高中數(shù)學(xué)選修2-1《例談法向量在立體幾何中的應(yīng)用》

例談法向在立體幾何的應(yīng)用對立體幾何研究的一種重要思路是代數(shù)化向代數(shù)的方法來解決立體幾何中的邏輯推理問題對傳統(tǒng)的求解體幾何的方法——幾何法量在求解立體幾何問題時(shí)有著方便快，不容易陷入思障礙的優(yōu)點(diǎn)。其中，法向量在解題時(shí)又起著舉足輕重的作用。本文精選典型例題，對法向量在立體幾何中的應(yīng)用進(jìn)行歸納、整理，以揭示解題規(guī)律、方法，供讀者參考。一利法量明面面的行垂已知直線的方向向量為

平的法向?yàn)?/p>

n

。（1若證明線面平行，即證v⊥

）證明線面垂直，即證∥n；（3）若證明面平行，即證n∥；（）若證明面垂直，即證明⊥2。22例如，ABC是個(gè)正三角形EC⊥平面ABCBD∥，CE=CA=2BD。

zE求證：平面DEA⊥平面ECA

D解：如圖1，建立空間直角坐標(biāo)O-xyz,妨設(shè)CB

yCA=2，CE=2，BD=1，C（，，A（，，（，，（，，xD（，，EA3,1,，ED計(jì)算出面CEA與面DEA的向量是2平面DEA⊥面ECA.

圖1An1

∴點(diǎn)：意法向量的求法例1用向量法證明顯然用幾何法簡潔將邏輯證明轉(zhuǎn)化為數(shù)值計(jì)算，降低了對空間想象能力要求的難度，是研究立體幾何的一種有力工具。二利法量角．求線面角如圖，已知為面的條斜線，n為面的個(gè)法向量，過A作面的線，結(jié)OB則為線平面所的角，易知：

n

A

cosAB

ABnAB|n|

圖

OB特殊情況：當(dāng)AB

且

，直線與面垂。例2已棱長為的正方體ABCDABC中E是AB的點(diǎn)，求直線AE平11111面ABCD所的角。1解：如圖3建立空間直角坐標(biāo)系，z＝01＝10AE得平面ABCD的向量為＝1，0，）1

＝，，1）圖

A

1

D

1

E

1

C

1設(shè)直線AE與平面ABCD所成的角，則1

D

Csin

,

105

，故直線AE與平面

x

A

B

yABCD所成的角為1

。1

nnnnnnnnnnnnnn點(diǎn)直線與平面所成角轉(zhuǎn)化為求直線的向向量與平面的法向量夾角的余角π線面角的范圍：[0，]，而向夾角的范圍[02．求二面角圖

圖在二面角

n1

2

分別是和法向量二面角

小為。如圖

＝

cos<,>＝

12

5cos(

)＝cos<

>＝

12

。例3在棱錐—ABC中△ABC是邊長為的正三角形，平面SAC⊥平面，SA=SC=22，M、N分為AB的點(diǎn)求二面角N——的弦。解：取AC中點(diǎn)O連結(jié)、∵，，AC且AC⊥∵平面⊥平面，平面SAC∩平面ABC=AC∴⊥面ABC，圖示建立空間直角坐標(biāo)系－xyz.則O(0，0，，A（20，0（2，0，0（，，2（1，0

圖∴

CM

，MN

AS得平面CMN的個(gè)法向量

，

，1)又

OS

，，2)平面ABC的個(gè)法向量，∴〈，

〉

=

易知二面角NCM—B的平面角是銳角，∴二面角N－－余弦值為

點(diǎn)：法向量的夾角求二面角時(shí)應(yīng)注意面法向量所取的方向不同求出來的角度也不同因此最所求角<n,>確定。

還是它的補(bǔ)角應(yīng)據(jù)所求二面的實(shí)際圖形來三利法量點(diǎn)距如圖，A是面外點(diǎn)是的條斜線，交平面α于

A點(diǎn)B而

是平面的向量，那么量

BA

在

方向上的正射影長就是點(diǎn)A平α的距離h，則

圖7

BABA

BA

Bθ

例4（年福建高考）如圖，四面體ABCD，、E分是BD、BC的點(diǎn)，CD2,AB2

（I）求證：面；（II求異面直線AB與CD所角的大?。唬↖II）求點(diǎn)E到面ACD的離。解略II）以O(shè)為原點(diǎn)，如圖8建立空間直角坐標(biāo)系，B(C(0,A(0,0,1),E(CD3,0).2

z

CDcosCDBA

D面直線與CD成角的大小為

x

OEC

y（III）計(jì)算出面ACD的向量為n3)

，又

3,0)