數(shù)列綜合限時(shí)作業(yè)（解析）

PAGE5第一學(xué)期高二年數(shù)學(xué)科·限時(shí)作業(yè)作業(yè)14數(shù)列綜合限時(shí)作業(yè)班級(jí)：__________姓名：__________實(shí)際用時(shí)：_____分鐘得分：__________一、選擇題(共10小題)1．?dāng)?shù)列3,5,9,17,33，…的通項(xiàng)公式an等于()A．2nB．2n＋1C．2n－1 D．2n＋1解析：選B由于3＝2＋1,5＝22＋1,9＝23＋1，…，所以通項(xiàng)公式是an＝2n＋1，故選B.2．下列四個(gè)數(shù)列中，既是無(wú)窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是()A．1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…B．－1,2，－3,4，…C．－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，…D．1，eq\r(2)，eq\r(3)，…，eq\r(n)解析：選CA為遞減數(shù)列，B為擺動(dòng)數(shù)列，D為有窮數(shù)列．3．記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝4，S4＝20，則該數(shù)列的公差d＝________.()A．2B.3C．6 D．7解析：選BS4－S2＝a3＋a4＝20－4＝16，∴a3＋a4－S2＝(a3－a1)＋(a4－a2)＝4d＝16－4＝12，∴d＝3.4．在數(shù)列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，則a101的值為()A．49B.50C．51 D．52解析：選D∵2an＋1－2an＝1，∴an＋1－an＝eq\f(1,2)，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝2，公差d＝eq\f(1,2)的等差數(shù)列，∴a101＝2＋eq\f(1,2)(101－1)＝52.5．等差數(shù)列{an}的公差不為零，首項(xiàng)a1＝1，a2是a1和a5的等比中項(xiàng)，則數(shù)列的前10項(xiàng)之和是()A．90B.100C．145 D．190解析：選B設(shè)公差為d，∴(1＋d)2＝1×(1＋4d)，∵d≠0,∴d＝2，從而S10＝100.6．公比為2的等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a3a11＝16，則a5＝()A．1B.2C．4 D．8解析：選A因?yàn)閍3a11＝aeq\o\al(2,7)，又?jǐn)?shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，所以解得a7＝4，由a7＝a5·22＝4a5，求得a5＝1.7．已知數(shù)列{an}中，a3＝2，a7＝1，又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，則a11等于()A．0B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D．－1解析：選B設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn＝eq\f(1,1＋an)，因{bn}為等差數(shù)列，b3＝eq\f(1,1＋a3)＝eq\f(1,3)，b7＝eq\f(1,1＋a7)＝eq\f(1,2)，公差d＝eq\f(b7－b3,4)＝eq\f(1,24)，∴b11＝b3＋(11－3)d＝eq\f(1,3)＋8×eq\f(1,24)＝eq\f(2,3)，即得1＋a11＝eq\f(3,2)，a11＝eq\f(1,2).8．等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝2·3n－1，現(xiàn)把每相鄰兩項(xiàng)之間都插入兩個(gè)數(shù)，構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列{bn}，那么162是新數(shù)列{bn}的()A．第5項(xiàng)B.第12項(xiàng)C．第13項(xiàng) D．第6項(xiàng)解析：選C162是數(shù)列{an}的第5項(xiàng)，則它是新數(shù)列{bn}的第5＋(5－1)×2＝13項(xiàng)．9．設(shè)數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，{bn}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則ab1＋ab2＋…＋ab10等于()A．1033B.1034C．2057 D．2058解析：選A由已知可得an＝n＋1，bn＝2n－1，于是abn＝bn＋1，因此ab1＋ab2＋…＋ab10＝(b1＋1)＋(b2＋1)＋…＋(b10＋1)＝b1＋b2＋…＋b10＋10＝20＋21＋…＋29＋10＝eq\f(1－210,1－2)＋10＝1033.10．我們把1,3,6,10,15，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形，如下圖所示：則第七個(gè)三角形數(shù)是()A．27 B.28C．29 D．30解析：選B法一：∵a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，a5＝15，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，∴a6－a5＝6，a6＝21，a7－a6＝7，a7＝28.法二：由圖可知第n個(gè)三角形數(shù)為eq\f(nn＋1,2)，∴a7＝eq\f(7×8,2)＝28.二、填空題(共4小題)11．若數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，則a5＝________；前8項(xiàng)的和S8＝________(用數(shù)字作答)．解析：由a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)知{an}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，由通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式知a5＝a1q4＝16，S8＝eq\f(a11－q8,1－q)＝eq\f(1·1－28,1－2)＝255.答案：1625512．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)，則a5＝________.解析：由an＝an－1＋n(n≥2)，得an－an－1＝n.則a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，把各式相加，得a5－a1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a5＝14＋a1＝14＋1＝15.答案：1513．等比數(shù)列{an}中，a2＋a4＋…＋a20＝6，公比q＝3，則前20項(xiàng)和S20＝________.解析：S偶＝a2＋a4＋…＋a20，S奇＝a1＋a3＋…＋a19，則eq\f(S偶,S奇)＝q，∴S奇＝eq\f(S偶,q)＝eq\f(6,3)＝2.∴S20＝S偶＋S奇＝6＋2＝8.答案：814．在等差數(shù)列{an}中，其前n項(xiàng)的和為Sn，且S6＜S7，S7＞S8，有下列四個(gè)命題：①此數(shù)列的公差d＜0；②S9一定小于S6；③a7是各項(xiàng)中最大的一項(xiàng)；④S7一定是Sn中的最大項(xiàng)．其中正確的命題是________．(填入所有正確命題的序號(hào))解析：∵S7＞S6，即S6＜S6＋a7，∴a7＞0.同理可知a8＜0.∴d＝a8－a7＜0.又∵S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8＜0，∴S9＜S6.∵數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，且a7＞0，a8＜0，∴可知S7為Sn中的最大項(xiàng)．答案：①②③三、解答題(共4小題)15．等比數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a4＝16，(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若a3，a5分別為等差數(shù)列{bn}的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn.解：(1)設(shè){an}的公比為q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，則b3＝8，b5＝32.設(shè){bn}的公差為d，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＋2d＝8，,b1＋4d＝32，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝－16，,d＝12.))從而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(n－16＋12n－28,2)＝6n2－22n.16．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，若an＋Sn＝n，cn＝an－1.(1)求證：數(shù)列{cn}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．解：(1)證明：∵a1＝S1，an＋Sn＝n①，∴a1＋S1＝1，得a1＝eq\f(1,2).又an＋1＋Sn＋1＝n＋1②，①②兩式相減得2(an＋1－1)＝an－1，即eq\f(an＋1－1,an－1)＝eq\f(1,2)，也即eq\f(cn＋1,cn)＝eq\f(1,2)，故數(shù)列{cn}是等比數(shù)列．(2)∵c1＝a1－1＝－eq\f(1,2)，∴cn＝－eq\f(1,2n)，an＝cn＋1＝1－eq\f(1,2n)，an－1＝1－eq\f(1,2n－1).故當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝an－an－1＝eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,2n).又b1＝a1＝eq\f(1,2)，即bn＝eq\f(1,2n).17．已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，{bn}是各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列，(1)若a1＝1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若b1＝1，且b2，eq\f(1,2)b3,2b1成等差數(shù)列，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．解：(1)由題意可設(shè)公差為d，則d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比數(shù)列得eq\f(1＋2d,1)＝eq\f(1＋8d,1＋2d)，解得d＝1或d＝0(舍去)，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由題意可設(shè)公比為q，則q＞0，由b1＝1，且b2，eq\f(1,2)b3,2b1成等差數(shù)列得b3＝b2＋2b1，∴q2＝2＋q，解得q＝2或q＝－1(舍去)，故數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝1×2n－1＝2n－1.18．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝eq\f(2n＋1an,an＋2n)(n∈N*)．(1)證明：數(shù)列{eq\f(2n,an)}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{a