理論力學(xué)15-虛位移原理

第十六章虛位移原理系統(tǒng)的約束及其分類虛位移及其計(jì)算引言虛位移原理，是用分析的方法來研究任意質(zhì)點(diǎn)系的平衡問題。這部分內(nèi)容稱為分析靜力學(xué)。虛位移原理給出的平衡條件，對(duì)于任意質(zhì)點(diǎn)系的平衡都是必要與充分的，因此它是解決質(zhì)點(diǎn)系平衡問題的普遍原理。同時(shí)，將虛位移原理和達(dá)朗伯原理相結(jié)合，可以導(dǎo)出動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程，從而得到求解質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題的又一個(gè)普遍的方法。

限制質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的位置和運(yùn)動(dòng)的條件稱為約束。表示這些限制條件的表達(dá)式稱為約束方程。根據(jù)約束形式及其性質(zhì)，約束可分以下類型：

一、幾何約束與運(yùn)動(dòng)約束

限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間的幾何位置的約束稱為幾何約束。如：約束類型及分類

幾何約束方程的一般形式為

不僅能限制質(zhì)點(diǎn)系的位置，而且能限制質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的速度的約束稱為運(yùn)動(dòng)約束。為幾何約束方程。為運(yùn)動(dòng)約束方程。運(yùn)動(dòng)約束方程的一般形式為

二、定常約束與非定常約束約束條件不隨時(shí)間變化的約束稱為定常約束。約束條件隨時(shí)間變化的約束稱為非定常約束。其約束方程為非定常約束方程的一般形式為

三、雙面約束與單面約束

同時(shí)限制質(zhì)點(diǎn)某方向及相反方向運(yùn)動(dòng)的約束稱為雙面約束。只能限制質(zhì)點(diǎn)某方向的運(yùn)動(dòng)，而不能限制相反方向運(yùn)動(dòng)的約束稱為單面約束。其約束方程的一般形式為四、完整約束與非完整約束

幾何約束或其約束方程能夠積分的運(yùn)動(dòng)約束稱為完整約束。

如果在約束方程中顯含坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，并且不可以積分，這種約束稱為非完整約束。

本章只研究定常的雙面的完整的幾何約束問題。一、虛位移的概念

在某瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系在約束允許的條件下，可能實(shí)現(xiàn)的任何微小的位移，稱為該質(zhì)點(diǎn)系的虛位移。如

虛位移原理

必須指出，虛位移和實(shí)位移都受約束的限制，是約束所允許的位移，但二者是有區(qū)別的。實(shí)位移是在一定的力作用下和給定的運(yùn)動(dòng)初始條件下，在一定的時(shí)間內(nèi)發(fā)生的位移，具有確定的方向，可能是微小值，也可能是有限值。而虛位移純粹是一個(gè)幾何概念，它既不牽涉到系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)，也不涉及到力的作用，與時(shí)間過程和運(yùn)動(dòng)的初始條件無關(guān)，它一定是微小值，在約束允許的條件下具有任意性。一個(gè)靜止的質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系不會(huì)發(fā)生實(shí)位移，但可以有虛位移。在定常約束的情況下，微小實(shí)位移必定是虛位移中的一個(gè)。在非定常約束的情況下，實(shí)位移與虛位移沒有關(guān)系。二、虛位移的計(jì)算1、幾何法

這里僅討論定常約束的情形。在此條件下，真實(shí)位移是虛位移中的一個(gè)。因此可以用求實(shí)位移的方法來求各質(zhì)點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系。這種方法又稱虛速度法。例如：由于AB作平面運(yùn)動(dòng)，由速度投影定理或者，由于為AB的瞬心，故由正弦定理同樣可得

2、解析法

解析法是利用對(duì)約束方程或坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行變分以求出虛位移之間的關(guān)系。例如

橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)如圖，坐標(biāo)有約束方程對(duì)上式進(jìn)行變分運(yùn)算得或者把表示成的函數(shù)，也可求出虛位移間的關(guān)系。因?yàn)樽髯兎诌\(yùn)算所以

比較以上兩種方法，可以發(fā)現(xiàn)，幾何法直觀，且較為簡便，而解析法比較規(guī)范。

如圖所示，設(shè)某質(zhì)點(diǎn)受力作用，并給該質(zhì)點(diǎn)一個(gè)虛位移，則力在虛位移上所作的功稱為虛功，即或

顯然，虛功也是假想的，它與虛位移是同階無窮小量。

如果在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移中，所有的約束反力所作虛功的和等于零，則這種約束稱為理想約束。其條件為三、

虛位移原理

常見的理想約束有：

支承質(zhì)點(diǎn)或剛體的光滑固定面、連接物體的光滑鉸鏈、連接兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的無重剛桿、連接兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)不可伸縮的繩索、無滑動(dòng)的滾動(dòng)。

具有雙面、定常、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在某一位置處于平衡的、必要與充分條件是：所有作用于質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力，在該位置的任何虛位移中所作的虛功之和等于零。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為或或用解析式表示為以上三式稱為虛功方程。虛位移原理也稱虛功原理。

一、求主動(dòng)力之間的關(guān)系例1、圖示機(jī)構(gòu)中，已知OA=AB=l，，如不計(jì)各構(gòu)件的重量和摩擦，求在圖示位置平衡時(shí)主動(dòng)力與的大小之間的關(guān)系。

解1：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，受的主動(dòng)力有、。給系統(tǒng)一組虛位移如圖。由虛位移原理，得四、例題講解將以上關(guān)系代入前式得由于，于是得

AB作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心在點(diǎn)，則亦可由速度投影定理求虛位移之間的關(guān)系：由速度投影定理解2：解析法。建立如圖坐標(biāo)。由于且對(duì)上兩式作變分，得由，得即由于，于是得例2圖示機(jī)構(gòu)中，當(dāng)曲柄OC繞軸擺動(dòng)時(shí)，滑塊A沿曲柄自由滑動(dòng)，從而帶動(dòng)桿AB在鉛垂導(dǎo)槽K內(nèi)移動(dòng)。已知OC=a，OK=l，在C點(diǎn)垂直于曲柄作用一力Q，而在B點(diǎn)沿BA作用一力P。求機(jī)構(gòu)平衡時(shí)，力P與Q的關(guān)系。

解1：（幾何法）以系統(tǒng)為研究對(duì)象，受的主動(dòng)力有P、Q。給系統(tǒng)一組虛位移如圖。其中由虛位移原理，得式中故有由于，于是得主動(dòng)力作用點(diǎn)的坐標(biāo)及其變分為主動(dòng)力在坐標(biāo)方向上的投影為解2解析法:建立如圖坐標(biāo)。由，得即亦即由于，于是得解3：綜合法。

本題用解析法計(jì)算力的虛功，用幾何法計(jì)算力的虛功，此時(shí)虛功方程可以寫為將代入上式，得即可得同樣的結(jié)果。二、求系統(tǒng)的平衡位置例3圖示平面機(jī)構(gòu)，兩桿長度相等。在B點(diǎn)掛有重W的重物。D、E兩點(diǎn)用彈簧連接。已知彈簧原長為l，彈性系數(shù)為k，其它尺寸如圖。不計(jì)各桿自重。求機(jī)構(gòu)的平衡位置。解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，建立如圖的坐標(biāo)。

系統(tǒng)受力有主動(dòng)力，以及非理想約束的彈性力和，將其視為主動(dòng)力。其彈性力的大小為主動(dòng)力作用點(diǎn)的坐標(biāo)及其變分為主動(dòng)力在坐標(biāo)方向上的投影為由，得即亦即因，故將F代入，化簡得

三、求約束反力例4試求圖示多跨靜定梁鉸B處的約束反力。

解：以梁為研究對(duì)象，解除B處約束，代之以相應(yīng)的約束反力，并視為主動(dòng)力。給系統(tǒng)一組虛位移，如圖所示。

由虛位移原理有由圖知于是得從而有

例題5.

多跨梁由AC和CE用鉸C連接而成。荷載分布如圖示.P=50KN，均布荷載q=4KN/m，力偶矩m=36KN.m；求支座A、B和E的約束反力。3m3m6m6m6mABCDEPqm解:解除支座A的約束,代之約束反力RA,畫虛位移圖如下.其中Q1=24KN,Q2=24KN.12rArC

B是AC桿的瞬心.

E是CE桿的瞬心.利用虛位移圖得:

rC

=(BC)1

=(CE)2

1=22

3m3m6m6m6mABCDEPqmQ1Q2RABEW(RA)=6RA1

W(P)=-15016RA1-1501+721+2162-362=0RA=-2KNW(Q1)=721W(Q2)=2162W(m)=-362由虛位移原理得:12rArC3m3m6m6m6mABCDEPqmQ1Q2RABE利用虛位移圖計(jì)算虛功3m3m6m6m6mABCDEPqm解除支座B的約束,代之約束反力RB,畫虛位移圖.E是CE桿的瞬心.利用虛位移圖得:rC

=(AC)1

=(CE)21

=2=rC12Q1Q2RBEW(P)=1501

由虛位移原理得:RB=91KNW(RB)=-6RB1W(Q1)=2161W(Q2)=2162W(m)=-362-6RB1+1501+2161+2162-362=0利用虛位移圖計(jì)算虛功3m3m6m6m6mABCDEPqmrC12Q1Q2RBE解除支座E的約束,代之約束反力RE畫虛位移圖.rE利用虛位移圖計(jì)算虛功W(RE)=12REW(m)=-36W(Q2)=-72由虛位移原理得:12RE

-72-36=0RE=9KN3m3m6m6m6mABCDEPqmQ1Q2RE

例6圖示多跨靜定梁，試求A端處約束反力偶矩及鉛垂反力。已知：,,,長度單位為m。解：（1）求A端約束反力偶矩。以梁為研究對(duì)象，解除A處限制轉(zhuǎn)動(dòng)的約束，代之以相應(yīng)的約束反力偶矩，并視為主動(dòng)力。給系統(tǒng)一組虛位移，如圖所示。由虛位移原理有由幾何關(guān)系得于是得故有（2）求A處鉛垂反力解除A處鉛垂的約束，代之以相應(yīng)的約束反力Y，并視為主動(dòng)力。給系統(tǒng)一組虛位移，如圖所示。由虛位移原理有于是有由幾何關(guān)系得故有例7：求圖示靜定剛架支座D處的水平反力。解：以剛架為研究對(duì)象，解除D處的水平約束，代之以相應(yīng)的約束反力，并視為主動(dòng)力。給系統(tǒng)一組虛位移，如圖所示。由虛位移原理有于是支座D的水平反力為故于是有由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系四、求桁架桿件及組合結(jié)構(gòu)的軸力例8：求圖示桁架桿1和桿2的軸力。解：以桁架為研究對(duì)象，解除1桿的約束，代之以相應(yīng)的約束反力，并視為主動(dòng)力。給系統(tǒng)一組虛位移，如圖所示。由虛位移原理有:由幾何關(guān)系得于是得解除2桿的約束，代之以相應(yīng)的約束反力，并視為主動(dòng)力。給系統(tǒng)一組虛位移，如圖所示。由虛位移原理有由幾何關(guān)系得于是得例9.

組合構(gòu)架如圖所示。已知P=10KN，不計(jì)構(gòu)件自重,求1桿的內(nèi)力。2m2m2m2m2mACBP12m2m2m2m2mACBP1解:截?cái)?桿代之內(nèi)力S1和S‘1且S1=S’1=S，畫虛位移圖。rC12B為BC的瞬心.利用虛位移圖得:rC

=(AC)1

=(BC