高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分

第十一章廣義積分與含參變量的積分第十一章廣義積分與含參變量的積分1定積分條件積分區(qū)間有限被積函數(shù)有界推廣定積分積分區(qū)間無限被積函數(shù)無界定積分條件積分區(qū)間有限被積函數(shù)有界推廣定積分積分區(qū)間無限被積2abxy0y=f(x)abxy0y=f(x)31Axy01Axy04§1廣義積分1.無窮積分(1)定義a：設(shè)函數(shù)f(x)在[a,+∞)上有定義，且對任意A>a,f(x)在[a,A]上可積。若存在，則稱無窮積分收斂，并定義否則稱無窮積分發(fā)散。§1廣義積分1.無窮積分5例1.解:=1xy0y=e–x1例1.解:=1xy0y=e–x16例2.解:考慮1bxy0例2.解:考慮1bxy07例3.使兩個帶電粒子從初始距離a分開到距離b所需能量由給出,其中q1,q2是電荷的數(shù)量,k為常數(shù).若q1,q2的單位為庫侖(C),a,b是米(m),E的單位為焦耳(J).k=9109.一個氫原子由一個質(zhì)子和一個電子組成,它們帶有數(shù)值為1.610–19

C的相反電荷.求使氫原子激發(fā)(即使電子從其軌道移動到離質(zhì)子無窮遠(yuǎn)處)的能量.假設(shè)電子和質(zhì)子之間的初始距離為玻爾半徑RB=5.310–11m.例3.使兩個帶電粒子從初始距離a分開到距離b所需能量由給8解:因?yàn)橛沙跏季嚯xRB移動到最終距離的能量由廣義積分表示為解:因?yàn)橛沙跏季嚯xRB移動到最終距離的能量由廣義積分表9代入使用的單位(E的單位為J),有這是移動一個微塵粒離開地面0.00000001cm所需能量的量值,(換句話說不很大!)比較一下,移動彼此相距無窮遠(yuǎn)的兩個相同符號的1C的電荷到相距1m以內(nèi)所需要的能量大約等于使100萬頭大象離開地面15cm所需要的能量.代入使用的單位(E的單位為J),有這是移動一個微塵粒離開地10廣義積分被用作分離氫原子所需能量的模型是因?yàn)橥ㄟ^無窮大的距離與通過很大的有限距離分離電子和質(zhì)子所需能量之間的差是可以忽略不計的.而廣義積分可以在不知道最終距離的情況下計算出來.廣義積分被用作分離氫原子所需能量的模型是因?yàn)橥ㄟ^無窮大的距離11§1廣義積分1.無窮積分(1)定義b:設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,b]上有定義，且對任意A<b,f(x)在[A,b]上可積。若存在，則稱無窮積分收斂，并定義否則稱無窮積分發(fā)散?！?廣義積分1.無窮積分12§1廣義積分1.無窮積分(1)定義c:設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上有定義，且在任意區(qū)間[a,b]上可積。若與同時存在，則稱無窮積分收斂，并定義否則稱無窮積分發(fā)散?！?廣義積分1.無窮積分13例4.確定指數(shù)p的值,使積分收斂或發(fā)散.解：對p1,若–p+1<0，即p>1則積分收斂,若p<1則積分發(fā)散.若p=1時又怎么樣呢？在這種情況下我們有發(fā)散例4.確定指數(shù)p的值,使積分收斂或發(fā)散.解：對p14我們得出結(jié)論:當(dāng)p1時,發(fā)散,當(dāng)p>1時積分有值我們得出結(jié)論:發(fā)散,當(dāng)p>1時積分有值151.無窮積分(2)無窮積分的性質(zhì)若兩個無窮積分與都收斂，則無窮積分也收斂，且其中k1,k2為常數(shù)。1.無窮積分(2)無窮積分的性質(zhì)161.無窮積分(3)無窮積分收斂的充要條件柯西收斂原理:無窮積分收斂的充要條件是:任給ε>0,存在正數(shù)A0>a,只要A>A0,A’>A0,便有1.無窮積分(3)無窮積分收斂的充要條件17例.

判斷解:由于例.判斷解:由于181.無窮積分(4)無窮積分絕對收斂與條件收斂的定義若收斂，則稱絕對收斂；若收斂，但發(fā)散，則稱

條件收斂。命題:若收斂,則也收斂。1.無窮積分(4)無窮積分絕對收斂與條件收斂的定義19xy0y=f(x)若積分則稱f(x)在[a,+)上的積分絕對收斂；若積分則稱f(x)在[a,+)上的積分條件收斂.xy0y=f(x)若積分則稱f(x)在[a,+)上201.無窮積分(4)無窮積分絕對收斂與條件收斂的定義命題:若收斂,則也收斂。1.無窮積分(4)無窮積分絕對收斂與條件收斂的定義21(5)無窮積分收斂的判別法無窮積分收斂的充要條件引理：若f(x)是[a,+∞)上的非負(fù)可積函數(shù)，則收斂的充要條件是：對一切A≥a，積分有界。(5)無窮積分收斂的判別法無窮積分收斂的充要條件22高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分23高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分24(5)無窮積分收斂的判別法定理1（比較判別法）:設(shè)f(x)與g(x)在[a,+∞)上有定義，且當(dāng)x≥X≥a時有0≤f(x)≤g(x).又設(shè)f(x)與g(x)在任一區(qū)間[a,b]上可積，則(1)由收斂可推出也收斂；(2)由發(fā)散可推出也發(fā)散。(5)無窮積分收斂的判別法定理1（比較判別法）:設(shè)f(x)與25高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分26xy0y=g(x)ay=f(x)xy0y=g(x)ay=f(x)27例5.

判斷解：由于而由例4知收斂,故由定理1知原積分收斂.有時運(yùn)用下面比較判別法的極限形式更為方便.例5.判斷解：由于而由例4知收斂,故由定理1知原積分28例.

因?yàn)?/p>

例.因?yàn)?9(5)無窮積分收斂的判別法推論（比較判別法的極限形式）:設(shè)當(dāng)x≥a

時，f(x)≥0，g(x)≥0，它們在任意區(qū)間[a,b]上都可積，且則有以下結(jié)論：(1)當(dāng)0≤k<+∞時,若收斂則收斂；(2)當(dāng)0<k≤+∞時,若發(fā)散則發(fā)散。當(dāng)0<k<+∞時,兩無窮級數(shù)同時收斂或同時發(fā)散。(5)無窮積分收斂的判別法推論（比較判別法的極限形式）:設(shè)當(dāng)30高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分31高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分32例6.

判斷解:由于故由定理2知原積分收斂.例6.判斷解:由于故由定理2知原積分收斂.33例7.

判別xy02345例7.判別xy0234534解:由于又而收斂,因此原積分絕對收斂.解:由于又而收斂,因此原積分絕對收斂.35例.

判斷解:由于例.判斷解:由于36例.

判斷解:由于例.判斷解:由于37例.

判斷解:例.判斷解:38(5)無窮積分收斂的判別法定理2(狄利克萊判別法):設(shè)f(x)與g(x)在[a,+∞)上有定義，并考慮無窮積分設(shè)對一切A≥a，積分有界，即存在常數(shù)M>0使又設(shè)函數(shù)g(x)在[a,+∞)上單調(diào)且趨于零(當(dāng)x→+∞時)，則上述無窮積分收斂。(5)無窮積分收斂的判別法定理2(狄利克萊判別法):設(shè)f(x39(5)無窮積分收斂的判別法定理3(阿貝爾判別法):設(shè)f(x)與g(x)在[a,+∞)上有定義，并考慮無窮積分若無窮積分收斂，且函數(shù)g(x)在[a,+∞)

上單調(diào)有界，則無窮積分收斂。(5)無窮積分收斂的判別法定理3(阿貝爾判別法):設(shè)f(x40高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分41證明:由于又由狄利克萊判別法可知,證明:由于又由狄利克萊判別法可知,42證明:證明:43例.

判斷解:由于例.判斷解:由于44有另一種形式的廣義積分,積分區(qū)間可能是有限的但函數(shù)可能在區(qū)間的某些點(diǎn)無界.比如,考察在x=0有一垂直的漸近線,在曲線、x軸和直線x=0與x=1之間的區(qū)域是無界的.xy與前面的廣義積分在水平方向趨于無窮大不同,這一區(qū)域在垂直方向趨向于無窮大.2.瑕積分有另一種形式的廣義積分,積分區(qū)間可能是有限的但函數(shù)可能在區(qū)45x1x1a現(xiàn)在令a0我們可以像前面一樣以相同的方式討論這個廣義積分:對比0稍大的a值計算并看一看a從正的方向趨于0(記為a0+)時出現(xiàn)什么情況.x1x1a現(xiàn)在令a0我們可以像前面一樣以相同的方式討論這個46首先我們計算積分現(xiàn)在求極限:由于極限是有限的,我們說廣義積分收斂,并且首先我們計算積分現(xiàn)在求極限:由于極限是有限的,我們說廣義積47從幾何意義上來說,我們已經(jīng)計算出x=a和x=1之間的有限面積并得到a從右邊趨于0時的極限.因?yàn)闃O限存在,我們說積分收斂于2,如果積分不存在,我們就說廣義積分發(fā)散.x1x1a現(xiàn)在令a0從幾何意義上來說,我們已經(jīng)計算出x=a和x=1之間的有限面積48若>0,函數(shù)f(x)在?(x0,)內(nèi)無界,則稱點(diǎn)x0為f(x)的一個瑕點(diǎn).例如:x=a是若>0,函數(shù)f(x)在?(x0,)內(nèi)無界,492.瑕積分(1)定義a：設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b]上有定義，且f(x)在任意區(qū)間[a+ε,b]上可積,但x→a+0時f(x)無界，我們稱a為瑕點(diǎn)。若極限存在，則稱瑕積分收斂，并定義否則稱瑕積分發(fā)散。2.瑕積分(1)定義a：設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b]上有定義502.瑕積分(1)定義b：設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b)上有定義，且f(x)在任意區(qū)間[a,b-ε]上可積,但x→b-0時f(x)無界，我們稱b為瑕點(diǎn)。若極限存在，則稱瑕積分收斂，并定義否則稱瑕積分發(fā)散。2.瑕積分(1)定義b：設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b)上有定義51解：當(dāng)p0時,所求積分為通常的定積分,且易求得積分值為a為其積分的瑕點(diǎn),且例1.解：當(dāng)p0時,所求積分為通常的定積分,且易求得積分52當(dāng)p=1時,a為瑕點(diǎn),且當(dāng)p=1時,a為瑕點(diǎn),且53當(dāng)p>1時,當(dāng)p>1時,54高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分552.瑕積分(1)定義c：設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)上有定義，且f(x)在任意區(qū)間[a+ε,b-ε]上可積,a與b均為f(x)的瑕點(diǎn)。若極限與都存在，則稱瑕積分收斂，并定義若上述兩個極限中至少有一個極限不存在，就稱瑕積分發(fā)散。2.瑕積分(1)定義c：設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)上有定義56例2.–12xy例2.–12xy57解:有麻煩的點(diǎn)是x=0,而不是x=–1或x=2.為處理這一情況,我們將給定廣義積分分為兩個新的以x=0為其一個端點(diǎn)的廣義積分:–12xy解:有麻煩的點(diǎn)是x=0,而不是x=–1或x=2.為58假如積分收斂,我們現(xiàn)在能夠運(yùn)用前述的技巧來計算新的積分.在這個例子中,兩個積分都發(fā)散,因?yàn)橐虼?原積分發(fā)散.假如積分收斂,我們現(xiàn)在能夠運(yùn)用前述的技巧來計算新的積分.59很容易忽略因?yàn)楸环e函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部趨于無窮大而使積分為廣義積分的情況.比如,說就是一個嚴(yán)重的錯誤.–12xy很容易忽略因?yàn)楸环e函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部趨于無窮大而使積分為廣義積分60高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分612.瑕積分(2)瑕積分收斂的充要條件柯西收斂原理:以a為瑕點(diǎn)的瑕積分收斂的充要條件是:任給ε>0,存在δ>0,只要0<δ1<δ,0<δ2<δ,便有2.瑕積分(2)瑕積分收斂的充要條件622.瑕積分(3)瑕積分的絕對收斂與條件收斂若瑕積分收斂，則稱瑕積分絕對收斂；若瑕積分收斂，但瑕積分發(fā)散，則稱瑕積分條件收斂。命題:若瑕積分收斂,則也收斂。2.瑕積分(3)瑕積分的絕對收斂與條件收斂632.瑕積分收斂的判別法定理4（比較判別法）:設(shè)f(x)與g(x)在(a,b]上有定義，且a是它們的瑕點(diǎn)。設(shè)當(dāng)x∈(a,c)屬于(a,b)時有0≤f(x)≤g(x)，則(1)由收斂可推出也收斂；(2)由發(fā)散可推出也發(fā)散。2.瑕積分收斂的判別法定理4（比較判別法）:設(shè)f(x)與g642.瑕積分收斂的判別法推論（比較判別法的極限形式）:若f(x)與g(x)在(a,b]有定義，且f(x)≥0，g(x)≥0，并有則(1)當(dāng)0≤k<+∞時,若瑕積分收斂則收斂；(2)當(dāng)0<k≤+∞時,若瑕積分發(fā)散則發(fā)散。當(dāng)0<k<+∞時,兩瑕積分同時收斂或同時發(fā)散。2.瑕積分收斂的判別法推論（比較判別法的極限形式）:若f(65例3.判別積分的斂散性,若其收斂并求其值.解:易知x=0為函數(shù)lnsinx在[0,/2]上的唯一瑕點(diǎn),故積分a)及b)均收斂.

又因?yàn)槔?.判別積分的斂散性,若其收斂并求其值.解:易知66另外,作代換從而做變換t=2x另外,作代換從而做變換t=2x67高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分68高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分69高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分70高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分712.瑕積分收斂的判別法定理(狄利克萊判別法):設(shè)積分有唯一的瑕點(diǎn)a,是η的有界函數(shù)，g(x)單調(diào)且當(dāng)x→a時趨于零，則積分收斂。2.瑕積分收斂的判別法定理(狄利克萊判別法):設(shè)積分722.瑕積分收斂的判別法定理(阿貝爾判別法):設(shè)積分有唯一的瑕點(diǎn)a,收斂，g(x)單調(diào)有界，則積分收斂。2.瑕積分收斂的判別法定理(阿貝爾判別法):設(shè)積分73解:

例.解:例.74解:

例.解:例.75解:

例.發(fā)散解:例.發(fā)散76解:

例.解:例.77的斂散性.解:考慮到例4.的斂散性.解:考慮到例4.78且當(dāng)s–1<0時,x=0為其瑕點(diǎn),故該積分為混合型廣義積分,進(jìn)一步有2)當(dāng)0<s<1時,由于且當(dāng)s–1<0時,x=0為其瑕點(diǎn),故該積分為混合793)當(dāng)s>0時,有3)當(dāng)s>0時,有80§2含參變量的正常積分含參變量的積分設(shè)u=f(x,y)是[a,b]×[c,d]上的一個連續(xù)函數(shù)，對任意的y∈[c,d],y到積分值的對應(yīng)形成了[c,d]上的一個函數(shù)?！?含參變量的正常積分含參變量的積分81§2含參變量的正常積分1.連續(xù)性定理1：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在閉矩形域[a,b]×[c,d]上連續(xù)，則參變量積分在區(qū)間[c,d]上連續(xù)。即對任意的y0∈[c,d],有§2含參變量的正常積分1.連續(xù)性82解:例.解:例.83解:例.下面的例子說明，被積函數(shù)的二元連續(xù)性是積分運(yùn)算和極限運(yùn)算可交換的充分條件。原因在于解:例.下面的例子說明，被積函數(shù)的二元連續(xù)性原因在于84§2含參變量的正常積分2.可積性定理2：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在閉矩形域[a,b]×[c,d]上連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間[c,d]上可積。且即§2含參變量的正常積分2.可積性85解:例.解:例.86§2含參變量的正常積分3.可微性定理3：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)

與fy(x,y)

都在閉矩形域[a,b]×[c,d]上連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間[c,d]上可微。且即§2含參變量的正常積分3.可微性87高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分88解:例.解:例.89解:例.解:例.90解:例.解:例.91§2含參變量的正常積分4.積分上下限是參變量的函數(shù)的情況考慮參變量積分若f(x,y)在[a,b]×[c,d]上連續(xù),u(y),v(y)在[c,d]上連續(xù),且值域包含于[a,b]之內(nèi),則g(y)在[c,d]上連續(xù)并可積。若f(x,y)及fy(x,y)在[a,b]×[c,d]上均連續(xù),u(y),v(y)在[c,d]上可導(dǎo)，且值域包含于[a,b]之內(nèi),則g(y)在[c,d]上可導(dǎo),并有§2含參變量的正常積分4.積分上下限是參變量的函數(shù)的情況92高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分93解:例4.解:例4.94§3含參變量的廣義積分1.含參變量的無窮積分(1)無窮積分點(diǎn)點(diǎn)收斂設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在a≤x<+∞,c≤y≤d上有定義。若對任意取定的一個y,無窮積分都收斂，則稱無窮積分在[c,d]上點(diǎn)點(diǎn)收斂?！?含參變量的廣義積分1.含參變量的無窮積分95(2)含參變量的無窮積分:(2)含參變量的無窮積分:96高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分97高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分98高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分99§3含參變量的廣義積分(2)含參變量的無窮積分在y=y0收斂，即指存在，記為

ε-N語言：對任意ε>0,存在N(依賴ε和

y0),當(dāng)A>N時，§3含參變量的廣義積分(2)含參變量的無窮積分100§3含參變量的廣義積分(3)含參變量無窮積分一致收斂定義：設(shè)無窮積分對于區(qū)間Y中的一切y都收斂(Y可以是開區(qū)間，閉區(qū)間，半開半閉區(qū)間或無窮區(qū)間)。若對任給ε>0，存在一個與y無關(guān)的實(shí)數(shù)N>a，使當(dāng)A>N時，對一切y∈Y，都有則稱含參變量的無窮積分在Y上一致收斂?！?含參變量的廣義積分(3)含參變量無窮積分一致收斂101§3含參變量的廣義積分(4)無窮積分一致收斂的幾何意義(5)無窮積分不一致收斂的充分條件命題：設(shè)含參變量的無窮積分在Y上點(diǎn)點(diǎn)收斂。若存在常數(shù)l>0,不論N多么大,總存在A>N及yA∈Y，使則無窮積分在Y上不一致收斂。§3含參變量的廣義積分(4)無窮積分一致收斂的幾何意義102解:例.解:例.103解:例.解:例.104解:例.解:例.105§3含參變量的廣義積分(5)無窮積分一致收斂的充要條件柯西收斂準(zhǔn)則:無窮積分在區(qū)間Y上一致收斂的充要條件是:對任給ε>0,存在與y無關(guān)的實(shí)數(shù)N，使當(dāng)A>N,A’>N時，對一切y∈Y,都有§3含參變量的廣義積分(5)無窮積分一致收斂的充要條件106(6)無窮積分一致收斂的M判別法定理1（比較判別法）:設(shè)當(dāng)

y∈Y時，對任意A>a,函數(shù)f(x,y)關(guān)于x在區(qū)間[a,A]上可積。又當(dāng)x≥a時，對一切y∈Y，有且無窮積分收斂，則含參變量積分在Y上一致收斂。(6)無窮積分一致收斂的M判別法定理1（比較判別法）:設(shè)當(dāng)107高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分108證明:例.證明:例.109(7)無窮積分一致收斂的狄利克萊判別法定理2(狄利克萊判別法)若函數(shù)f(x,y)與g(x,y)滿足：(1)當(dāng)x充分大后g(x,y)是x的單調(diào)函數(shù)(y∈Y),且當(dāng)x→+∞時，對

y∈Y，g(x,y)一致趨于0;(2)對任意A>a，積分存在且對y∈Y一致有界，即存在常數(shù)M，使對任意A>a及一切

y∈Y，都有則含參變量無窮積分在Y上一致收斂。(7)無窮積分一致收斂的狄利克萊判別法定理2(狄利克萊判別法110(8)無窮積分一致收斂的阿貝爾判別法定理3(阿貝爾判別法):若函數(shù)f(x,y)與g(x,y)滿足：(1)當(dāng)x充分大后g(x,y)是x的單調(diào)函數(shù)(y∈Y),且對y∈Y一致有界，即存在常數(shù)M，使當(dāng)x∈[a,+∞)，y∈Y時，有(2)在Y上一致收斂。則含參變量無窮積分在Y上一致收斂。(8)無窮積分一致收斂的阿貝爾判別法定理3(阿貝爾判別法):111證明:例.證明:例.112(9)含參變量無窮積分的連續(xù)性和可積性定理4：設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域[a,+∞)×[c,d]上連續(xù)，且積分在[c,d]上一致收斂，則(1)g(y)在[c,d]上連續(xù)；(2)g(y)在[c,d]上可積，且(9)含參變量無窮積分的連續(xù)性和可積性定理4：設(shè)函數(shù)f(x,113例.例.114例.例.115(10)含參變量無窮積分的可微性定理5：設(shè)函數(shù)f(x,y)及

在區(qū)域[a,+∞)×[c,d]上連續(xù)，且積分在[c,d]上點(diǎn)點(diǎn)收斂。又設(shè)積分在[c,d]上一致收斂，則含參變量積分g(y)在[c,d]上可導(dǎo)，且(10)含參變量無窮積分的可微性定理5：設(shè)函數(shù)f(x,y)及116高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分117高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分118高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分119高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分120高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分121高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分122例.例.123(11)兩個累次無窮積分可交換積分次序的充分條件定理6：設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域[a,+∞)×[c,+∞)上連續(xù)。又設(shè)兩個參變量積分分別關(guān)于y及x在任意有窮區(qū)間[c,d]及[a,b]上一致收斂，并且兩積分中至少有一個存在，則兩積分都存在且相等，即亦即可交換積分次序。(11)兩個累次無窮積分可交換積分次序的充分條件定理6：設(shè)函124定理6‘：設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域[a,+∞)×[c,+∞)上二元連續(xù)。又分別關(guān)于y及x在任意有窮區(qū)間[c+ε,d]及[a+ε,b]上一致收斂，且中至少有一個存在，則(11)兩個累次無窮瑕積分可交換積分次序的充分條件定理6‘：設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域[a,+∞)×[c,+125例.例.126例.例.1272.含參變量的瑕積分(1)定義：設(shè)函數(shù)f(x,y)在(a,b]×Y(區(qū)間)上有定義，且在[a+ε,b]×Y上連續(xù),這里ε是任意充分小的數(shù)。此外對任意固定的y∈Y，f(x,y)作為x的函數(shù)在x=a點(diǎn)附近無界，即a為瑕點(diǎn)。則稱是一個以a為瑕點(diǎn)的含參變量的瑕積分。2.含參變量的瑕積分(1)定義：設(shè)函數(shù)f(x,y)在(a,1282.含參變量的瑕積分(2)一致收斂的定義定義：設(shè)含參變量的瑕積分在Y上點(diǎn)點(diǎn)收斂。若對任給ε>0，存在與y無關(guān)的正數(shù)δ0，使得當(dāng)0<δ<δ0時，對一切y∈Y，都有則稱該含參變量的瑕積分在Y上一致收斂。2.含參變量的瑕積分(2)一致收斂的定義1292.含參變量的瑕積分(3)一致收斂的充要條件柯西收斂原理:以a為瑕點(diǎn)的瑕積分一致收斂的充要條件是:任給ε>0,存在與y無關(guān)的δ>0,只要0<δ1<δ,0<δ2<δ,對一切y∈Y，都有2.含參變量的瑕積分(3)一致收斂的充要條件130(4)含參變量的瑕積分一致收斂的M判別法定理7:設(shè)函數(shù)f(x,y)在(a,b]×Y(區(qū)間)上連續(xù)，且對于任意的y∈Y，f(x,y)以a為瑕點(diǎn)。又設(shè)f(x,y)在(a,b]×Y上滿足下列條件：其中g(shù)(x)是定義在(a,b]上的連續(xù)函數(shù),且使得瑕積分收斂，則瑕積分在Y上一致收斂。(4)含參變量的瑕積分一致收斂的M判別法定理7:設(shè)函數(shù)f(x1312.含參變量的瑕積分(5)含參變量的瑕積分收斂的狄利克萊判別法(6)含參變量的瑕積分收斂的阿貝爾判別法(7)含參變量的瑕積分的連續(xù)性和可積性定理8:設(shè)函數(shù)f(x,y)在(a,b]×[c,d]連續(xù)，且含參變量的瑕積分在[c,d]上一致連續(xù)，則(1)

g(y)在區(qū)間[c,d]上連續(xù)；(2)

g(y)在[c,d]上可積，且2.含參變量的瑕積分(5)含參變量的瑕積分收斂的狄利克萊判別1322.含參變量的瑕積分(8)含參變量的瑕積分的可導(dǎo)性定理9：設(shè)函數(shù)f(x,y)

與fy(x,y)

都在區(qū)域(a,b]×[c,d]上連續(xù)，瑕積分在區(qū)間[c,d]上點(diǎn)點(diǎn)收斂，而瑕積分在[c,d]上一致收斂，則含參變量的瑕積分g(y)在[c,d]上可導(dǎo)，且2.含參變量的瑕積分(8)含參變量的瑕積分的可導(dǎo)性133高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分134高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分135高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分136高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分1373.Γ函數(shù)與Β函數(shù)(1)Γ函數(shù)是一個無窮瑕積分(當(dāng)α<1時，x=0是瑕點(diǎn))。當(dāng)α>0時，積分收斂。3.Γ函數(shù)與Β函數(shù)(1)Γ函數(shù)138高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分1393.Γ函數(shù)與Β函數(shù)(2)Γ函數(shù)的性質(zhì)3.Γ函數(shù)與Β函數(shù)(2)Γ函數(shù)的性質(zhì)140高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分1413.Γ函數(shù)與Β函數(shù)(3)Γ(α)在(0,+∞)連續(xù)；3.Γ函數(shù)與Β函數(shù)(3)Γ(α)在(0,+∞)連續(xù)；142高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分143高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分1443.Γ函數(shù)與Β函數(shù)(4)

Β函數(shù)當(dāng)p≥1,q≥1是正常積分；當(dāng)p<1,x=0是瑕點(diǎn)；當(dāng)q<1,x=1是瑕點(diǎn)。當(dāng)p>0且q>0時，

積分收斂。3.Γ函數(shù)與Β函數(shù)(4)Β函數(shù)145高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分146當(dāng)p>0且q>0時，

積分收斂。當(dāng)p≥1,q≥1是正常積分；當(dāng)0<p<1,x=0是瑕點(diǎn)；當(dāng)0<q<1,x=1是瑕點(diǎn).當(dāng)0<p<1時當(dāng)p>0且q>0時，當(dāng)p≥1,q≥1是正常積分；當(dāng)0<p<1147當(dāng)p>0且q>0時，

積分收斂。當(dāng)p≥1,q≥1是正常積分；當(dāng)0<p<1,x=0是瑕點(diǎn)；當(dāng)0<q<1,x=1是瑕點(diǎn).當(dāng)0<q<1時當(dāng)p>0且q>0時，當(dāng)p≥1,q≥1是正常積分；當(dāng)0<q<11483.Γ函數(shù)與Β函數(shù)(5)Β函數(shù)的性質(zhì)3.Γ函數(shù)與Β函數(shù)(5)Β函數(shù)的性質(zhì)1493.Γ函數(shù)與Β函數(shù)(5)Β函數(shù)的性質(zhì)3.Γ函數(shù)與Β函數(shù)(5)Β函數(shù)的性質(zhì)150(5)Β函數(shù)的性質(zhì)3.Γ函數(shù)與Β函數(shù)(5)Β函數(shù)的性質(zhì)3.Γ函數(shù)與Β函數(shù)151(5)Β函數(shù)的性質(zhì)3.Γ函數(shù)與Β函數(shù)(5)Β函數(shù)的性質(zhì)3.Γ函數(shù)與Β函數(shù)152(5)Β函數(shù)的性質(zhì)3.Γ函數(shù)與Β函數(shù)(5)Β函數(shù)的性質(zhì)3.Γ函數(shù)與Β函數(shù)153(5)Β函數(shù)的性質(zhì)3.Γ函數(shù)與Β函數(shù)(5)Β函數(shù)的性質(zhì)3.Γ函數(shù)與Β函數(shù)154(5)Β函數(shù)的性質(zhì)3.Γ函數(shù)與Β函數(shù)(5)Β函數(shù)的性質(zhì)3.Γ函數(shù)與Β函數(shù)155(5)Β函數(shù)的性質(zhì)3.Γ函數(shù)與Β函數(shù)(5)Β函數(shù)的性質(zhì)3.Γ函數(shù)與Β函數(shù)1563.Γ函數(shù)與Β函數(shù)(5)Β函數(shù)的性質(zhì)3.Γ函數(shù)與Β函數(shù)(5)Β函數(shù)的性質(zhì)1573.Γ函數(shù)與Β函數(shù)(5)Β函數(shù)的性質(zhì)3.Γ函數(shù)與Β函數(shù)(5)Β函數(shù)的性質(zhì)1583.Γ函數(shù)與Β函數(shù)(6)Β函數(shù)在(0,+∞)×(0,+∞)上連續(xù)。3.Γ函數(shù)與Β函數(shù)(6)Β函數(shù)在(0,+∞)×(0,159例.例.160例.例.161例.例.162第十一章廣義積分與含參變量的積分第十一章廣義積分與含參變量的積分163定積分條件積分區(qū)間有限被積函數(shù)有界推廣定積分積分區(qū)間無限被積函數(shù)無界定積分條件積分區(qū)間有限被積函數(shù)有界推廣定積分積分區(qū)間無限被積164abxy0y=f(x)abxy0y=f(x)1651Axy01Axy0166§1廣義積分1.無窮積分(1)定義a：設(shè)函數(shù)f(x)在[a,+∞)上有定義，且對任意A>a,f(x)在[a,A]上可積。若存在，則稱無窮積分收斂，并定義否則稱無窮積分發(fā)散?！?廣義積分1.無窮積分167例1.解:=1xy0y=e–x1例1.解:=1xy0y=e–x1168例2.解:考慮1bxy0例2.解:考慮1bxy0169例3.使兩個帶電粒子從初始距離a分開到距離b所需能量由給出,其中q1,q2是電荷的數(shù)量,k為常數(shù).若q1,q2的單位為庫侖(C),a,b是米(m),E的單位為焦耳(J).k=9109.一個氫原子由一個質(zhì)子和一個電子組成,它們帶有數(shù)值為1.610–19

C的相反電荷.求使氫原子激發(fā)(即使電子從其軌道移動到離質(zhì)子無窮遠(yuǎn)處)的能量.假設(shè)電子和質(zhì)子之間的初始距離為玻爾半徑RB=5.310–11m.例3.使兩個帶電粒子從初始距離a分開到距離b所需能量由給170解:因?yàn)橛沙跏季嚯xRB移動到最終距離的能量由廣義積分表示為解:因?yàn)橛沙跏季嚯xRB移動到最終距離的能量由廣義積分表171代入使用的單位(E的單位為J),有這是移動一個微塵粒離開地面0.00000001cm所需能量的量值,(換句話說不很大!)比較一下,移動彼此相距無窮遠(yuǎn)的兩個相同符號的1C的電荷到相距1m以內(nèi)所需要的能量大約等于使100萬頭大象離開地面15cm所需要的能量.代入使用的單位(E的單位為J),有這是移動一個微塵粒離開地172廣義積分被用作分離氫原子所需能量的模型是因?yàn)橥ㄟ^無窮大的距離與通過很大的有限距離分離電子和質(zhì)子所需能量之間的差是可以忽略不計的.而廣義積分可以在不知道最終距離的情況下計算出來.廣義積分被用作分離氫原子所需能量的模型是因?yàn)橥ㄟ^無窮大的距離173§1廣義積分1.無窮積分(1)定義b:設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,b]上有定義，且對任意A<b,f(x)在[A,b]上可積。若存在，則稱無窮積分收斂，并定義否則稱無窮積分發(fā)散。§1廣義積分1.無窮積分174§1廣義積分1.無窮積分(1)定義c:設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上有定義，且在任意區(qū)間[a,b]上可積。若與同時存在，則稱無窮積分收斂，并定義否則稱無窮積分發(fā)散?！?廣義積分1.無窮積分175例4.確定指數(shù)p的值,使積分收斂或發(fā)散.解：對p1,若–p+1<0，即p>1則積分收斂,若p<1則積分發(fā)散.若p=1時又怎么樣呢？在這種情況下我們有發(fā)散例4.確定指數(shù)p的值,使積分收斂或發(fā)散.解：對p176我們得出結(jié)論:當(dāng)p1時,發(fā)散,當(dāng)p>1時積分有值我們得出結(jié)論:發(fā)散,當(dāng)p>1時積分有值1771.無窮積分(2)無窮積分的性質(zhì)若兩個無窮積分與都收斂，則無窮積分也收斂，且其中k1,k2為常數(shù)。1.無窮積分(2)無窮積分的性質(zhì)1781.無窮積分(3)無窮積分收斂的充要條件柯西收斂原理:無窮積分收斂的充要條件是:任給ε>0,存在正數(shù)A0>a,只要A>A0,A’>A0,便有1.無窮積分(3)無窮積分收斂的充要條件179例.

判斷解:由于例.判斷解:由于1801.無窮積分(4)無窮積分絕對收斂與條件收斂的定義若收斂，則稱絕對收斂；若收斂，但發(fā)散，則稱

條件收斂。命題:若收斂,則也收斂。1.無窮積分(4)無窮積分絕對收斂與條件收斂的定義181xy0y=f(x)若積分則稱f(x)在[a,+)上的積分絕對收斂；若積分則稱f(x)在[a,+)上的積分條件收斂.xy0y=f(x)若積分則稱f(x)在[a,+)上1821.無窮積分(4)無窮積分絕對收斂與條件收斂的定義命題:若收斂,則也收斂。1.無窮積分(4)無窮積分絕對收斂與條件收斂的定義183(5)無窮積分收斂的判別法無窮積分收斂的充要條件引理：若f(x)是[a,+∞)上的非負(fù)可積函數(shù)，則收斂的充要條件是：對一切A≥a，積分有界。(5)無窮積分收斂的判別法無窮積分收斂的充要條件184高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分185高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分186(5)無窮積分收斂的判別法定理1（比較判別法）:設(shè)f(x)與g(x)在[a,+∞)上有定義，且當(dāng)x≥X≥a時有0≤f(x)≤g(x).又設(shè)f(x)與g(x)在任一區(qū)間[a,b]上可積，則(1)由收斂可推出也收斂；(2)由發(fā)散可推出也發(fā)散。(5)無窮積分收斂的判別法定理1（比較判別法）:設(shè)f(x)與187高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分188xy0y=g(x)ay=f(x)xy0y=g(x)ay=f(x)189例5.

判斷解：由于而由例4知收斂,故由定理1知原積分收斂.有時運(yùn)用下面比較判別法的極限形式更為方便.例5.判斷解：由于而由例4知收斂,故由定理1知原積分190例.

因?yàn)?/p>

例.因?yàn)?91(5)無窮積分收斂的判別法推論（比較判別法的極限形式）:設(shè)當(dāng)x≥a

時，f(x)≥0，g(x)≥0，它們在任意區(qū)間[a,b]上都可積，且則有以下結(jié)論：(1)當(dāng)0≤k<+∞時,若收斂則收斂；(2)當(dāng)0<k≤+∞時,若發(fā)散則發(fā)散。當(dāng)0<k<+∞時,兩無窮級數(shù)同時收斂或同時發(fā)散。(5)無窮積分收斂的判別法推論（比較判別法的極限形式）:設(shè)當(dāng)192高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分193高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分194例6.

判斷解:由于故由定理2知原積分收斂.例6.判斷解:由于故由定理2知原積分收斂.195例7.

判別xy02345例7.判別xy02345196解:由于又而收斂,因此原積分絕對收斂.解:由于又而收斂,因此原積分絕對收斂.197例.

判斷解:由于例.判斷解:由于198例.

判斷解:由于例.判斷解:由于199例.

判斷解:例.判斷解:200(5)無窮積分收斂的判別法定理2(狄利克萊判別法):設(shè)f(x)與g(x)在[a,+∞)上有定義，并考慮無窮積分設(shè)對一切A≥a，積分有界，即存在常數(shù)M>0使又設(shè)函數(shù)g(x)在[a,+∞)上單調(diào)且趨于零(當(dāng)x→+∞時)，則上述無窮積分收斂。(5)無窮積分收斂的判別法定理2(狄利克萊判別法):設(shè)f(x201(5)無窮積分收斂的判別法定理3(阿貝爾判別法):設(shè)f(x)與g(x)在[a,+∞)上有定義，并考慮無窮積分若無窮積分收斂，且函數(shù)g(x)在[a,+∞)

上單調(diào)有界，則無窮積分收斂。(5)無窮積分收斂的判別法定理3(阿貝爾判別法):設(shè)f(x202高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分203證明:由于又由狄利克萊判別法可知,證明:由于又由狄利克萊判別法可知,204證明:證明:205例.

判斷解:由于例.判斷解:由于206有另一種形式的廣義積分,積分區(qū)間可能是有限的但函數(shù)可能在區(qū)間的某些點(diǎn)無界.比如,考察在x=0有一垂直的漸近線,在曲線、x軸和直線x=0與x=1之間的區(qū)域是無界的.xy與前面的廣義積分在水平方向趨于無窮大不同,這一區(qū)域在垂直方向趨向于無窮大.2.瑕積分有另一種形式的廣義積分,積分區(qū)間可能是有限的但函數(shù)可能在區(qū)207x1x1a現(xiàn)在令a0我們可以像前面一樣以相同的方式討論這個廣義積分:對比0稍大的a值計算并看一看a從正的方向趨于0(記為a0+)時出現(xiàn)什么情況.x1x1a現(xiàn)在令a0我們可以像前面一樣以相同的方式討論這個208首先我們計算積分現(xiàn)在求極限:由于極限是有限的,我們說廣義積分收斂,并且首先我們計算積分現(xiàn)在求極限:由于極限是有限的,我們說廣義積209從幾何意義上來說,我們已經(jīng)計算出x=a和x=1之間的有限面積并得到a從右邊趨于0時的極限.因?yàn)闃O限存在,我們說積分收斂于2,如果積分不存在,我們就說廣義積分發(fā)散.x1x1a現(xiàn)在令a0從幾何意義上來說,我們已經(jīng)計算出x=a和x=1之間的有限面積210若>0,函數(shù)f(x)在?(x0,)內(nèi)無界,則稱點(diǎn)x0為f(x)的一個瑕點(diǎn).例如:x=a是若>0,函數(shù)f(x)在?(x0,)內(nèi)無界,2112.瑕積分(1)定義a：設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b]上有定義，且f(x)在任意區(qū)間[a+ε,b]上可積,但x→a+0時f(x)無界，我們稱a為瑕點(diǎn)。若極限存在，則稱瑕積分收斂，并定義否則稱瑕積分發(fā)散。2.瑕積分(1)定義a：設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b]上有定義2122.瑕積分(1)定義b：設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b)上有定義，且f(x)在任意區(qū)間[a,b-ε]上可積,但x→b-0時f(x)無界，我們稱b為瑕點(diǎn)。若極限存在，則稱瑕積分收斂，并定義否則稱瑕積分發(fā)散。2.瑕積分(1)定義b：設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b)上有定義213解：當(dāng)p0時,所求積分為通常的定積分,且易求得積分值為a為其積分的瑕點(diǎn),且例1.解：當(dāng)p0時,所求積分為通常的定積分,且易求得積分214當(dāng)p=1時,a為瑕點(diǎn),且當(dāng)p=1時,a為瑕點(diǎn),且215當(dāng)p>1時,當(dāng)p>1時,216高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分2172.瑕積分(1)定義c：設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)上有定義，且f(x)在任意區(qū)間[a+ε,b-ε]上可積,a與b均為f(x)的瑕點(diǎn)。若極限與都存在，則稱瑕積分收斂，并定義若上述兩個極限中至少有一個極限不存在，就稱瑕積分發(fā)散。2.瑕積分(1)定義c：設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)上有定義218例2.–12xy例2.–12xy219解:有麻煩的點(diǎn)是x=0,而不是x=–1或x=2.為處理這一情況,我們將給定廣義積分分為兩個新的以x=0為其一個端點(diǎn)的廣義積分:–12xy解:有麻煩的點(diǎn)是x=0,而不是x=–1或x=2.為220假如積分收斂,我們現(xiàn)在能夠運(yùn)用前述的技巧來計算新的積分.在這個例子中,兩個積分都發(fā)散,因?yàn)橐虼?原積分發(fā)散.假如積分收斂,我們現(xiàn)在能夠運(yùn)用前述的技巧來計算新的積分.221很容易忽略因?yàn)楸环e函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部趨于無窮大而使積分為廣義積分的情況.比如,說就是一個嚴(yán)重的錯誤.–12xy很容易忽略因?yàn)楸环e函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部趨于無窮大而使積分為廣義積分222高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分2232.瑕積分(2)瑕積分收斂的充要條件柯西收斂原理:以a為瑕點(diǎn)的瑕積分收斂的充要條件是:任給ε>0,存在δ>0,只要0<δ1<δ,0<δ2<δ,便有2.瑕積分(2)瑕積分收斂的充要條件2242.瑕積分(3)瑕積分的絕對收斂與條件收斂若瑕積分收斂，則稱瑕積分絕對收斂；若瑕積分收斂，但瑕積分發(fā)散，則稱瑕積分條件收斂。命題:若瑕積分收斂,則也收斂。2.瑕積分(3)瑕積分的絕對收斂與條件收斂2252.瑕積分收斂的判別法定理4（比較判別法）:設(shè)f(x)與g(x)在(a,b]上有定義，且a是它們的瑕點(diǎn)。設(shè)當(dāng)x∈(a,c)屬于(a,b)時有0≤f(x)≤g(x)，則(1)由收斂可推出也收斂；(2)由發(fā)散可推出也發(fā)散。2.瑕積分收斂的判別法定理4（比較判別法）:設(shè)f(x)與g2262.瑕積分收斂的判別法推論（比較判別法的極限形式）:若f(x)與g(x)在(a,b]有定義，且f(x)≥0，g(x)≥0，并有則(1)當(dāng)0≤k<+∞時,若瑕積分收斂則收斂；(2)當(dāng)0<k≤+∞時,若瑕積分發(fā)散則發(fā)散。當(dāng)0<k<+∞時,兩瑕積分同時收斂或同時發(fā)散。2.瑕積分收斂的判別法推論（比較判別法的極限形式）:若f(227例3.判別積分的斂散性,若其收斂并求其值.解:易知x=0為函數(shù)lnsinx在[0,/2]上的唯一瑕點(diǎn),故積分a)及b)均收斂.

又因?yàn)槔?.判別積分的斂散性,若其收斂并求其值.解:易知228另外,作代換從而做變換t=2x另外,作代換從而做變換t=2x229高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分230高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分231高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分232高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分2332.瑕積分收斂的判別法定理(狄利克萊判別法):設(shè)積分有唯一的瑕點(diǎn)a,是η的有界函數(shù)，g(x)單調(diào)且當(dāng)x→a時趨于零，則積分收斂。2.瑕積分收斂的判別法定理(狄利克萊判別法):設(shè)積分2342.瑕積分收斂的判別法定理(阿貝爾判別法):設(shè)積分有唯一的瑕點(diǎn)a,收斂，g(x)單調(diào)有界，則積分收斂。2.瑕積分收斂的判別法定理(阿貝爾判別法):設(shè)積分235解:

例.解:例.236解:

例.解:例.237解:

例.發(fā)散解:例.發(fā)散238解:

例.解:例.239的斂散性.解:考慮到例4.的斂散性.解:考慮到例4.240且當(dāng)s–1<0時,x=0為其瑕點(diǎn),故該積分為混合型廣義積分,進(jìn)一步有2)當(dāng)0<s<1時,由于且當(dāng)s–1<0時,x=0為其瑕點(diǎn),故該積分為混合2413)當(dāng)s>0時,有3)當(dāng)s>0時,有242§2含參變量的正常積分含參變量的積分設(shè)u=f(x,y)是[a,b]×[c,d]上的一個連續(xù)函數(shù)，對任意的y∈[c,d],y到積分值的對應(yīng)形成了[c,d]上的一個函數(shù)?！?含參變量的正常積分含參變量的積分243§2含參變量的正常積分1.連續(xù)性定理1：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在閉矩形域[a,b]×[c,d]上連續(xù)，則參變量積分在區(qū)間[c,d]上連續(xù)。即對任意的y0∈[c,d],有§2含參變量的正常積分1.連續(xù)性244解:例.解:例.245解:例.下面的例子說明，被積函數(shù)的二元連續(xù)性是積分運(yùn)算和極限運(yùn)算可交換的充分條件。原因在于解:例.下面的例子說明，被積函數(shù)的二元連續(xù)性原因在于246§2含參變量的正常積分2.可積性定理2：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在閉矩形域[a,b]×[c,d]上連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間[c,d]上可積。且即§2含參變量的正常積分2.可積性247解:例.解:例.248§2含參變量的正常積分3.可微性定理3：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)

與fy(x,y)

都在閉矩形域[a,b]×[c,d]上連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間[c,d]上可微。且即§2含參變量的正常積分3.可微性249高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分250解:例.解:例.251解:例.解:例.252解:例.解:例.253§2含參變量的正常積分4.積分上下限是參變量的函數(shù)的情況考慮參變量積分若f(x,y)在[a,b]×[c,d]上連續(xù),u(y),v(y)在[c,d]上連續(xù),且值域包含于[a,b]之內(nèi),則g(y)在[c,d]上連續(xù)并可積。若f(x,y)及fy(x,y)在[a,b]×[c,d]上均連續(xù),u(y),v(y)在[c,d]上可導(dǎo)，且值域包含于[a,b]之內(nèi),則g(y)在[c,d]上可導(dǎo),并有§2含參變量的正常積分4.積分上下限是參變量的函數(shù)的情況254高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分255解:例4.解:例4.256§3含參變量的廣義積分1.含參變量的無窮積分(1)無窮積分點(diǎn)點(diǎn)收斂設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在a≤x<+∞,c≤y≤d上有定義。若對任意取定的一個y,無窮積分都收斂，則稱無窮積分在[c,d]上點(diǎn)點(diǎn)收斂?！?含參變量的廣義積分1.含參變量的無窮積分257(2)含參變量的無窮積分:(2)含參變量的無窮積分:258高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分259高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分260高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分261§3含參變量的廣義積分(2)含參變量的無窮積分在y=y0收斂，即指存在，記為

ε-N語言：對任意ε>0,存在N(依賴ε和

y0),當(dāng)A>N時，§3含參變量的廣義積分(2)含參變量的無窮積分262§3含參變量的廣義積分(3)含參變量無窮積分一致收斂定義：設(shè)無窮積分對于區(qū)間Y中的一切y都收斂(Y可以是開區(qū)間，閉區(qū)間，半開半閉區(qū)間或無窮區(qū)間)。若對任給ε>0，存在一個與y無關(guān)的實(shí)數(shù)N>a，使當(dāng)A>N時，對一切y∈Y，都有則稱含參變量的無窮積分在Y上一致收斂?！?含參變量的廣義積分(3)含參變量無窮積分一致收斂263§3含參變量的廣義積分(4)無窮積分一致收斂的幾何意義(5)無窮積分不一致收斂的充分條件命題：設(shè)含參變量的無窮積分在Y上點(diǎn)點(diǎn)收斂。若存在常數(shù)l>0,不論N多么大,總存在A>N及yA∈Y，使則無窮積分在Y上不一致收斂?！?含參變量的廣義積分(4)無窮積分一致收斂的幾何意義264解:例.解:例.265解:例.解:例.266解:例.解:例.267§3含參變量的廣義積分(5)無窮積分一致收斂的充要條件柯西收斂準(zhǔn)則:無窮積分在區(qū)間Y上一致收斂的充要條件是:對任給ε>0,存在與y無關(guān)的實(shí)數(shù)N，使當(dāng)A>N,A’>N時，對一切y∈Y,都有§3含參變量的廣義積分(5)無窮積分一致收斂的充要條件268(6)無窮積分一致收斂的M判別法定理1（比較判別法）:設(shè)當(dāng)

y∈Y時，對任意A>a,函數(shù)f(x,y)關(guān)于x在區(qū)間[a,A]上可積。又當(dāng)x≥a時，對一切y∈Y，有且無窮積分收斂，則含參變量積分在Y上一致收斂。(6)無窮積分一致收斂的M判別法定理1（比較判別法）:設(shè)當(dāng)269高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分270證明:例.證明:例.271(7)無窮積分一致收斂的狄利克萊判別法定理2(狄利克萊判別法)若函數(shù)f(x,y)與g(x,y)滿足：(1)當(dāng)x充分大后g(x,y)是x的單調(diào)函數(shù)(y∈Y),且當(dāng)x→+∞時，對

y∈Y，g(x,y)一致趨于0;(2)對任意A>a，積分存在且對y∈Y一致有界，即存在常數(shù)M，使對任意A>a及一切

y∈Y，都有則含參變量無窮積分在Y上一致收斂。(7)無窮積分一致收斂的狄利克萊判別法定理2(狄利克萊判別法272(8)無窮積分一致收斂的阿貝爾判別法定理3(阿貝爾判別法):若函數(shù)f(x,y)與g(x,y)滿足：(1)當(dāng)x充分大后g(x,y)是x的單調(diào)函數(shù)(y∈Y),且對y∈Y一致有界，即存在常數(shù)M，使當(dāng)x∈[a,+∞)，y∈Y時，有(2)在Y上一致收斂。則含參變量無窮積分在Y上一致收斂。(8)無窮積分一致收斂的阿貝爾判別法定理3(阿貝爾判別法):273證明:例.證明:例.274(9)含參變量無窮積分的連續(xù)性和可積性定理4：設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域[a,+∞)×[c,d]上連續(xù)，且積分在[c,d]上一致收斂，則(1)g(y)在[c,d]上連續(xù)；(2)g(y)在[c,d]上可積，且(9)含參變量無窮積分的連續(xù)性和可積性定理4：設(shè)函數(shù)f(x,275例.例.276例.例.277(10)含參變量無窮積分的可微性定理5：設(shè)函數(shù)f(x,y)及

在區(qū)域[a,+∞)×[c,d]上連續(xù)，且積分在[c,d]上點(diǎn)點(diǎn)收斂。又設(shè)積分在[c,d]上一致收斂，則含參變量積分g(y)在[c,d]上可導(dǎo)，且(10)含參變量無窮積分的可微性定理5：設(shè)函數(shù)f(x,y)及278高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分279高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分280高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分281高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分282高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分283高等數(shù)學(xué)課件-第十一章-廣義積分與含參變量的積分284例.例.285(11)兩個累次無窮積分可交換積分次序的充分條件定理6：設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域[a,+∞)×[c,+∞)上連續(xù)。又設(shè)兩個參變量積分分別關(guān)于y及x在任意有窮區(qū)間[c,d]及[a,b]上一致收斂，并且兩積分中至少有一個存在，則兩積分都存在且相等，即亦即可交換積分次序。(11)兩個累次無窮積分可交換積分次序的充分條件定理6：設(shè)函286定理6‘：設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域[a,+∞)×[c,+∞)上二元連續(xù)。又分別關(guān)于y