性圖，也稱稱尼柯爾斯斯(Nichols