第四屆華杯賽決賽二試試題及答案

1.互反序的兩個(gè)自然數(shù)的積是92565，求這兩個(gè)互為反序的自然數(shù)(例如102和201；35和53，和11，?互為序的數(shù)，但120和21不是為反序的數(shù)2．某工廠(chǎng)的一個(gè)生產(chǎn)小組，生一批零件，當(dāng)每個(gè)工人在自己原崗位工作時(shí)9小時(shí)完成這項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)如果交換工作AB的工作崗位其工人生產(chǎn)效率不變時(shí)可提前一小時(shí)完成這項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)如果交換人和D工作崗位其工人生產(chǎn)效率不變時(shí)也可以提前一小時(shí)完成這項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)。問(wèn)：如果同時(shí)交換A與，的作崗位，其他工人生產(chǎn)效率不變，可以提前幾分鐘完成這項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)？3．某校學(xué)生中，沒(méi)有一個(gè)學(xué)生過(guò)學(xué)校圖書(shū)館的所有圖書(shū)，又知道圖書(shū)館內(nèi)任何兩本書(shū)至少被一個(gè)同學(xué)都讀過(guò)，問(wèn)：能不能找到兩個(gè)學(xué)生甲、乙和三本ABC，甲讀過(guò)AB，沒(méi)讀過(guò)C，乙讀過(guò)、，讀過(guò)A說(shuō)明判斷過(guò)程。4．有6個(gè)長(zhǎng)分別是3cm，4cm5cm相同的長(zhǎng)方體，把它們的某些面染上紅色，使得有的長(zhǎng)方體只有一個(gè)面是紅色的的長(zhǎng)方體恰有兩個(gè)面是紅色的的方體恰有三個(gè)面是紅色的，有的長(zhǎng)方體恰四面是紅色的，有的長(zhǎng)方體恰有五個(gè)面是紅色的，還有一個(gè)長(zhǎng)方體六個(gè)面都是紅色的色把所有的長(zhǎng)方體分割成棱長(zhǎng)為1cm的小正方體割完畢后，恰有一面是紅色的小正方體最多有幾個(gè)？5．小華玩某種游戲，每局可隨玩若干次，每次得分（自然數(shù)這個(gè)數(shù)中的一個(gè)局各次得分的總和叫做這局的總積分華曾得到過(guò)這樣的總積分105，106，107，108，，110，知道他不可能得到“83分這個(gè)總積分。問(wèn)a是少？6．在正方體的8個(gè)點(diǎn)處分別標(biāo)上，35678，然后再把每條棱兩端所標(biāo)的兩個(gè)數(shù)之和寫(xiě)在這條棱的中點(diǎn)棱中點(diǎn)所寫(xiě)的數(shù)是否可能恰有五種不同數(shù)值？各棱中點(diǎn)所寫(xiě)的數(shù)是否可能恰有四種不同數(shù)值？如果可能，對(duì)照?qǐng)D圖b的中填上正確的數(shù)字；如果不可能，說(shuō)明理由。參考答案1.這個(gè)數(shù)是165和5612.可前108分鐘3.可以找到滿(mǎn)足要求的兩個(gè)學(xué)生4.最多可得到177個(gè)一為紅色的小立方體5.A=136.各棱中點(diǎn)處所寫(xiě)的數(shù)恰有五種不同數(shù)值是可能的，填法不惟一，但不可能少于五種不同數(shù)值解＝3×3×5×11×11×17.互為反序的兩個(gè)自然數(shù)中中之一為3的數(shù)或11的倍數(shù)，一個(gè)也必為3的(或11的)又因乘積是五位數(shù)，所以這兩個(gè)數(shù)是三位數(shù)，我們有

92565＝(3×5×11)×(3×17×11)＝165×561于是,這兩個(gè)數(shù)為165和5612.【】把總?cè)蝿?wù)分成72份，來(lái)每小時(shí)完成＝份，份要＝7.5分鐘A與B交后每小時(shí)完成＝9份比原來(lái)多干了1，由于其他人工效不變，所以這一份就是A、B二多干的。同理，與D交后，他們二人每小時(shí)也要多干1份任務(wù)。同時(shí)更換,A與B、C與D每時(shí)都多干一份任務(wù)全工每小時(shí)干了＋＋＝10(任務(wù)份任務(wù)只要＝6(分鐘)就能干完每干1份務(wù)7.56＝1.5(鐘份務(wù)一共提前72×1.5＝108(分鐘)。3.【】首先從讀書(shū)數(shù)最多的學(xué)中找一人甲，由題設(shè)，甲至少有一本書(shū)C未過(guò)。設(shè)B是讀過(guò)的書(shū)中的一本，根據(jù)題設(shè)，可找到學(xué)生乙，乙讀過(guò)B、C。由于甲是讀書(shū)數(shù)最多的學(xué)生之一讀書(shū)數(shù)不能超過(guò)甲的讀書(shū)數(shù)而乙讀過(guò)C書(shū)甲未讀過(guò)C書(shū)，以甲一定讀過(guò)一本書(shū)A乙沒(méi)讀過(guò)書(shū)，否則乙就比甲至少多讀過(guò)一本書(shū)，這樣一來(lái)，甲讀過(guò)A、，讀過(guò)C；讀過(guò)B、C耒讀A。因此可以找到滿(mǎn)足要求的兩個(gè)學(xué)生。【】一面染紅的長(zhǎng)方體，顯應(yīng)4×5長(zhǎng)方形染紅，這時(shí)產(chǎn)生20個(gè)一紅的小正方體，個(gè)數(shù)最多二面染紅的長(zhǎng)方體，顯然應(yīng)將兩個(gè)4×5的長(zhǎng)方形染紅，這時(shí)產(chǎn)生40個(gè)面紅的小正方體，個(gè)數(shù)最多三面染紅的長(zhǎng)方體，應(yīng)將4×5，4×5的染紅，產(chǎn)生4×(5＋5＋－＝36個(gè)一面紅的小正方體它方得出的一面紅的正方體均少于36個(gè)面紅的長(zhǎng)方體，應(yīng)將4×5，4×5的面染紅，產(chǎn)生4×(553＋－2×4)＝個(gè)面紅的小正方體，其它方法得到的一面紅的小正方體均沒(méi)有這么多五面染缸的長(zhǎng)方體，應(yīng)只留一個(gè)3×5的不染，這時(shí)產(chǎn)生(3－2)(52)＋(4－1)(5＋5＋＋－2×4)＝27個(gè)面紅的小正方體，其它染法得到的一面紅的小正方體均少于27六面紅的長(zhǎng)方體，產(chǎn)生2[(3－2)(5－＋－－＋－2)(32)]＝22個(gè)面紅的小正方體。于是最多得到22＋27＋32＋＋＋＝177個(gè)面紅的小正方體【＋8×3＝107以得到總積分時(shí)8分局?jǐn)?shù)必定小于3(否則83＝－3×8可得)，即得8分局?jǐn)?shù)為01，從而107，－1×899，107－2×8＝91這三個(gè)數(shù)中必有一個(gè)是a的數(shù)。如果107是a的數(shù)，那么a＝或107但＝1時(shí)，可以得到總積分；＝時(shí)，法得到總積分，以這種情況不可能發(fā)生。如果是的數(shù)，那么a＝，，，1133，99因?yàn)?3＝9×3＋8×7＝＋8×9所以a不能是13，，11(否則83可以得到。因?yàn)?03＝＋＝＋＝2×3337，以＝99或33時(shí)無(wú)法得到總分103。因此這種情況也不可能發(fā)生。如果是的數(shù)，那么a＝，，13，，因?yàn)?3＝7×5，所以a≠7.1103＝＋，以a≠91。因此a＝13，不難驗(yàn)證a＝符要求。6.【】各棱中點(diǎn)處所寫(xiě)的數(shù)恰五種不同數(shù)值是可能的，如在A(yíng)、、?依次填1,5、

3、、、、、，中點(diǎn)處恰有五個(gè)不同數(shù)值、8、、1012。不可能少于五種不同數(shù)值，理由如下：以1所頂點(diǎn)為端點(diǎn)的棱有三條，不妨設(shè)這三條棱的另一端點(diǎn)所填寫(xiě)的數(shù)是a、、，滿(mǎn)足a＜＜，這三條棱的中點(diǎn)處的數(shù)為1a，＋b和＋，滿(mǎn)足1＋＜＋＜＋。以8所頂點(diǎn)為端點(diǎn)的棱也有三條，不妨設(shè)這三條棱另一端點(diǎn)所填寫(xiě)的數(shù)為x、、，滿(mǎn)足