2020高中數(shù)學(xué) 5 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性（含解析）2-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE9-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精課時(shí)分層作業(yè)(五)（建議用時(shí):60分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．函數(shù)y＝x＋xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．（－∞，e－2） B．(0，e－2)C．（e－2,＋∞） D．（e2,＋∞)[解析］因?yàn)閥＝x＋xlnx，所以定義域?yàn)?0，＋∞）．令y′＝2＋lnx<0，解得0<x<e－2，即函數(shù)y＝x＋xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，e－2），故選B。［答案]B2．如圖是函數(shù)y＝f（x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，則下面判斷正確的是()A．在區(qū)間（－2，1）上f(x)是增函數(shù)B．在區(qū)間（1,3）上f（x)是減函數(shù)C．在區(qū)間(4，5)上f（x)是增函數(shù)D．在區(qū)間（3,5)上f（x)是增函數(shù)［解析］由導(dǎo)函數(shù)f′(x）的圖象知在區(qū)間(4,5)上,f′（x)>0，所以函數(shù)f(x）在（4,5）上單調(diào)遞增．故選C。［答案]C3．若函數(shù)f(x)＝ax3－x在R上是減函數(shù)，則()A．a(chǎn)≤0 B．a(chǎn)〈1C．a(chǎn)〈2 D．a(chǎn)≤eq\f(1,3)[解析]f′（x）＝3ax2－1．因?yàn)楹瘮?shù)f（x)在R上是減函數(shù)，所以f′(x）＝3ax2－1≤0恒成立，所以a≤0.故選A。［答案］A4．函數(shù)f(x）的定義域?yàn)镽,f（－1）＝2，對(duì)任意x∈R,f′（x)〉2.則f（x）〉2x＋4的解集為()A．（－1，1) B．(－1，＋∞）C．(－∞，－1) D．（－∞，＋∞）[解析]構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x）－（2x＋4)，則g(－1）＝2－（－2＋4)＝0，又f′(x）>2.∴g′(x）＝f′（x）－2〉0，∴g(x)是R上的增函數(shù)．∴f(x）>2x＋4?g（x)〉0?g(x）>g（－1）,∴x>－1．[答案］B5．已知函數(shù)f（x）＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞）上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（)A．(－∞，－eq\r（3））∪[eq\r（3）,＋∞)B．［－eq\r（3），eq\r(3）］C．（－∞，－eq\r(3））∪(eq\r（3），＋∞)D．（－eq\r（3），eq\r（3)）[解析］f′（x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞,＋∞)上恒成立且不恒為0，Δ＝4a2－12≤0?－eq\r(3)≤a≤eq\r(3)。［答案]B二、填空題6．函數(shù)f(x)＝x－2sinx在（0，π）上的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_________.[解析］令f′(x)＝1－2cosx〉0，則cosx〈eq\f(1,2），又x∈（0，π）,解得eq\f(π,3)<x〈π，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π，3），π）).［答案］eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π,3），π))7．函數(shù)y＝eq\f（1，3）x3－ax2＋x－2a在R上不是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是________．［解析］y′＝x2－2ax＋1有兩個(gè)不相等零點(diǎn)，得Δ＝(－2a)2－4>0，得a2>1，解得a〈－1或a［答案］(－∞，－1)∪（1,＋∞）8．若函數(shù)y＝－eq\f（4,3)x3＋bx有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,則b的取值范圍是__________．［解析]若函數(shù)y＝－eq\f（4，3）x3＋bx有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則y′＝－4x2＋b＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以b〉0.[答案]（0，＋∞)三、解答題9．定義在R上的函數(shù)f(x）＝ax3＋bx2＋cx＋3同時(shí)滿(mǎn)足以下條件：①f(x）在（－∞，－1）上是增函數(shù),在(－1,0）上是減函數(shù)；②f(x）的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)；③f(x）在x＝0處的切線(xiàn)與第一、三象限的角平分線(xiàn)垂直．求函數(shù)y＝f(x）的解析式．[解]f′(x）＝3ax2＋2bx＋c，因?yàn)閒(x）在（－∞，－1)上是增函數(shù)，在(－1，0)上是減函數(shù)，所以f′(－1）＝3a－2b＋c＝0。 由f（x)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，得b＝0， ②又f（x)在x＝0處的切線(xiàn)與第一、三象限的角平分線(xiàn)垂直，所以f′(0)＝c＝－1， ③由①②③得a＝eq\f（1,3)，b＝0，c＝－1，即f（x)＝eq\f(1,3）x3－x＋3.10．若函數(shù)f（x)＝x3－mx2＋2m2－5的單調(diào)遞減區(qū)間是(－9，0)，求［解]因?yàn)閒′(x)＝3x2－2mx,所以f′(x）〈0，即3x2－2mx〈0。由題意,知3x2－2mx<0的解集為(－9,0）,即方程3x2－2mx＝0的兩根為x1＝－9，x2＝0。由根與系數(shù)的關(guān)系，得－eq\f(－2m,3）＝－9，即m＝－eq\f（27,2）。所以f′(x)＝3x2＋27x。令3x2＋27x>0，解得x>0或x〈－9。故（－∞,－9),（0，＋∞）是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．綜上所述，m的值為－eq\f（27,2）,函數(shù)f（x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－9),（0,＋∞)．[能力提升練］1．已知函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，那么y＝f（x)，y＝g(x)的圖象可能是（）[解析］由題圖，知函數(shù)g′（x）為增函數(shù)，f′（x）為減函數(shù),且都在x軸上方，所以g（x）的圖象上任一點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率都大于0且在增大，而f(x）的圖象上任一點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率都大于0且在減?。钟蒮′（x0）＝g′（x0），知選D。［答案]D2．設(shè)f(x），g（x)是定義在R上的恒大于0的可導(dǎo)函數(shù)，且f′（x）g（x)－f(x)g′(x)<0,則當(dāng)a〈x〈b時(shí)有(）A．f（x）g(x)〉f（b）g（b)B．f（x)g（a）〉f(a）g(x)C．f（x）g(b)〉f（b)g（x)D．f（x）g（x)>f(a)g（a）[解析]因?yàn)閑q\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f(fx，gx)））eq\s\up14(′）＝eq\f(f′xgx－fxg′x,g2x).又因?yàn)閒′（x)g（x)－f（x）g′（x)<0,所以eq\f（fx,gx）在R上為減函數(shù)．又因?yàn)閍〈x<b,所以eq\f(fa,ga)〉eq\f(fx,gx)>eq\f(fb，gb），又因?yàn)閒(x)〉0,g(x）〉0，所以f(x)g(b）>f(b)g（x）．因此選C.[答案］C3．若函數(shù)f(x）＝x3＋x2＋mx＋1是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______．［解析]f′(x)＝3x2＋2x＋m，由于f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)，所以f′(x）≥0或f′(x）≤0恒成立．由于導(dǎo)函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)3>0，所以只能有f′（x)≥0恒成立．法一：由上述討論可知要使f′(x）≥0恒成立，只需使方程3x2＋2x＋m＝0的判別式Δ＝4－12m≤0，故m≥eq\f(1，3)。經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m＝eq\f（1,3)時(shí)，只有個(gè)別點(diǎn)使f′(x）＝0，符合題意．所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥eq\f(1,3)。法二：3x2＋2x＋m≥0恒成立，即m≥－3x2－2x恒成立．設(shè)g（x）＝－3x2－2x＝－3eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1，3))）eq\s\up14(2）＋eq\f（1,3），易知函數(shù)g（x）在R上的最大值為eq\f（1,3)，所以m≥eq\f（1,3）。經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m＝eq\f（1,3）時(shí),只有個(gè)別點(diǎn)使f′（x）＝0,符合題意．所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥eq\f(1,3）.[答案]eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,3),＋∞)）4．設(shè)函數(shù)f（x)＝a2lnx－x2＋ax（a〉0)．（1)求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2)求所有的實(shí)數(shù)a，使e－1≤f（x)≤e2對(duì)x∈［1，e]恒成立．［解](1)∵f（x）＝a2lnx－x2＋ax,其中x>0，∴f′(x)＝eq\f(a2,x）－2x＋a＝－eq\f(x－a2x＋a，x)，