廣東省茂名市信宜中學(xué)2023學(xué)年高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷(含答案解析)_第1頁(yè)
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廣東省茂名市信宜中學(xué)2023學(xué)年高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷(含答案解析)_第3頁(yè)
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2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)滿足:,則的共軛復(fù)數(shù)為()A. B. C. D.2.?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為.則“”是“為遞增數(shù)列”的()條件.A.必要而不充分 B.充要 C.充分而不必要 D.即不充分也不必要3.設(shè)雙曲線(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn),過B,C分別作AC,AB的垂線交于點(diǎn)D.若D到直線BC的距離小于,則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是()A.B.C.D.4.一個(gè)由兩個(gè)圓柱組合而成的密閉容器內(nèi)裝有部分液體,小圓柱底面半徑為,大圓柱底面半徑為,如圖1放置容器時(shí),液面以上空余部分的高為,如圖2放置容器時(shí),液面以上空余部分的高為,則()A. B. C. D.5.已知拋物線:,直線與分別相交于點(diǎn),與的準(zhǔn)線相交于點(diǎn),若,則()A.3 B. C. D.6.已知點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn),若點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.27.已知平面向量滿足,且,則所夾的銳角為()A. B. C. D.08.已知集合M={y|y=2x,x>0},N={x|y=lg(2x-xA.(1,+∞) B.(1,2) C.[2,+∞) D.[1,+∞)9.設(shè),,是非零向量.若,則()A. B. C. D.10.已知復(fù)數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位),則z的虛部為()A. B. C.1 D.11.已知雙曲線的一條漸近線方程為,,分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線C上,且,則()A.9 B.5 C.2或9 D.1或512.已知向量,,則與的夾角為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在三棱錐中,三條側(cè)棱兩兩垂直,,則三棱錐外接球的表面積的最小值為________.14.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,若它的體積是,則_________,該幾何體的表面積為_________.15.已知是第二象限角,且,,則____.16.某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為,現(xiàn)按年級(jí)采用分層抽樣的方法抽取若干人,若抽取的高三年級(jí)為12人,則抽取的樣本容量為________人.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是矩形,四條側(cè)棱長(zhǎng)均相等.(1)求證:平面;(2)求證:平面平面.18.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),解不等式;(2)若的解集為,,求證:.19.(12分)已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸并取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程,并說明其表示什么軌跡;(2)若直線的極坐標(biāo)方程為,求曲線上的點(diǎn)到直線的最大距離.20.(12分)如圖,在四棱錐中底面是菱形,,是邊長(zhǎng)為的正三角形,,為線段的中點(diǎn).求證:平面平面;是否存在滿足的點(diǎn),使得?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.21.(12分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)P到直線l距離的最大值.22.(10分)已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2,(1)求的值與拋物線的方程;(2)拋物線上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè),拋物線上第四象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),滿足,求直線的斜率范圍.

2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案(含詳細(xì)解析)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【答案解析】

轉(zhuǎn)化,為,利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn),即得解【題目詳解】復(fù)數(shù)滿足:所以故選:B【答案點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法和復(fù)數(shù)的基本概念,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.2.A【答案解析】

根據(jù)遞增數(shù)列的特點(diǎn)可知,解得,由此得到若是遞增數(shù)列,則,根據(jù)推出關(guān)系可確定結(jié)果.【題目詳解】若“是遞增數(shù)列”,則,即,化簡(jiǎn)得:,又,,,則是遞增數(shù)列,是遞增數(shù)列,“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件.故選:.【答案點(diǎn)睛】本題考查充分條件與必要條件的判斷,涉及到根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)范圍,屬于基礎(chǔ)題.3.A【答案解析】

由題意,根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性知在軸上,設(shè),則由得:,因?yàn)榈街本€的距離小于,所以,即,所以雙曲線漸近線斜率,故選A.4.B【答案解析】

根據(jù)空余部分體積相等列出等式即可求解.【題目詳解】在圖1中,液面以上空余部分的體積為;在圖2中,液面以上空余部分的體積為.因?yàn)椋?故選:B【答案點(diǎn)睛】本題考查圓柱的體積,屬于基礎(chǔ)題.5.C【答案解析】

根據(jù)拋物線的定義以及三角形的中位線,斜率的定義表示即可求得答案.【題目詳解】顯然直線過拋物線的焦點(diǎn)如圖,過A,M作準(zhǔn)線的垂直,垂足分別為C,D,過M作AC的垂線,垂足為E根據(jù)拋物線的定義可知MD=MF,AC=AF,又AM=MN,所以M為AN的中點(diǎn),所以MD為三角形NAC的中位線,故MD=CE=EA=AC設(shè)MF=t,則MD=t,AF=AC=2t,所以AM=3t,在直角三角形AEM中,ME=所以故選:C【答案點(diǎn)睛】本題考查求拋物線的焦點(diǎn)弦的斜率,常見于利用拋物線的定義構(gòu)建關(guān)系,屬于中檔題.6.A【答案解析】

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入橢圓方程可得,然后分別求出點(diǎn)到兩條漸近線的距離,由距離之積為,并結(jié)合,可得到的齊次方程,進(jìn)而可求出離心率的值.【題目詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,有,得.雙曲線的兩條漸近線方程為和,則點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為,所以,則,即,故,即,所以.故選:A.【答案點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率,構(gòu)造的齊次方程是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.7.B【答案解析】

根據(jù)題意可得,利用向量的數(shù)量積即可求解夾角.【題目詳解】因?yàn)榧炊詩(shī)A角為故選:B【答案點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積求夾角,需掌握向量數(shù)量積的定義求法,屬于基礎(chǔ)題.8.B【答案解析】M=y|y=N==x|∴M∩N=(1,2).故選B.9.D【答案解析】試題分析:由題意得:若,則;若,則由可知,,故也成立,故選D.考點(diǎn):平面向量數(shù)量積.【思路點(diǎn)睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問題是近幾年高考的又一熱點(diǎn),作為一類既能考查向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及平面幾何知識(shí),又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問題,實(shí)有其合理之處.解決此類問題的常用方法是:①利用已知條件,結(jié)合平面幾何知識(shí)及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易);②將條件通過向量的線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再利用①求解(較難);③建系,借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算,此法對(duì)解含垂直關(guān)系的問題往往有很好效果.10.D【答案解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)z滿足,利用復(fù)數(shù)的除法求得,再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念求解.【題目詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足,所以,所以z的虛部為.故選:D.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.11.B【答案解析】

根據(jù)漸近線方程求得,再利用雙曲線定義即可求得.【題目詳解】由于,所以,又且,故選:B.【答案點(diǎn)睛】本題考查由漸近線方程求雙曲線方程,涉及雙曲線的定義,屬基礎(chǔ)題.12.B【答案解析】

由已知向量的坐標(biāo),利用平面向量的夾角公式,直接可求出結(jié)果.【題目詳解】解:由題意得,設(shè)與的夾角為,,由于向量夾角范圍為:,∴.故選:B.【答案點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積求兩向量的夾角,注意向量夾角的范圍.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【答案解析】

設(shè),可表示出,由三棱錐性質(zhì)得這三條棱長(zhǎng)的平方和等于外接球直徑的平方,從而半徑的最小值,得外接球表面積.【題目詳解】設(shè)則,由兩兩垂直知三棱錐的三條棱的棱長(zhǎng)的平方和等于其外接球的直徑的平方.記外接球半徑為,∴當(dāng)時(shí),.故答案為:.【答案點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積,解題關(guān)鍵是掌握三棱錐的性質(zhì):三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐的外接球的直徑的平方等于這三條側(cè)棱的平方和.14.;【答案解析】試題分析:如圖:此幾何體是四棱錐,底面是邊長(zhǎng)為的正方形,平面平面,并且,,所以體積是,解得,四個(gè)側(cè)面都是直角三角形,所以計(jì)算出邊長(zhǎng),表面積是考點(diǎn):1.三視圖;2.幾何體的表面積.15.【答案解析】

由是第二象限角,且,可得,由及兩角和的正切公式可得的值.【題目詳解】解:由是第二象限角,且,可得,,由,可得,代入,可得,故答案為:.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角和的正切公式,相對(duì)不難,注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.16.【答案解析】

根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論.【題目詳解】設(shè)抽取的樣本為,則由題意得,解得.故答案為:【答案點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣的知識(shí),算出抽樣比是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)證明見解析;(2)證明見解析.【答案解析】

證明:(1)在矩形中,,又平面,平面,所以平面.(2)連結(jié),交于點(diǎn),連結(jié),在矩形中,點(diǎn)為的中點(diǎn),又,故,,又,平面,所以平面,又平面,所以平面平面.18.(1);(2)見解析.【答案解析】

(1)當(dāng)時(shí),將所求不等式變形為,然后分、、三段解不等式,綜合可得出原不等式的解集;(2)先由不等式的解集求得實(shí)數(shù),可得出,將代數(shù)式變形為,將與相乘,展開后利用基本不等式可求得的最小值,進(jìn)而可證得結(jié)論.【題目詳解】(1)當(dāng)時(shí),不等式為,且.當(dāng)時(shí),由得,解得,此時(shí);當(dāng)時(shí),由得,該不等式不成立,此時(shí);當(dāng)時(shí),由得,解得,此時(shí).綜上所述,不等式的解集為;(2)由,得,即或,不等式的解集為,故,解得,,,,,當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)取等號(hào),.【答案點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值不等式的求解,同時(shí)也考查了利用基本不等式證明不等式,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.19.(1),表示圓心為,半徑為的圓;(2)【答案解析】

(1)根據(jù)參數(shù)得到直角坐標(biāo)系方程,再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程得到答案.(2)直線方程為,計(jì)算圓心到直線的距離加上半徑得到答案.【題目詳解】(1),即,化簡(jiǎn)得到:.即,表示圓心為,半徑為的圓.(2),即,圓心到直線的距離為.故曲線上的點(diǎn)到直線的最大距離為.【答案點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程,直線和圓的距離的最值,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.20.證明見解析;2.【答案解析】

利用面面垂直的判定定理證明即可;由,知,所以可得出,因此,的充要條件是,繼而得出的值.【題目詳解】解:證明:因?yàn)槭钦切危瑸榫€段的中點(diǎn),所以.因?yàn)槭橇庑?,所以.因?yàn)?,所以是正三角形,所以,而,所以平面.又,所以平面.因?yàn)槠矫?,所以平面平面.由,知.所以,,.因此,的充要條件是,所以,.即存在滿足的點(diǎn),使得,此時(shí).【答案點(diǎn)睛】本題主要考查平面與平面垂直的判定、三棱錐的體積等基礎(chǔ)知識(shí);考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識(shí);考查化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想,屬于難題.21.(1),(2)【答案解析】

試題分析:利用將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程:化簡(jiǎn)為ρcosθ+ρsinθ=1,即為x+y=1.再利用點(diǎn)到直線距離公式得:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2cosα,sinα),得P到直線l的距離試題解析:解:化簡(jiǎn)為ρcosθ+ρsinθ=1,則直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y=1.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2cosα,sinα),得P到直線l的距離,dmax=.考點(diǎn):

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