統(tǒng)計學(xué)原理第八章相關(guān)與回歸分析課件

本章內(nèi)容

相關(guān)分析1

回歸分析2<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云1

本章要求【知識目標】理解相關(guān)分析、回歸分析、一元線性回歸方程的的概念,理解各種社會經(jīng)濟現(xiàn)象之間的依存關(guān)系和制約關(guān)系，并且將這種關(guān)系給予數(shù)量化，掌握相關(guān)關(guān)系的判定方法和一元線性回歸方程的建立方法及回歸預(yù)測法。【能力目標】能區(qū)別相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系、相關(guān)分析與回歸分析，能分析判定各種社會經(jīng)濟現(xiàn)象之間的關(guān)系，尤其是數(shù)量關(guān)系，能確定一元線性回歸方程并進行預(yù)測。<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云2導(dǎo)入案例社會經(jīng)濟現(xiàn)象的相互聯(lián)系、相互制約、相互依存，構(gòu)筑了錯綜復(fù)雜的客觀世界?？陀^現(xiàn)象相互間的聯(lián)系和制約關(guān)系，通常都能用數(shù)量關(guān)系適當加以表現(xiàn)。如：在產(chǎn)品生產(chǎn)過程中，社會對物質(zhì)產(chǎn)品的需求量制約其生產(chǎn)量；物質(zhì)產(chǎn)品的生產(chǎn)量增大，需要的人力、設(shè)備以及花費的費用也相應(yīng)增多；人們的身高越高，一般體重也越重。反映和說明社會經(jīng)濟現(xiàn)象之間的這種相互依存的數(shù)量關(guān)系，就是相關(guān)關(guān)系。<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云3導(dǎo)入案例相關(guān)關(guān)系只用來表明兩個變量相關(guān)程度的高低，但不能說明當一個變量發(fā)生一定量變時，因變量將發(fā)生多大的變化。當兩個變量存在顯著的相關(guān)關(guān)系時，如何用一個數(shù)學(xué)方程式提示它們之間變化的聯(lián)系呢？例如：已知身高數(shù)與人們的體重數(shù)密切相關(guān)，試問：身高170Ｃm，體重是多少公斤？又如，施肥量增加1公斤，產(chǎn)量會增加多少公斤？勞動生產(chǎn)率提高1元，生產(chǎn)費用會降低多少元？回答諸如此類的問題，都需要利用數(shù)量聯(lián)系式，根據(jù)掌握的統(tǒng)計資料進行回歸分析。<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云4§8.1相關(guān)分析

一、相關(guān)關(guān)系和函數(shù)關(guān)系（一）什么是相關(guān)關(guān)系客觀事物之間是相互聯(lián)系和制約的?，F(xiàn)象之間的各種依存關(guān)系，根據(jù)其相互依存的制約的程度不同，可以分為函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系兩種。所謂相關(guān)關(guān)系反映的是事物之間存在的并不十分嚴格的依存關(guān)系。在這種關(guān)系中，對于某一事物變量的每一個變動值，都有另一個事物變量的不確定的但與它有聯(lián)系的變動值與之相對應(yīng)。<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云5（二）什么是函數(shù)關(guān)系它反映現(xiàn)象之間存在著嚴格的制約關(guān)系。在這種制約關(guān)系中，對某一現(xiàn)象的每一個變動值，都有另一現(xiàn)象變量的確定的變動值與之相對應(yīng)。并且這種對應(yīng)關(guān)系可以用數(shù)模型加以表達。（三）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的聯(lián)系和區(qū)別

聯(lián)系：兩種關(guān)系的變量之間都具有有關(guān)聯(lián)性。

區(qū)別：在于因變量的取值確定性不同。對于函數(shù)關(guān)系來說，一個自變量的值只確定唯一的因變量的數(shù)值，簡稱一對一；對于相關(guān)關(guān)系而言，一個自變量的值可以對應(yīng)多個因變量的值，簡稱一對多?！?.1相關(guān)分析<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云6（四）相關(guān)關(guān)系的種類1.以相關(guān)的程度為劃分標志，相關(guān)關(guān)系可以分為完全相關(guān)、不完全相關(guān)和不相關(guān)三種。2.以變量之間相關(guān)關(guān)系的方向為標志，相關(guān)關(guān)系可分為正相關(guān)和負相關(guān)兩種。3.按變量間相互關(guān)系的表現(xiàn)形式劃分,相關(guān)關(guān)系可分為直線相關(guān)和曲線相關(guān).直線相關(guān)又稱線性相關(guān),曲線相關(guān)又稱非線性相關(guān)。本書不研究曲線相關(guān)，我們著重研究只有一個自變量的直線相關(guān)?！?.1相關(guān)分析<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云7二、相關(guān)分析方法1.相關(guān)關(guān)系的定性判斷任何事物都有質(zhì)的規(guī)定性。對現(xiàn)象的這種質(zhì)的規(guī)定性的認識和分析，就是定性分析。對現(xiàn)象和事物之間有無相關(guān)關(guān)系的判斷，首先應(yīng)根據(jù)定性分析來決定，這是相關(guān)分析的重要一步。2.相關(guān)表將現(xiàn)象之間的相關(guān)關(guān)系，用表格來反映，這種表稱為相關(guān)表。相關(guān)表根據(jù)編制資料時資料是否分組，可以分為簡單相關(guān)表和分組相關(guān)表?！?.1相關(guān)分析<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云81）簡單相關(guān)表

在資料未分組時,將總體中各單位的原始資料,按從小到大的順序排列,然后再列出對應(yīng)的因變量數(shù)值的相關(guān)表。

例如，為了研究分析勞動生產(chǎn)率和產(chǎn)值的關(guān)系，現(xiàn)有某企業(yè)5個車間的有關(guān)資料，以勞動生產(chǎn)率為自變量，產(chǎn)值為因變量,編制成簡單相關(guān)表。如表8—2：

§8.1相關(guān)分析<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云9

從表8—2中可看到，隨著勞動生產(chǎn)率的提高，產(chǎn)值也相應(yīng)增加。在這里，勞動生產(chǎn)率是自變量，它的變化影響著產(chǎn)值的變化，所以，產(chǎn)值是因變量，兩者存在著相關(guān)關(guān)系，并且為正相關(guān)。勞動生產(chǎn)率（元/人）400420430450510產(chǎn)值（萬元）67.589.611表8-2某企業(yè)勞動生產(chǎn)率與產(chǎn)值的關(guān)系§8.1相關(guān)分析<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云102）分組相關(guān)表

分組相關(guān)表是對資料進行分組來編制的相關(guān)表。依據(jù)分組標志確定的多少有單變量分組相關(guān)表和雙變量分組相關(guān)表兩種。（1）單變量分組相關(guān)表

如果將自變量分組并計算次數(shù)，而因變量不分組，只計算其平均值，稱之為單變量分組相關(guān)表。如表8—3所示。§8.1相關(guān)分析<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云11

表8-3某公司產(chǎn)量和成本情況按產(chǎn)量分組（萬個）x企業(yè)數(shù)f實際成本（元/個）y3--43824--54785--64766--73737--8270

從表中可看出，該公司各企業(yè)隨著產(chǎn)量規(guī)模的擴大，產(chǎn)品的單位成本呈下降趨勢，表現(xiàn)出規(guī)模效益，兩者呈負相關(guān)關(guān)系?！?.1相關(guān)分析<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云12(2)雙變量分組相關(guān)表

如果自變量與因變量都進行分組，計算出次數(shù)，列成相關(guān)表的形式，稱之為雙變量分組相關(guān)表.如表8-4所示。表8-4某行業(yè)勞動生產(chǎn)率與工資情況§8.1相關(guān)分析按年勞動生產(chǎn)率分組（萬元）企業(yè)按年平均工資分組（萬元）6—88—1010—1212—1414—1616—18合計80—9090—100100—110110—120120—13011212132534243321121213131合計4311910441<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云13

表8-4中的資料說明勞動生產(chǎn)率與工資水平的相關(guān)關(guān)系。雙變量分組表似座標圖，如果把y值看作y軸，x值看作x軸，左下“合計”看作原點，故分組變量值從原點起由小到大，這樣可以顯示相關(guān)的形態(tài)、方向和程度，如表8—4可以看出勞動生產(chǎn)率與工資水平呈負相關(guān)的關(guān)系。雙變量分組相關(guān)表是作為進一步計算和分析的依據(jù)，同時也有獨立作用。§8.1相關(guān)分析<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云143.相關(guān)圖

又稱散點圖。繪制時利用直角坐標，一般以x軸代表自變量，y軸代表因變量，將相關(guān)表的原始資料在坐標中畫出自變量和因變量相關(guān)的坐標點，此點稱為相關(guān)點，由相關(guān)點組成的圖形，就稱為相關(guān)圖。從相關(guān)點在圖上的分布及趨勢，可以掌握變量之間的相關(guān)關(guān)系的狀況。一般表現(xiàn)為下列關(guān)系圖:§8.1相關(guān)分析<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云15圖8-1相關(guān)關(guān)系圖圖8—1（ａ）高度正相關(guān)圖8—1（b）高度負相關(guān)

§8.1相關(guān)分析圖8—1（c）低度負相關(guān)

圖8—1（d）低度正相關(guān)圖

<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云16圖8-1相關(guān)關(guān)系圖

8—1（e）非線性相關(guān)

圖8—1（f）無相關(guān)

§8.1相關(guān)分析<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云174.相關(guān)系數(shù)1）相關(guān)系數(shù)的概念相關(guān)系數(shù)是直線相關(guān)條件下說明兩個現(xiàn)象之間相關(guān)關(guān)系密切程度的統(tǒng)計分析指標，記為r。其計算公式為：

r===

（公式8—1）

=§8.1相關(guān)分析<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云18[例8—1]已知某企業(yè)加工設(shè)備的使用年限及每年支出的維修費用統(tǒng)計如表8—5，試計算相關(guān)系數(shù)。表8—5機器設(shè)備使用年限與年維修費用使用年限（年）223455年維修費用（元）404955646080§8.1相關(guān)分析<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云19解：通過列表計算有關(guān)資料如下：表8-6x-y-序號使用年限（年）x維修費用（元）y123456223455404955646080-1.5-1.5-0.50.51.51.5-18-9-362222.252.250.250.252.252.2532481936448427.013.51.53.03.033.021348009.5093881.0§8.1相關(guān)分析<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云20

r=

=

=0.858§8.1相關(guān)分析<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云212)判斷相關(guān)關(guān)系密切程度的標準

①相關(guān)系數(shù)r的取值范圍是:

-1

r

1

②相關(guān)系數(shù)r越接近-1，表示負相關(guān)程度越密切；越接近1，表示正相關(guān)程度越切；

③相關(guān)系數(shù)r=1，表示完全正相關(guān)；r=-1,表示完全負相關(guān)，均為函數(shù)關(guān)系；

④現(xiàn)象之間相關(guān)關(guān)系的密切程度，可以根據(jù)相關(guān)系數(shù)的大小劃分為四個等級，即

0<|r|<0.3

x與y微弱相關(guān)；

0.3<|r|<0.5

x與y低度相關(guān)；

0.5<|r|<0.8

x與y顯著相關(guān)；

0.8<|r|<1

x與y高度相關(guān)。§8.1相關(guān)分析<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云225.相關(guān)分析的特點1)兩個變量的地位是對等的,不分原因與結(jié)果；

2)只能計算出一個相關(guān)系數(shù),說明兩變量的密切程度和相關(guān)方向；

3）用來計算相關(guān)系數(shù)的兩個變量都是隨機的?！?.1相關(guān)分析<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云23§8.２回歸分析與一元線性回歸方程一、回歸分析（一）回歸分析的概念

相關(guān)分析只能回答變量之間相關(guān)的密切程度和方向。而回歸分析是對具有一定相關(guān)關(guān)系的兩個或更多個變量之間數(shù)量變化的關(guān)系，選擇一個合適的數(shù)學(xué)模型（回歸方程），用來近似的表示兩個變量之間平均變化關(guān)系，從而對因變量進行預(yù)測或估計的統(tǒng)計分析方法。所謂“回歸”，指變量值總是在它們的平均值附近變化，不會偏離平均值很大。回歸分析建立的數(shù)學(xué)表達式稱為回歸方程（或回歸模型）。根據(jù)回歸方程配合的方程，其表現(xiàn)形式有直線和曲線等。本書只介紹直線回歸方程。<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云24（二）回歸分析與相關(guān)分析的區(qū)別1.研究的目的不同2.變量的性質(zhì)不同3.分析的結(jié)果不同

（三）回歸分析與相關(guān)分析的聯(lián)系1.研究的內(nèi)容一樣2.相關(guān)分析是回歸分析的基礎(chǔ)3.回歸分析是相關(guān)分析的繼續(xù)?！?.２回歸分析與一元線性回歸方程<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云25二、一元線性回歸方程的建立

進行回歸分析，我們的目的要建立一個變量x與變量y之間線性關(guān)系的方程，要配合一條直線，用這條直線反映現(xiàn)象之間的一般數(shù)學(xué)關(guān)系，并用這條直線進行預(yù)測。這條直線叫回歸直線，反映這條直線的方程叫一元線性回歸方程。設(shè)所求作的直線回歸方程為：

=a+bx

式中：—因變量的回歸值；

a—直線在y軸上的截距，又稱回歸常數(shù)；

b—回歸系數(shù)，它表示當自變量增加1個單位時，因變量相應(yīng)的改變量。§8.２回歸分析與一元線性回歸方程<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云26最小二乘法

從幾何上觀察，就是要配合這樣一條直線，使各個散點到該直線距離平方和最小，滿足條件的直線就是所求作的回歸直線。在這條直線上，據(jù)以推算的估計值（用代表）與y的實際值離差的平方和，比其它任何直線推算的數(shù)值都要小。滿足∑（Y-）2=最小,這是按“最小二乘法”來決定一元線性回歸直線的方法。

圖8—2回歸直線示意圖

§8.２回歸分析與一元線性回歸方程<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云27最小二乘法

（公式8—4）（公式8—5）§8.２回歸分析與一元線性回歸方程<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云28[例8—3]根據(jù)某企業(yè)產(chǎn)品銷售額與銷售利潤率（%）資料計算出如下資料：

n=7要求：（1）確定產(chǎn)品銷售額與銷售利潤率之間的相關(guān)系數(shù)。（2）確定以銷售利潤率為因變量的直線回歸方程，并解釋回歸系數(shù)的經(jīng)濟含義。（3）當銷售額為500萬元時，銷售利潤率為多少？§8.２回歸分析與一元線性回歸方程<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云29解：

(1)r=

=0.967說明產(chǎn)品銷售利潤率與銷售額之間存在高度正相關(guān)（2）設(shè)回歸方程為：=a+bx

==0.037

=-5.55§8.２回歸分析與一元線性回歸方程<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云30

故一元線性回歸方程為:

=-5.55+0.037x

回歸系數(shù)b的含義是：產(chǎn)品銷售額增加1萬元時，銷售利潤率增加0.037。

(3)

可見,當銷售額為500萬元時，銷售利潤率為12.95%§8.２回歸分析與一元線性回歸方程<統(tǒng)計學(xué)原理>主編張海平孟澤云31三、估計標準誤差

估計標準誤差是衡量y的實際值與估計值離差一般水平的分析指標，是實際值y與所配直線模型上的理論值的標準差。回歸方程是根據(jù)自變量的已知值推算因變量的估計值。估計值與實際值之間是有離差的?；貧w方程的代表性如何，一般是通過估計標準誤差指標的計