2018第一學(xué)期-概率統(tǒng)計(jì)

§2.3離散型 量及其概率分離散型 量的概定義若隨 量X的可能取值是有限多個(gè)或無(wú)窮可列多個(gè)，則稱(chēng)X為離散型隨 例如1:投擲一顆勻稱(chēng) ,記錄其出現(xiàn)點(diǎn)數(shù).

X則X是一個(gè)離散型 量 為止,記Y為所需射擊次數(shù).如何描述離散型 量的概率特例1中:投擲一顆勻稱(chēng) ,記錄其出的點(diǎn)數(shù).X則X是一個(gè)離散型 量0,x1F(x)

,022

xx

0}2

2 離散型 量X的分布離散型 量X的分布律的表示方k公式kpkpk

x

k列表法或矩陣法

X p

例如2：對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，每次的概率為p，直到目標(biāo)為止，記Y為所需解：Y12

k)

p)k1 (1-

(1-p)k-

P(

xk)

pk

k分布律的基本 0,k

非負(fù) k

規(guī)范

xk

xk 明（1）和(2數(shù)p1p2?、pk、是某一個(gè)隨 量的分布律分布律和分布函數(shù)可互相確定的方法如下定理：設(shè)X為離散型 量，具有分律kpkP{Xx} ,kkpk則：(1)X的分布函(

}:xk

k事實(shí)上k

F(x)

P({Xkxkk

xkPkp pxk

k對(duì)任意區(qū)間I，k

I}

xkxk

pkp

x從分布函F(x)

x},

x可以確定分布pkpk

x}

F(x)

F(xkkkkkkkk其 F(xk

kxk

F(x)例3將紅、白、黑三只球隨機(jī)地逐個(gè)放限）。設(shè)X為有球的盒子的最小號(hào)碼，試（1） 量的分布律與分布函數(shù)（2）P（|X|≤解根據(jù)題意知， 量X可能取的值為1，2，3;則

23

}

33

即 量X的分布律1237112371X的分布函0,xF(x)

xk

x}

2726

x ,2k27k

xxF(o oo Fx是分段階梯函數(shù)，在X的可能取值xk處發(fā)生間斷，間斷點(diǎn)為跳躍間斷點(diǎn)，在間斷點(diǎn)處有躍度pk

|

719 例4設(shè) 車(chē)在開(kāi)往目的地的途中需經(jīng)過(guò)4盞信號(hào)燈，每盞信號(hào)燈獨(dú)立地以概率p允許汽車(chē)通過(guò)。令X表示首次停下時(shí)已通過(guò)的信號(hào)燈的盞數(shù)，求X的分布律與p=0.4出發(fā) 目的解P(

k)

pk

kP(

4)

p4

k當(dāng)p

0.6 0.6 ]

x

0xF(x)

1x

0.60.42

2x0.6(10.40.420.43 3x xF(x)

oo

概率例5在上例中，分別用分布律與分布函數(shù)計(jì)P(1

P(1

P(

P(

P(

解P(1

3)

P(

2)

P(

0.6

P(1

F(3)

F

0.6

P(1

P(

P(

2)

P(

0.6(0.4或

0.43

P(1

3)

3)

P(

P(

F(3)

F

F

P(

1

P(

1{P(

0)

P(

或P(X2)1P(

1P(

2)

P(

此式應(yīng)理解為極限limF(x)此式應(yīng)理解為極限limF(x)x2P(

1

P(

1{P(

0)

P(

P(

或P

11

P(XFP(

2)

F(2)

F

或P

例6一門(mén) r次才能被摧毀。若每次 概率為p(0<p<1),且各次轟擊相互獨(dú)立，轟擊次數(shù)X的分布律。 P(X=k)=P(前k–1 r–1次第k 目標(biāo)kCr1pr1k

p)krkCr1prk

p)kkr,rC pC p(1注 k

p)krk1利用冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)的性1當(dāng)|

|

k

xk

1(k1)xk2 k(k

2)xk3

x)2 k