高中數(shù)學(xué)《函數(shù)的概念、性質(zhì)與基本初等函數(shù)》知識點(diǎn)講解附真題課件

第三章函數(shù)的概念、性質(zhì)與基本初等函數(shù)§3.1函數(shù)的概念高考數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的概念、性質(zhì)與基本初等函數(shù)高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一函數(shù)的有關(guān)概念1.函數(shù)的概念一般地,設(shè)A,B是①非空

的實(shí)數(shù)集,如果對于集合A中的②任意

一個(gè)數(shù)x,按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,在集合B中都有③唯一

確定的數(shù)y和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)(function),記作y=f(x),x∈A.2.函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)y=f(x),x∈A中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的④定義域

(domain),與x的值相對應(yīng)的y值叫做⑤函數(shù)值

.函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的⑥值域

(range).顯然,值域是集合B的⑦子集

.3.函數(shù)的三要素:⑧定義域

、⑨值域

、⑩對應(yīng)關(guān)系

.考點(diǎn)清單考點(diǎn)一函數(shù)的有關(guān)概念考點(diǎn)清單24.相等函數(shù):如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,且對應(yīng)關(guān)系完全一致,則這兩個(gè)函數(shù)相等,這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù).考點(diǎn)二函數(shù)的表示方法1.常用的函數(shù)表示法:

解析法

、

列表法

、

圖象法

.2.分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的

不同子集

上,因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示,這種函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成,但

它表示的是一個(gè)函數(shù).注意(1)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集,其值域等于各

段函數(shù)的值域的并集.(2)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù),處理分段函數(shù)問題時(shí),首先確定自變量的取值屬于哪個(gè)區(qū)間,再選取相應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系,離開定義域討論分段函數(shù)是毫無意義的.4.相等函數(shù):如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,且對應(yīng)關(guān)系完全一致,3考法一函數(shù)定義域的求法知能拓展例1函數(shù)f(x)=

+ln(x+4)的定義域?yàn)?/p>

.解題導(dǎo)引根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)列不等式組.然后解不等式組求出定義域.解析要使f(x)有意義,則有

∴-4<x≤1,∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-4,1].答案(-4,1]考法一函數(shù)定義域的求法知能拓展例1函數(shù)f(x)=?+ln4方法總結(jié)已知函數(shù)的解析式求定義域,解此類題要從使解析式有意義的

角度入手.一般來說,在高中范圍內(nèi)涉及的有:(1)開偶次方時(shí)被開方數(shù)為非

負(fù)數(shù);(2)分式的分母不為零;(3)零次冪的底數(shù)不為零;(4)對數(shù)的真數(shù)大于

零;(5)指數(shù)、對數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1;(6)實(shí)際問題還需要考慮使題目

本身有意義.例2已知函數(shù)f(2x+1)的定義域?yàn)?0,1),求f(x)的定義域.解題導(dǎo)引函數(shù)f(2x+1)中的自變量是誰?(0,1)是誰的取值范圍?要求f(x)的

定義域是求f(2x+1)中誰的取值范圍?方法總結(jié)已知函數(shù)的解析式求定義域,解此類題要從使解析式有意5方法總結(jié)求復(fù)合函數(shù)的定義域的題目一般有兩種情況:(1)已知y=f(x)的定義域是A,求y=f[g(x)]的定義域,可由g(x)∈A求出x的范圍,

即為y=f[g(x)]的定義域.(2)已知y=f[g(x)]的定義域是A,求y=f(x)的定義域,可由x∈A求出g(x)的范圍,

即為y=f(x)的定義域.解析∵f(2x+1)的定義域?yàn)?0,1),∴0<x<1,∴1<2x+1<3,∴f(x)的定義域是(1,3).方法總結(jié)求復(fù)合函數(shù)的定義域的題目一般有兩種情況:解析∵f6考法二函數(shù)解析式的求法例3已知f(

+1)=x+2

,求f(x)的解析式.解題導(dǎo)引解法一:設(shè)t=

+1,解出x=(t-1)2,代入函數(shù)式得f(x)的解析式.解法二:把式子x+2

配湊為關(guān)于

+1的式子結(jié)構(gòu)得f(x)的解析式.方法總結(jié)1.換元法.已知f[h(x)]=g(x),求f(x)時(shí),可設(shè)h(x)=t,從中解出x,代入g

(x)進(jìn)行換元.應(yīng)用換元法時(shí)要注意新元的取值范圍.2.配湊法.已知f[h(x)]=g(x),求f(x)的問題,可把g(x)整理或配湊成只含h(x)的

式子,用x將h(x)代換.考法二函數(shù)解析式的求法例3已知f(?+1)=x+2?,求7例4已知f(x)是一次函數(shù)且滿足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x).解題導(dǎo)引設(shè)f(x)=ax+b(a≠0),代入3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17得關(guān)于a,b的方程

組,求出a,b的值,得f(x)的解析式.解析設(shè)f(x)=ax+b(a≠0).∵3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,∴3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=2x+17.∴ax+b+5a=2x+17.∴

∴a=2,b=7.∴f(x)=2x+7.方法總結(jié)待定系數(shù)法.前提是已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)),

比如二次函數(shù)可設(shè)為f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其中a、b、c是待定系數(shù),根據(jù)題

設(shè)條件列出方程組,解出待定系數(shù)即可.例4已知f(x)是一次函數(shù)且滿足3f(x+1)-2f(x-8例5定義在(-1,1)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求函數(shù)f(x)的解析式.解題導(dǎo)引令x為-x,得關(guān)于f(x),f(-x)的一個(gè)方程,從而求出f(x)的解析式.解析

x∈(-1,1)時(shí),有2f(x)-f(-x)=lg(x+1).以-x代x,得2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).聯(lián)立得

解得f(x)=

lg(x+1)+

lg(1-x),x∈(-1,1).方法總結(jié)解方程組法.已知f(x)滿足某個(gè)等式,這個(gè)等式除f(x)是未知量外,

還有其他未知量,如f

等,必須根據(jù)已知等式構(gòu)造其他等式組成方程組,通過解方程組求出f(x).例5定義在(-1,1)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足2f(x)-f(9考法三分段函數(shù)問題的解題策略例6已知函數(shù)f(x)=

且f(a)=-3,則f(6-a)=

.解題導(dǎo)引

分類討論a的范圍,求出a的值,得f(6-a)的值.解析當(dāng)a≤1時(shí),f(a)=2a-2=-3,無解.當(dāng)a>1時(shí),由f(a)=-log2(a+1)=-3得a+1=8,∴a=7,∴f(6-a)=f(-1)=2-1-2=-

.答案-

考法三分段函數(shù)問題的解題策略例6已知函數(shù)f(x)=?且f10方法總結(jié)分段函數(shù)問題的常見題型及解法1.求函數(shù)值.弄清自變量所在區(qū)間,然后代入對應(yīng)的解析式,求“層層套”的

函數(shù)值,要從最內(nèi)層逐層往外計(jì)算.2.求函數(shù)最值.分別求出每個(gè)區(qū)間上的最值,然后比較大小.3.解不等式.根據(jù)分段函數(shù)中自變量取值范圍的界定,代入相應(yīng)的解析式求

解.4.求參數(shù).“分段處理”,采用代入法列出各區(qū)間上的方程.方法總結(jié)分段函數(shù)問題的常見題型及解法11§3.2函數(shù)的基本性質(zhì)高考數(shù)學(xué)§3.2函數(shù)的基本性質(zhì)高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性及最值1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮.區(qū)間D?I,如果對于任意x1,x2∈D,且x1<x2

都有①

f(x1)<f(x2)

都有②

f(x1)>f(x2)

函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是③增函數(shù)

函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是④減函數(shù)

圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的考點(diǎn)清單考點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性及最值增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f13知識拓展(a)單調(diào)函數(shù)的定義有以下兩種等價(jià)形式:?x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,(i)

>0?f(x)在[a,b]上是增函數(shù);

<0?f(x)在[a,b]上是減函數(shù).(ii)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在[a,b]上是增函數(shù);(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x)在[a,b]上是減函數(shù).(b)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)y=f(u),u=φ(x),在函數(shù)y=f(φ(x))的定義域上,如果y=f(u),u=φ(x)的單調(diào)性

相同,那么y=f(φ(x))單調(diào)遞增;如果y=f(u),u=φ(x)的單調(diào)性相反,那么y=f(φ(x))知識拓展(a)單調(diào)函數(shù)的定義有以下兩種等價(jià)形式:14單調(diào)遞減.(c)函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論(i)若f(x),g(x)均為區(qū)間A上的增(減)函數(shù),則f(x)+g(x)也是區(qū)間A上的增(減)

函數(shù).(ii)若k>0,則kf(x)與f(x)的單調(diào)性相同,若k<0,則kf(x)與f(x)的單調(diào)性相反.(iii)函數(shù)y=f(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y=-f(x),y=

的單調(diào)性相反.(iv)函數(shù)y=f(x)(f(x)≥0)在公共定義域內(nèi)與y=

的單調(diào)性相同.(2)單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù),則稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)

間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.單調(diào)遞減.15注意單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,當(dāng)一個(gè)函數(shù)的增區(qū)間(或減區(qū)間)有多個(gè)

時(shí),不能用“∪”連接,而應(yīng)該用“和”或“,”連接.例如:y=

的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0)和(0,+∞),但不能寫成(-∞,0)∪(0,+∞).2.函數(shù)的最值前提一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足

條件(1)對于任意的x∈I,都有⑤

f(x)≤M

(2)存在x0∈I,使得⑥

f(x0)=M

(1)對于任意的x∈I,都有⑦

f(x)≥M

(2)存在x0∈I,使得⑧

f(x0)=M

結(jié)論M是f(x)的⑨最大

值M是f(x)的⑩最小

值注意單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,當(dāng)一個(gè)函數(shù)的增區(qū)間(或減區(qū)間)16考點(diǎn)二函數(shù)的奇偶性1.函數(shù)的奇偶性2.奇、偶函數(shù)的性質(zhì)(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性

相同

,偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性

相反

.奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地,如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有

f(-x)=f(x)

,那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于

y軸

對稱奇函數(shù)一般地,如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有

f(-x)=-f(x)

,那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于

原點(diǎn)

對稱(2)在公共定義域內(nèi),(i)兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù),兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù);(ii)兩個(gè)偶函數(shù)的和、積都是偶函數(shù);(iii)一個(gè)奇函數(shù)、一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù).考點(diǎn)二函數(shù)的奇偶性2.奇、偶函數(shù)的性質(zhì)奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶17考點(diǎn)三函數(shù)的周期性1.周期函數(shù)的概念對于函數(shù)f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí),都

有

f(x+T)=f(x)

,那么函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做f(x)的周期.如果所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)

的最小正周期.2.關(guān)于函數(shù)周期性的幾個(gè)常用結(jié)論(1)若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),則f(x)的周期是

T=|a-b|

.考點(diǎn)三函數(shù)的周期性18(2)若f(x+a)=-f(x),則f(x)的周期是

T=2|a|

.(3)若f(x+a)=

或f(x+a)=-

,其中f(x)≠0,則f(x)的周期是

T=2|a|

.(4)設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù),且圖象關(guān)于直線x=a(a≠0)對稱,則f(x)是周期函數(shù),

2|a|是它的一個(gè)周期.(5)設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù),且圖象關(guān)于直線x=a(a≠0)對稱,則f(x)是周期函數(shù),

4|a|是它的一個(gè)周期.(2)若f(x+a)=-f(x),則f(x)的周期是?

19考法一判斷函數(shù)單調(diào)性的方法知能拓展例1

已知f(x)=ex+e-x.證明:f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).解題導(dǎo)引證法一:任取x1,x2∈(0,+∞),且令x1<x2,然后作差f(x1)-f(x2),變形、

定號、判斷.證法二:先求導(dǎo)數(shù)f'(x),然后判斷f'(x)與零的大小關(guān)系,最后作出判斷.考法一判斷函數(shù)單調(diào)性的方法知能拓展例1

已知f(x)20證明證法一:任取x1,x2∈(0,+∞),且令x1<x2,則f(x1)-f(x2)=

+

-

-

=(

-

)

.∵0<x1<x2,∴

-

>0,∵e>1,x1+x2>0,∴

>1,∴

-1<0,∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).證法二:易求得f'(x)=ex-e-x=e-x(e2x-1).∵x∈(0,+∞),∴e-x>0,e2x-1>0,∴f'(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).方法總結(jié)(1)用定義法判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟為求定義域→取值→作差

→變形→定號→單調(diào)性.(2)用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟為求定義域→求導(dǎo)→解不等式f'(x)>0

(或f'(x)<0)→單調(diào)性.解析式為三次或分式或指數(shù)、對數(shù)式的復(fù)合函數(shù)的

單調(diào)性常用導(dǎo)數(shù)法.證明證法一:任取x1,x2∈(0,+∞),且令x1<x2,21例2函數(shù)y=|x|(1-x)的增區(qū)間為

()A.(-∞,0)

B.

C.[0,+∞)

D.

解題導(dǎo)引

去絕對值符號轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),畫圖象得增區(qū)間.解析

y=|x|(1-x)=

=

=

畫出圖象如圖所示.由圖可知函數(shù)的增區(qū)間為

.答案

B例2函數(shù)y=|x|(1-x)的增區(qū)間為?()解題導(dǎo)引

22方法總結(jié)1.用圖象法求單調(diào)區(qū)間的步驟:求定義域→作圖象→結(jié)合圖象

的升、降→單調(diào)區(qū)間.2.性質(zhì)法:在公共定義域內(nèi),若y=f(x),y=g(x)都為增(減)函數(shù),則y=f(x)+g(x)為

增(減)函數(shù);在公共定義域內(nèi),若y=f(x)為增函數(shù),y=g(x)為減函數(shù),則y=f(x)-g(x)為增函數(shù),

y=g(x)-f(x)為減函數(shù).例3求函數(shù)f(x)=lo

(-x2-2x+3)的單調(diào)區(qū)間.解題導(dǎo)引先求定義域,然后拆分函數(shù)式為y=lo

u,u=-x2-2x+3,判斷單調(diào)性得單調(diào)區(qū)間.方法總結(jié)1.用圖象法求單調(diào)區(qū)間的步驟:求定義域→作圖象→結(jié)23解析由已知得-x2-2x+3>0,∴-3<x<1.∴f(x)的定義域?yàn)閧x|-3<x<1}.令u=-x2-2x+3.∵u=-x2-2x+3在區(qū)間(-3,-1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減,y=lo

u為減函數(shù),∴由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法得:f(x)=lo

(-x2-2x+3)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-3,-1),單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,1).方法總結(jié)

判斷復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的單調(diào)性的步驟如下:(1)求定義域;(2)將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)y=f(u),u=g(x);(3)分別確定這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性;(4)若這兩個(gè)函數(shù)同增或同減,則y=f(g(x))為增函數(shù);若一增一減,則y=f(g(x))

為減函數(shù),即同增異減.解析由已知得-x2-2x+3>0,∴-3<x<1.方法總結(jié)24考法二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例4

(2019河北衡水中學(xué)二調(diào),6)已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增,

且f(-x)=f(x),若a=f(lo

3),b=f(2-1.2),c=f

,則a,b,c的大小關(guān)系為

()A.a>c>b

B.b>c>aC.b>a>c

D.a>b>c解題導(dǎo)引由f(-x)=f(x)得f(x)為偶函數(shù),然后得出f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,

從而比較大小.解析易知f(x)為偶函數(shù),因?yàn)閍=f(lo

3)=f(-log23)=f(log23),且log23>

,0<2-1.2<2-1=

,所以log23>

>2-1.2>0.又f(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增,且f(x)為偶函數(shù),所以f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以f(lo

3)<f

<f(2-1.2),所以b>c>a.故選B.考法二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例4

(2019河北衡水中學(xué)二25答案

B方法總結(jié)應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性比較大小時(shí)應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)

間內(nèi),然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.例5已知函數(shù)f(x)對任意a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1.(1)求證:f(x)是R上的增函數(shù);(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.解題導(dǎo)引(1)任取x1,x2∈R,且令x1<x2,利用x>0時(shí),f(x)>1比較f(x1),f(x2)的大小.(2)由已知得f(2)=3,將不等式化為f(3m2-m-2)<f(2),利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為3m2-m-

2<2求解.答案

B方法總結(jié)應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性比較大小時(shí)應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)26解析(1)證法一:任取x1,x2∈R,且令x1<x2,∴x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1,∴f(x2)=f(x1+

(x2-x1))=f(x1)+f(x2-x1)-1>f(x1),∴f(x)是R上的增函數(shù).證法二:∵f(0+0)=f(0)+f(0)-1,∴f(0)=1.∵f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)-1=1,∴f(-x)=2-f(x).任取x1,x2∈R,且令x1<x2,∴x2-x1>0,∴f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1=f(x2)+2-f(x1)-1=f(x2)-f(x1)+1>1,∴f(x2)-f(x1)>0,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)是R上的增函數(shù).(2)f(4)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3,∴f(3m2-m-2)<3=f(2),由(1)知f(x)是R上的增函數(shù),∴3m2-m-2<2,∴-1<m<

.∴不等式的解集為

.解析(1)證法一:任取x1,x2∈R,且令x1<x2,∴x27方法總結(jié)解此類不等式主要是利用函數(shù)的單調(diào)性脫去函數(shù)符號.可按下

列步驟進(jìn)行.(1)先將不等式化為f(x1)<f(x2)的形式.(2)若函數(shù)在(a,b)內(nèi)遞增,則由a<x1<b,a<x2<b,x1<x2聯(lián)立解不等式組;若函數(shù)

在(a,b)內(nèi)遞減,則由a<x1<b,a<x2<b,x1>x2聯(lián)立解不等式組.(3)寫出不等式的解集.方法總結(jié)解此類不等式主要是利用函數(shù)的單調(diào)性脫去函數(shù)符號.可28例6(1)若函數(shù)y=lo

(x2-ax+3a)在區(qū)間(2,+∞)上是減函數(shù),則a的取值范圍為

()A.(-∞,-4)∪[2,+∞)

B.(-4,4]C.[-4,4)

D.[-4,4](2)若函數(shù)f(x)=

(a>0且a≠1)在R上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.例6(1)若函數(shù)y=lo?(x2-ax+3a)在區(qū)間(2,29解析(1)令t=x2-ax+3a,則y=lo

t,易知t=x2-ax+3a在

上單調(diào)遞減,在

上單調(diào)遞增.∵y=lo

(x2-ax+3a)在區(qū)間(2,+∞)上是減函數(shù),∴t=x2-ax+3a在(2,+∞)上是增函數(shù),且在(2,+∞)上t>0,∴2≥

,且4-2a+3a≥0,∴a∈[-4,4].故選D.(2)∵f(x)在R上單調(diào)遞減,∴

∴

≤a<1.∴a的取值范圍為

.解析(1)令t=x2-ax+3a,則y=lo?t,30答案(1)D(2)

方法總結(jié)利用單調(diào)性求參數(shù).視參數(shù)為已知數(shù),依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性

定義,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù).需注意:①若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)的,則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上

也是單調(diào)的;②對于分段函數(shù)的單調(diào)性,除注意各段的單調(diào)性外,還要注意銜接點(diǎn)的取值.答案(1)D(2)?方法總結(jié)利用單調(diào)性求參數(shù).視參數(shù)31考法三函數(shù)奇偶性的判斷及應(yīng)用例7判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1)f(x)=(x-1)

;(2)f(x)=

;(3)f(x)=

(4)f(x)=

+

;(5)f(x)=x2-|x-a|+2.考法三函數(shù)奇偶性的判斷及應(yīng)用例7判斷下列函數(shù)的奇偶性.32解析(1)由

≥0,得定義域?yàn)閇-1,1),不關(guān)于原點(diǎn)對稱,故f(x)為非奇非偶函數(shù).(2)由

得定義域?yàn)?-1,0)∪(0,1),關(guān)于原點(diǎn)對稱,這時(shí)f(x)=

=-

.∵f(-x)=-

=

=-f(x),∴f(x)為奇函數(shù).(3)當(dāng)x<0時(shí),-x>0,則f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x);當(dāng)x>0時(shí),-x<0,則f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x).∴對任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都有f(-x)=f(x),故f(x)為偶函數(shù).解析(1)由?≥0,得定義域?yàn)閇-1,1),不關(guān)于原點(diǎn)對稱33(4)由

得x=-

或x=

,∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧-

,

}.又∵對任意的x∈{-

,

},f(x)=0,∴f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x).∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(5)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.當(dāng)a=0時(shí),f(x)=f(-x),∴f(x)是偶函數(shù);當(dāng)a≠0時(shí),f(a)=a2+2,f(-a)=a2-2|a|+2,f(a)≠f(-a),且f(a)+f(-a)=2(a2-|a|+2)=2

+

≠0,∴f(x)是非奇非偶函數(shù).(4)由?得x=-?或x=?,34方法總結(jié)判斷函數(shù)奇偶性的一般方法1.定義法2.圖象法

3.性質(zhì)法若f(x),g(x)在其公共定義域上具有奇偶性,則奇+奇=奇;奇×奇=偶,偶+偶=

偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.方法總結(jié)判斷函數(shù)奇偶性的一般方法3.性質(zhì)法35例8(1)已知函數(shù)f(x)=

的最大值為M,最小值為m,則M+m等于

()A.0

B.2

C.4

D.8(2)(2019江西贛州五校協(xié)作體聯(lián)考,17)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),

且當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=x2+2x.現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在x≤0時(shí)的圖象,如圖所示.

①畫出函數(shù)f(x)在x>0時(shí)的圖象,并寫出函數(shù)f(x)(x∈R)的解析式;②若函數(shù)g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),當(dāng)a>1時(shí),求函數(shù)g(x)的最小值.例8(1)已知函數(shù)f(x)=?的最大值為M,最小值為m,則36解析(1)易知f(x)的定義域?yàn)镽,f(x)=

=2+

,設(shè)g(x)=

,則g(-x)=-g(x)(x∈R),∴g(x)為奇函數(shù),∴g(x)max+g(x)min=0.∵M(jìn)=f(x)max=2+g(x)max,m=f(x)min=2+g(x)min,∴M+m=2+g(x)max+2+g(x)min=4,故選C.(2)①f(x)在x>0時(shí)的圖象如圖所示.若x>0,則-x<0,又函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=x2+2x,∴f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0),∴f(x)=

②由①知g(x)=x2-2x-2ax+2,其圖象的對稱軸方程為x=a+1,當(dāng)a>1時(shí),a+1>2,g(x)=x2-2x-2ax+2在[1,2]上單調(diào)遞減,則g(x)在[1,2]上的最小值為g(2)=2-4a.答案(1)C解析(1)易知f(x)的定義域?yàn)镽,若x>0,則-x<037方法總結(jié)函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(1)已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式.抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)分類區(qū)間上的解析式,或充分利用奇偶性作出

關(guān)于f(x)的方程,從而可得f(x)的解析式.(2)已知帶有字母系數(shù)的函數(shù)的表達(dá)式及奇偶性,求參數(shù).常常采用待定系

數(shù)法,利用f(x)±f(-x)=0產(chǎn)生關(guān)于字母的恒等式,由系數(shù)的對等性可得出字母

的值.(3)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,首先應(yīng)注意函數(shù)的定義域,函數(shù)的增減區(qū)間都是其

定義域的子集;其次掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)等基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

常用方法有:根據(jù)定義,利用圖象和單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)等.(4)奇函數(shù)?圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱;偶函數(shù)?圖象關(guān)于y軸對稱.因此在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上,奇函數(shù)的單調(diào)性相同;偶函數(shù)的單調(diào)性相反.方法總結(jié)函數(shù)奇偶性的應(yīng)用因此在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上,奇函數(shù)38考法四函數(shù)周期性的確定及應(yīng)用例9(1)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=-f(x),且在區(qū)間[0,2]上是增

函數(shù),則

()A.f(-25)<f(11)<f(80)

B.f(80)<f(11)<f(-25)C.f(11)<f(80)<f(-25)

D.f(-25)<f(80)<f(11)(2)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=f(1-x),且當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=2x-m,

則m=

,f(2019)=

.解題導(dǎo)引(1)由單調(diào)性比較函數(shù)值的大小時(shí),若自變量的值不在同一個(gè)單

調(diào)區(qū)間內(nèi),要利用函數(shù)的性質(zhì),轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行比較.(2)利用函數(shù)性質(zhì)求值的關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性、對稱性以及函數(shù)的周

期性將自變量轉(zhuǎn)化到指定區(qū)間內(nèi),然后代入函數(shù)解析式求值.考法四函數(shù)周期性的確定及應(yīng)用例9(1)已知定義在R上的奇39解析(1)∵f(x)滿足f(x-4)=-f(x),∴f(x-8)=f(x),∴f(x)的周期為8,∴f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3)=f(-1+4)=-f(-1)=f(1),又∵奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),∴f(x)在區(qū)間[-2,2]上是增函數(shù),∴f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11),故選D.(2)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x+1)=f(1-x),∴f(x+2)=f(-x)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴f(x)的周期為4.由題意知f(0)=1-m=0,則m=1,∴當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=2x-1.∴f(2019)=f(-1+505×4)=f(-1)=-f(1)=-1.答案(1)D(2)1;-1解析(1)∵f(x)滿足f(x-4)=-f(x),由題意知40方法總結(jié)(1)周期性與奇偶性的綜合問題多為求值問題,常利用奇偶性和

周期性將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)換,即將所求值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的自變量

范圍內(nèi)求解.(2)求抽象函數(shù)周期的方法遞推法:若f(x+a)=-f(x),則f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),所以2a為f(x)的一

個(gè)周期.換元法:若f(x+a)=f(x-a),令x-a=t,則x=t+a,則f(t+2a)=f(t+a+a)=f(t+a-a)=f(t),所

以2a為f(x)的一個(gè)周期.方法總結(jié)(1)周期性與奇偶性的綜合問題多為求值問題,常利用41考法五函數(shù)值域的求解方法例10求下列函數(shù)的值域:(1)y=

,x∈[-3,-1];(2)y=2x+

;(3)y=x+4+

;(4)y=

;(5)y=log3x+logx3-1.解題導(dǎo)引

考法五函數(shù)值域的求解方法例10求下列函數(shù)的值域:解題導(dǎo)引42解析(1)由y=

可得y=

-

.∵-3≤x≤-1,∴

≤-

≤

,∴

≤y≤3,即y∈

.(2)(代數(shù)換元法)令t=

(t≥0),則x=

.∴y=-t2+t+1=-

+

(t≥0).∴當(dāng)t=

,即x=

時(shí),y取最大值,ymax=

,且y無最小值,∴函數(shù)的值域?yàn)?/p>

.(3)(三角換元法)令x=3cosθ,θ∈[0,π],則y=3cosθ+4+3sinθ=3

sin

+4.∵0≤θ≤π,∴

≤θ+

≤

,∴-

≤sin

≤1.解析(1)由y=?可得y=?-?.∵-3≤x≤-1,∴?≤43∴1≤y≤3

+4,∴函數(shù)的值域?yàn)閇1,3

+4].(4)(判別式法)觀察函數(shù)式,將已知的函數(shù)式變形為yx2+2yx+3y=2x2+4x-7,整

理得(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0.(※)顯然y≠2(運(yùn)用判別式法之前,應(yīng)先討論x2的系數(shù)).將(※)式看作關(guān)于x的一元二次方程.易知原函數(shù)的定義域?yàn)镽,則上述關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)根,所以Δ=[2(y

-2)]2-4(y-2)(3y+7)≥0.解不等式得-

≤y≤2.又y≠2,∴原函數(shù)的值域?yàn)?/p>

.(5)y=log3x+logx3-1變形得y=log3x+

-1.①當(dāng)log3x>0,即x>1時(shí),y=log3x+

-1≥2-1=1,∴1≤y≤3?+4,∴函數(shù)的值域?yàn)閇1,3?+4].44當(dāng)且僅當(dāng)log3x=1,即x=3時(shí)取“=”.②當(dāng)log3x<0,即x<1時(shí),y≤-2-1=-3.當(dāng)且僅當(dāng)log3x=-1,即x=

時(shí)取“=”.綜上所述,原函數(shù)的值域?yàn)?-∞,-3]∪[1,+∞).例11(1)用min{a,b,c}表示a,b,c三個(gè)數(shù)中的最小值.設(shè)f(x)=min{2x,x+2,10

-x}(x≥0),則f(x)的最大值為

()A.4

B.5

C.6

D.7(2)(2019陜西西安高新第一中學(xué)模擬,6)已知函數(shù)f(x)=5-log3x,x∈(3,27],則f

(x)的值域是

()A.(2,4]

B.[2,4)

C.[-4,4)

D.(6,9]解題導(dǎo)引(1)畫出函數(shù)f(x)的圖象,由圖象得最大值.(2)函數(shù)f(x)=5-log3x為減函數(shù),利用單調(diào)性求值域.當(dāng)且僅當(dāng)log3x=1,即x=3時(shí)取“=”.例11(1)用45解析(1)作出f(x)的圖象(如圖實(shí)線部分),可知A(4,6)為函數(shù)f(x)圖象的最高點(diǎn).(2)因?yàn)閥=log3x為增函數(shù),所以f(x)=5-log3x為減函數(shù).因?yàn)?<x≤27,所以1<log3x≤3,所以2≤f(x)<4,即f(x)的值域是[2,4).解析(1)作出f(x)的圖象(如圖實(shí)線部分),可知A(4,46方法總結(jié)求函數(shù)值域(最值)的方法(1)分離常數(shù)法形如y=

(ac≠0)的函數(shù)的值域經(jīng)常使用“分離常數(shù)法”求解.(2)配方法配方法是求“二次函數(shù)型函數(shù)”值域的基本方法,形如F(x)=a[f(x)]2+bf(x)+

c(a≠0)的函數(shù)的值域問題,均可使用配方法.(3)換元法①代數(shù)換元.形如y=ax+b±

(a,b,c,d為常數(shù),ac≠0)的函數(shù),可設(shè)

=t(t≥0),轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域.②三角換元:如y=x+

,可令x=cosθ,θ∈[0,π].利用換元法求值域,一定要注意新元的范圍對值域的影響.(4)判別式法方法總結(jié)求函數(shù)值域(最值)的方法47把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的一元二次方程,通過方程有實(shí)根,知判別式Δ≥0,從而

求得原函數(shù)的值域,形如y=

(a1,a2不同時(shí)為零)的函數(shù)的值域常用此法求解.用判別式法求值域的注意事項(xiàng):①函數(shù)的定義域應(yīng)為R;②分式的分子、分

母沒有公因式.(5)有界性法形如sinα=f(y),x2=g(y),ax=h(y)等,由|sinα|≤1,x2≥0,ax>0可解出y的范圍,從而

求出其值域.(6)數(shù)形結(jié)合法若函數(shù)的解析式的幾何意義較明顯,如距離、斜率等,可用數(shù)形結(jié)合的方法.(7)基本不等式法把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的一元二次方程,通過方程有實(shí)根,知判別式Δ48利用基本不等式:a+b≥2

(a>0,b>0).用此法求函數(shù)值域時(shí),要注意條件“一正,二定,三相等”.(8)單調(diào)性法:先確定函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性求最值.(9)圖象法:先作出函數(shù)的圖象,再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn),求出最值.(10)導(dǎo)數(shù)法:先求導(dǎo),然后求出在給定區(qū)間上的極值,最后結(jié)合端點(diǎn)值,求出

最值.利用基本不等式:a+b≥2?(a>0,b>0).49§3.3二次函數(shù)與冪函數(shù)高考數(shù)學(xué)§3.3二次函數(shù)與冪函數(shù)高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.二次函數(shù)的解析式(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);(2)頂點(diǎn)式:若二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k),則其解析式為f(x)=①

a(x-h)2+k(a≠0)

;(3)兩根式:若相應(yīng)一元二次方程的兩根為x1,x2,則其解析式為f(x)=②

a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

.2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)考點(diǎn)清單考點(diǎn)一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點(diǎn)清單51解析式f(x)=ax2+bx+c(a>0)f(x)=ax2+bx+c(a<0)圖象

定義域RR值域

③

最值f(x)min=

f(x)max=④

解析式f(x)=ax2+bx+c(a>0)f(x)=ax2+52單調(diào)性在⑤

上單調(diào)遞減,在⑥

上單調(diào)遞增在

上單調(diào)遞增,在

上單調(diào)遞減奇偶性當(dāng)b=0時(shí)為偶函數(shù),當(dāng)b≠0時(shí)為非奇非偶函數(shù)

頂點(diǎn)坐標(biāo)

對稱性圖象關(guān)于⑦直線x=-

對稱

單調(diào)性在⑤

?

上在?上奇偶性當(dāng)b=0時(shí)為偶函數(shù)53知識拓展

二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)在區(qū)間[m,n]上的最大值或最小值

如下:①當(dāng)-

∈[m,n],即對稱軸在所給區(qū)間內(nèi)時(shí),f(x)的最小值在對稱軸處取得,其最小值是f

=

;若-

≤

,則f(x)的最大值為f(n);若-

≥

,則f(x)的最大值為f(m).②當(dāng)-

?[m,n],即給定的區(qū)間在對稱軸的一側(cè)時(shí),f(x)在[m,n]上是單調(diào)函數(shù),若-

<m,則f(x)在[m,n]上是增函數(shù),f(x)的最小值是f(m),最大值是f(n);若n<-

,則f(x)在[m,n]上是減函數(shù),f(x)的最小值是f(n),最大值是f(m).③當(dāng)不能確定-

是否屬于區(qū)間[m,n]時(shí),則需分類討論,以對稱軸與區(qū)間的關(guān)系確定討論的標(biāo)準(zhǔn),然后轉(zhuǎn)化為上述①②兩種情形求最值.知識拓展

二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)54考點(diǎn)二冪函數(shù)1.冪函數(shù)的定義一般地,形如y=xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中α為常數(shù).2.冪函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=

,y=

的圖象、3.冪函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=

,y=

的性質(zhì)考點(diǎn)二冪函數(shù)55

y=xy=x2y=x3y=

y=x-1定義域RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0,+∞)R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增(-∞,0)上減,(0,+∞)上增增增(-∞,0)上減,(0,+∞)上減定點(diǎn)(0,0),(1,1)

(1,1)y=xy=x2y=x3y=?y=x-1定義域RRR[0,+56考法一求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值(值域)知能拓展例1

(2018陜西渭南尚德中學(xué)一模,20)已知函數(shù)f(x)=x2+(2a-1)x-3.(1)當(dāng)a=2,x∈[-2,3]時(shí),求函數(shù)f(x)的值域;(2)若函數(shù)f(x)在[1,3]上的最大值為1,求實(shí)數(shù)a的值.解題導(dǎo)引

考法一求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值(值域)知能拓展例1

57解析(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=x2+3x-3=

-

,因?yàn)閤∈[-2,3],所以f(x)min=f

=-

,f(x)max=f(3)=15,所以所求函數(shù)的值域?yàn)?/p>

.(2)f(x)圖象的對稱軸為直線x=-

.①當(dāng)-

≤1,即a≥-

時(shí),f(x)max=f(3)=6a+3,所以6a+3=1,即a=-

,滿足題意;②當(dāng)-

≥3,即a≤-

時(shí),f(x)max=f(1)=2a-3,所以2a-3=1,即a=2,不滿足題意;③當(dāng)1<-

<3,即-

<a<-

時(shí),f(x)max在端點(diǎn)處取得,解析(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=x2+3x-3=?-?,58令f(1)=1+2a-1-3=1,得a=2(舍去),令f(3)=9+3(2a-1)-3=1,得a=-

(舍去).綜上,可知a=-

.方法總結(jié)二次函數(shù)求最值問題,一般先用配方法化成y=a(x-m)2+n(a≠0)

的形式,得其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n),對稱軸方程為x=m,再結(jié)合二次函數(shù)的

圖象求解,常見的有三種類型:(1)對稱軸、區(qū)間都是給定的;(2)對稱軸動,區(qū)間固定;(3)對稱軸定,區(qū)間變

動.解決這類問題的思路是抓住“三點(diǎn)一軸”進(jìn)行數(shù)形結(jié)合,三點(diǎn)指的是區(qū)

間兩個(gè)端點(diǎn)及兩個(gè)端點(diǎn)的中點(diǎn),一軸指的是對稱軸.具體方法是利用函數(shù)的

單調(diào)性及分類討論的思想求解.對于(2)、(3),通常要分對稱軸在區(qū)間內(nèi)、對稱軸在區(qū)間外兩大類情況進(jìn)

行討論.簡單地講,軸在區(qū)間外,端點(diǎn)處取最值,軸在區(qū)間內(nèi),頂點(diǎn)和端點(diǎn)處有最值.令f(1)=1+2a-1-3=1,得a=2(舍去),令f(359考法二一元二次方程根的分布例2已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有兩根,其中一根在區(qū)間(-1,0)內(nèi),另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi),求m的取

值范圍;(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi),求m的取值范圍.考法二一元二次方程根的分布例2已知關(guān)于x的二次方程x2+60解析令f(x)=x2+2mx+2m+1.(1)由條件知,拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別在區(qū)間(-1,0)和(1,2)內(nèi),如圖所示,則

?

故m的取值范圍是

.(2)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均落在區(qū)間(0,1)內(nèi),如圖所示,解析令f(x)=x2+2mx+2m+1.故m的取值范圍是?61則

?

故m的取值范圍是

.方法總結(jié)研究二次函數(shù)零點(diǎn)的分布,一般情況下需要從以下三個(gè)方面考慮:(1)一元二次方程根的判別式;(2)對應(yīng)二次函數(shù)區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù);(3)對應(yīng)二次函數(shù)圖象——拋物線的對稱軸直線x=-

與區(qū)間端點(diǎn)的位置關(guān)系.設(shè)x1,x2是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的兩實(shí)根,則x1,x2的分布范圍

與一元二次方程系數(shù)之間的關(guān)系如下表:則???故m的取值范圍是?.方法總結(jié)研究二次函數(shù)零點(diǎn)的分布62零點(diǎn)的分布(m,n,p為常數(shù))圖象滿足條件x1<x2<m

m<x1<x2

零點(diǎn)的分布(m,n,p為常數(shù))圖象滿足條件x1<x2<m??63x1<m<x2

f(m)<0m<x1<x2<n

m<x1<n<x2<p

只有一個(gè)零點(diǎn)在(m,n)之間

或f(m)·f(n)<0或

或x1<m<x2?f(m)<0m<x1<x2<n??m<x1<64考法三冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用例3(1)(2018貴州適應(yīng)性考試,6)冪函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,

),則f(x)是

()A.偶函數(shù),且在(0,+∞)上是增函數(shù)B.偶函數(shù),且在(0,+∞)上是減函數(shù)C.奇函數(shù),且在(0,+∞)上是減函數(shù)D.非奇非偶函數(shù),且在(0,+∞)上是增函數(shù)(2)(2018北京東城月考,6)已知冪函數(shù)f(x)=(n2+2n-2)·

(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對稱,且在(0,+∞)上是減函數(shù),則n的值為

()A.-3

B.1

C.2

D.1或2考法三冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用例3(1)(2018貴州適65解題導(dǎo)引(1)設(shè)f(x)=xa,由y=f(x)的圖象經(jīng)過(3,

),求出f(x)的解析式,然后得出答案.(2)由冪函數(shù)的定義,得n2+2n-2=1,再由題意得n的值.解析(1)設(shè)冪函數(shù)的解析式為f(x)=xa,則f(3)=3a=

,解得a=

,則f(x)=

=

,是非奇非偶函數(shù),且在(0,+∞)上是增函數(shù).故選D.(2)由于f(x)為冪函數(shù),所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,經(jīng)檢驗(yàn),只有n=1符合題意,故選B.答案(1)D(2)B解題導(dǎo)引(1)設(shè)f(x)=xa,由y=f(x)的圖象經(jīng)過(66§3.4指數(shù)與指數(shù)函數(shù)高考數(shù)學(xué)§3.4指數(shù)與指數(shù)函數(shù)高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1.根式的概念2.兩個(gè)重要公式

=

根式的概念符號表示備注一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根

n>1且n∈N*當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù),負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)

零的n次方根是零當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),正數(shù)的n次方根有兩個(gè),這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)±

(a>0)負(fù)數(shù)沒有偶次方根考點(diǎn)清單考點(diǎn)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)2.兩個(gè)重要公式根式的概念符號表示備注一68(

)n=④

a

(注意a必須使

有意義).3.有理指數(shù)冪(1)冪的有關(guān)概念(i)正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:

=

(a>0,m,n∈N*,且n>1);(ii)正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:

=

=

(a>0,m,n∈N*,且n>1);(iii)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于⑤0

,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.(2)有理指數(shù)冪的性質(zhì)(i)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);(ii)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);(iii)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).(?)n=④

a

(注意a必須使?有意義).69

a>10<a<1圖象

定義域R

值域⑥(0,+∞)

4.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)性質(zhì)過定點(diǎn)⑦(0,1)

當(dāng)x>0時(shí),y>1;當(dāng)x<0時(shí),0<y<1當(dāng)x>0時(shí),0<y<1;當(dāng)x<0時(shí),y>1

在(-∞,+∞)上是⑧單調(diào)增函數(shù)

在(-∞,+∞)上是⑨單調(diào)減函數(shù)

a>10<a<1圖象??定義域R

值域⑥(0,+∞)

705.指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小的關(guān)系如

圖所示,其中0<c<d<1<a<b.

在y軸右側(cè),圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小;在y軸左側(cè),圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小;無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè),底數(shù)按逆時(shí)針方向變大.5.指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小的關(guān)71考法一指數(shù)式的大小比較知能拓展例1下列各式比較大小正確的是

()A.1.72.5>1.73

B.0.6-1>0.62C.0.8-0.1>1.250.2

D.1.70.3<0.93.1

解題導(dǎo)引

考法一指數(shù)式的大小比較知能拓展例1下列各式比較大小正確的72解析

A中,∵函數(shù)y=1.7x在R上是增函數(shù),2.5<3,∴1.72.5<1.73.故A錯(cuò)誤.B中,∵y=0.6x在R上是減函數(shù),-1<2,∴0.6-1>0.62.故B正確.C中,∵(0.8)-1=1.25,y=1.25x在R上是增函數(shù),0.1<0.2,∴1.250.1<1.250.2,即0.8-0.1<1.250.2.故C錯(cuò)誤.D中,∵函數(shù)y=1.7x在R上是增函數(shù),且0.3>0,∴1.70.3>1.70=1,又函數(shù)y=0.9x在R上是減函數(shù),且3.1>0,∴0<0.93.1<0.90=1.∴1.70.3>0.93.1.故D錯(cuò)誤.答案

B方法總結(jié)指數(shù)式值大小比較的常見類型:同底不同指數(shù),同指數(shù)不同底,

底和指數(shù)均不相同.指數(shù)式值的大小比較的常用方法:(1)化為相同指數(shù)或

相同底數(shù)后利用相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性,(2)作差或作商法,(3)利用中間量(0或1

等)分段.解析

A中,∵函數(shù)y=1.7x在R上是增函數(shù),2.5<73考法二指數(shù)(型)函數(shù)的圖象和性質(zhì)例2已知函數(shù)y=

.(1)作出函數(shù)圖象;(2)由圖象指出其單調(diào)區(qū)間;(3)由圖象指出當(dāng)x取什么值時(shí)有最值.解題導(dǎo)引

考法二指數(shù)(型)函數(shù)的圖象和性質(zhì)例2已知函數(shù)y=?.解題74解析(1)由函數(shù)解析式可得y=

=

其圖象分成兩部分:一部分是y=

(x≥-2)的圖象,由下列變換可得到:y=

的圖象

y=

的圖象;另一部分是y=2x+2(x<-2)的圖象,由下列變換可得到:y=2x的圖象

y=2x+2的圖象,如圖(實(shí)線)為函數(shù)y=

的圖象.解析(1)由函數(shù)解析式可得y=?=?75(2)由(1)中圖象觀察知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-2],單調(diào)減區(qū)間為(-2,+∞).(3)由(1)中圖象觀察知,x=-2時(shí),函數(shù)y=

取大值,最大值為1,沒有最小值.方法總結(jié)(1)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的圖象對于指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的圖象問題,一般從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手,通

過平移、伸縮、對稱變換而得到.需特別注意底數(shù)a>1與0<a<1兩種不同情

況.(2)對于指數(shù)型復(fù)合函數(shù)圖象問題,先求出定義域,對函數(shù)式進(jìn)行化簡變形,

轉(zhuǎn)化成分段函數(shù),畫其圖象.(2)由(1)中圖象觀察知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-2],76例3如果函數(shù)f(x)=ax(ax-3a2-1)(a>0,且a≠1)在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù).求

實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析由題意得f(x)=(ax)2-(3a2+1)ax,令t=ax,t>0,則f(t)=t2-(3a2+1)t(t>0).當(dāng)a>1

時(shí),t=ax在[0,+∞)上為增函數(shù),此時(shí)t≥1,而對于f(t)而言,f(t)圖象的對稱軸為t

=

>2,故f(x)在[0,+∞)上不可能為增函數(shù);當(dāng)0<a<1時(shí),t=ax在[0,+∞)上為減函數(shù),此時(shí)0<t≤1,要使f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),則f(t)在(0,1]上必為減函數(shù),故

≥1.∴a≥

或a≤-

,∴

≤a<1.例3如果函數(shù)f(x)=ax(ax-3a2-1)(a>0,且77方法總結(jié)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解步驟(1)求復(fù)合函數(shù)的定義域;(2)弄清函數(shù)是由哪些基本函數(shù)復(fù)合而成的;(3)分層逐一求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(4)求出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(注意“同增異減”).例4已知函數(shù)f(x)=a2x+2ax-1(a>0且a≠1)在區(qū)間[-1,1]上的最大值為14.求

實(shí)數(shù)a的值.解題導(dǎo)引分0<a<1和a>1兩種情況討論.方法總結(jié)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解步驟例478解析

f(x)=a2x+2ax-1=(ax+1)2-2.(1)當(dāng)0<a<1時(shí),a≤ax≤

,∴當(dāng)ax=

時(shí),f(x)取得最大值.∴

-2=14,∴

=3或

=-5(舍去),∴a=

.(2)當(dāng)a>1時(shí),

≤ax≤a,∴當(dāng)ax=a時(shí),f(x)取得最大值.∴(a+1)2-2=14,∴a=3或a=-5(舍去).綜上可知,實(shí)數(shù)a的值為

或3.方法總結(jié)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域的求法(1)函數(shù)y=af(x)(a>0,且a≠1)的定義域與y=f(x)的定義域相同;(2)先確定f(x)的值域,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定y=af(x)(a>0,且a≠1)的值域.解析

f(x)=a2x+2ax-1=(ax+1)2-279§3.5對數(shù)與對數(shù)函數(shù)高考數(shù)學(xué)§3.5對數(shù)與對數(shù)函數(shù)高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1.對數(shù)的概念(1)對數(shù)的定義如果ax=N(a>0且a≠1),那么指數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù),記作x=logaN,其中a

叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).(2)幾種常見對數(shù)對數(shù)形式特點(diǎn)記法一般對數(shù)底數(shù)為a(a>0且a≠1)logaN常用對數(shù)底數(shù)為10lgN自然對數(shù)底數(shù)為elnN考點(diǎn)清單考點(diǎn)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)對數(shù)形式特點(diǎn)記法一般對數(shù)底數(shù)為a(a>081a.

=①

N

(a>0且a≠1,N>0);b.logaaN=②

N

(a>0且a≠1).(2)對數(shù)的重要公式a.換底公式:logbN=

(a,b均大于零且不等于1,N>0);b.logab=

,推廣:logab·logbc·logcd=logad(a,b,c均大于零且不等于1,d大于零);c.lo

Mn=

logaM(a>0且a≠1,m,n∈R,m≠0).(3)對數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么a.loga(MN)=③

logaM+logaN

;b.loga

=logaM-logaN;2.對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1)對數(shù)的性質(zhì)a.?=①

N

(a>0且a≠1,N>0);2.82c.logaMn=④

nlogaM

(n∈R).3.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>10<a<1圖象

性質(zhì)定義域:(0,+∞)

值域:R

過點(diǎn)(1,0),即x=1時(shí),y=0

當(dāng)x>1時(shí),y>0;當(dāng)0<x<1時(shí),y<0當(dāng)x>1時(shí),y<0;當(dāng)0<x<1時(shí),y>0

是(0,+∞)上的增函數(shù)是(0,+∞)上的減函數(shù)c.logaMn=④

nlogaM

(n∈R).834.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)互為反函數(shù),它

們的圖象關(guān)于直線y=x對稱.其圖象關(guān)系如圖所示.

4.反函數(shù)84考法一對數(shù)式大小的比較方法知能拓展例1(1)已知a=

,b=lo

,c=log3

,則

()A.b>c>a

B.a>b>c

C.c>b>a

D.b>a>c(2)設(shè)

<a<1,m=loga(a+1),n=loga(1-a),p=loga

,則m,n,p的大小關(guān)系是

(

)A.n>m>p

B.m>p>nC.p>n>m

D.n>p>m考法一對數(shù)式大小的比較方法知能拓展例1(1)已知a=?,85解析(1)∵a=

,b=lo

,c=log3

,∴0<a=

<20=1,b=lo

>lo

=1,c=log3

<log31=0.∴b>a>c.故選D.(2)因?yàn)?/p>

<a<1,所以a+1-

=

=

>0,

-(1-a)=

=

>0,所以a+1>

>1-a,又

<a<1,所以loga(a+1)<loga

<loga(1-a),即m<p<n.故選D.答案(1)D(2)D解析(1)∵a=?,b=lo??,c=log3?,∴0<a86方法總結(jié)對數(shù)式大小的比較方法

方法總結(jié)對數(shù)式大小的比較方法87考法二對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用例2(1)若函數(shù)y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域?yàn)閧y|y≥1},則函數(shù)y=loga|x|的圖象

大致是

()(2)已知a>0,且a≠1,函數(shù)f(x)=loga|ax2-x|在[3,4)上是增函數(shù),則a的取值范圍

是

()A.

≤a≤

或a>1

B.a>1C.

≤a<

D.

≤a≤

或a>1(3)已知函數(shù)f(x)=loga(8