按章節(jié)-人教版-82圓方程這是一節(jié)正式課

XX老師， 交通大學(xué)XX專業(yè)，高目前在掌門新銳負(fù)責(zé)XX學(xué)科的教研、咨XX老師對XX章節(jié)的內(nèi)容特別有心得，XX老師曾經(jīng)教授過超過XX名學(xué)生，平均提分XX分，廣受好掌門新銳金第二 圓的方重點難點重點：圓的方程、點與圓的位置關(guān)難點：垂徑定理的應(yīng)用、圓的方程求法．知識歸納圓的方圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心(a，b)，半徑為r的圓方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中＋－4>0) E半徑 －2 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 P(00)(1)當(dāng)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2P在圓外．(2)當(dāng)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2P在圓上．(3)當(dāng)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2P在圓內(nèi)．誤區(qū)警示解決有關(guān)軌跡問題時，要注意所求得軌跡方程表示的曲線上的點是否都是滿足題設(shè)要求的軌跡上的點．與圓有關(guān)的最值問題，要特別注意是整個圓周的點，還是一段圓弧上的點確定圓的方程必須有三個獨立條件，解題時要注意通過分析找足條件，列出相應(yīng)的方程．一、數(shù)形結(jié)合思在解決與圓有關(guān)的最值問題時，主要借助圓的幾何性質(zhì)，用數(shù)形結(jié)合的方法求解．圓上點到P的距離的最大(小)值：連結(jié)圓CP交圓于兩點為最大(小)值點P在⊙C內(nèi)P的⊙C的弦中，最長的為EF(過圓心的為AB(AB⊥EF)C上所有點中EP距離最小FP距離最大．P在⊙C外，PCE、F，圓上所有點P距離最大(小)F(E)P可作兩條直PA、PB與⊙CPC為∠APB的平分線，PCAB.圓上的點到定直線的距離最值：由圓心向直線作垂線與圓兩交點為最值點．l與⊙C外離，PC⊥l交⊙CA、B，則在⊙l距離最大(小)二、等價轉(zhuǎn)化思已知P(x，y)為圓上動點形 的最值轉(zhuǎn)化為動直線的斜率求解，一在相切位置取最值a＋y＝a＋b動直線的截距問題．用判別式法求解，或在相切位置取形如(x－a)2＋(y－b)2的最值轉(zhuǎn)化為動點到定點的(－)＋(y－)＝時，k的取值范圍問題．[例 (2011·福建質(zhì)檢)已知圓的圓心在直線x＋y＝1上，則D與E的關(guān)系是( 解析：依題意得，圓心 E)在直線－2，－2 上，因此有2－2＝1，即D＋E＝－2，選(文)方程x2＋y2＋mx＋2my＋2m2＋m－1＝0表示圓，則實數(shù)m的取值范圍是 解析：方程x2＋y2＋mx＋2my＋2m2＋m－1＝0示圓，則m2＋(2m)2－4(2m2＋m－1)>0

答案

(理 區(qū)模擬)過原點O作圓－8y＋20＝0的兩條切線OA、OB，A、B為切點，則線段AB長為 解析：將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x－3)2＋(y－4)2＝5，圓C(3,4)，半徑為 ∴切線長 ∴弦長[2](2010·山東濰坊)若圓C的半徑為1，圓心在第一且與直線4x－3y＝0和x軸都相切則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是() A．(x－3)＋y－3 D.x－2＋(y－1) 分析：由⊙C的半徑為1及與x1與直線4x－3y＝0解析：C(a,1)(a>0)C－3y＝0相切得 ＝1，解得a＝2，則圓C的標(biāo)方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1點評：(1)本題可用淘汰法求解(2)求圓的方程時，常常要將所給條件恰當(dāng)翻譯，用數(shù)學(xué)語言加以表達(dá)．如AA②圓過兩點A、B，則線段AB③圓心在直線l上，(一)可設(shè)出圓心坐標(biāo)；(二)可考l′ll′方程聯(lián)立求圓④圓與直線l相切，則(一)d＝r；(二)Δ＝0.應(yīng)特別注意圓與直線l相切于點P的含義．ClAB22＝(2011·遼寧文，13)已知圓C經(jīng)過A(5,1)，B(1,3)兩點，圓心在x軸上，則C的方程為 解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0)，則有 半徑 故圓的方程為 [例 F(c,0)ax2＋bx－c＝0 A．必在圓x2＋y2＝2 解析：∵e

∴x1＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝－a＋ ∴點P(x1，x2)在圓內(nèi)．故選 A(12)B(－4，－2)及下列四條曲線： 其中曲線上存在點使|PA|＝|PB|的曲線有( 解析：∵|PA|＝|PB|，∴P 段AB的垂直平線上易知線段AB的垂直平分線l的方程為 圖知與直線l有公共點的曲線有①②③，故選[例4] 已知圓x2＋y2＝4，過點A(4,0)作圓的割線ABC，則弦BC中點的軌跡方程為( A．(x－1)＋y C．(x－2)＋y 分析：直線過點A，可設(shè)出點斜式方程與圓方程聯(lián)立，由定理可得出B、C坐標(biāo)關(guān)系，設(shè)P(x，y)，可由A、B、C、P共線得kAP＝kBC，消去斜率k可得軌跡方程，注意k不存在情形．解析y＝k(x－4)BC坐標(biāo)為 代入y＝k(x－4)消去k畫出圖形易知軌跡應(yīng)是在已知圓內(nèi)的部分，且x的取值范圍是0≤x<1.故選D.點評：求動點M的軌跡方程時，設(shè)M(x，y)，然后結(jié)合已知條件找xyM的運(yùn)動依賴于點AA在已知曲線C上，這時將A的坐標(biāo)用x、y表示，代入C的方程，即得M點的軌跡方P(4－2)點連線的中點的軌跡方程是( Q(x0y0)PQ＝ ＝，則

22

，解得

，因為點Q圓x2＋y2＝4上，所以x2＋y2＝4，即 ＝4，即[例 已知實數(shù)x、y滿足方程求xyxy－xx2＋y2(1)為圓心，以 3為半徑的圓．y設(shè)x＝ky＝kx，則圓心(2,0)y＝kx由|2k－0|＝ 3，解得k2＝3，所以 (2)設(shè)y－x＝b，則y＝x＋b，當(dāng)且僅當(dāng)直線與圓切于第四象限時，截距b取最小值．由點到直線的2距離公式，2

3，即 故 (3)x2＋y2是圓上點與原點的距離的平與圓交于B點，并延長交圓于C′，則 (1)O＝2CP＝ ∠POC＝60°，直線OP的傾斜角為60°，直線OP′的傾斜角為120°.(2)(文)x，y滿足(x＋5)2＋(y－12)2＝16＋y2的最小值是 解析：易知x2＋y2的最小值即為圓＝ 上的點到原點的距離最小值的平方，即為 (理)(2011·皖南八校聯(lián)考)已知M5＝0上的動點，點N為圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的動點，則|MN|的最小值是( 55555

(－11)11)

N到點＝的距離的最小值為

＝5[例6] 弦，其中弦長為整數(shù)的共有( A．16 B．17 C．32 D．34解析：∵圓x2＋y2＋2x－4y－164＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝132，即此圓是一個以點O(－1,2)為圓心，以R＝13為半徑的圓．∵OA＝12而R＝13A點且垂直于OA是經(jīng)過A點的最短的弦，∴其長度為2 而經(jīng)過A點的最長的弦為圓的直徑2R＝26；∴經(jīng)過A點且為整數(shù)的弦長還可以取11,12,13,14,15，…，25共15個值，又由于圓內(nèi)弦的對稱性，經(jīng)過某一點的弦的長若介于最大值與最小值之間，則一定有21＋2＝32條． 已知直線＋＝1(a、b是非零常數(shù))x＋y 100有公共點，且公共點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線共有( A．60 B．66 在第一象限內(nèi)圓x2＋y2＝100上的整數(shù)點只(6,8)，(8,6)，又點(10,0)，(0,10)在圓上∴由對稱性知x2＋y2＝100縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點共有12個．過這12個點的圓x2＋y2＝100的切線有12割 ＝66條，共78條其中垂直于坐標(biāo)軸的有14條，過原點與坐標(biāo)軸不直的有4條，∴共有78－18＝60條一、選擇51．(2010·延邊州質(zhì)檢)已知圓(x＋1)2＋(y－1)2＝1上P到直3x－4y－3＝0距離為dd的最小值為()5

[答案A[解析∵圓心C(－1,1)到直為 2．(文)(2010·廈門三中階段訓(xùn)練)以雙曲線63的右焦點為圓心且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程 [答案 2[解析 雙曲線右焦點F(3,0)，漸近線方程 2x，故圓半徑 3，故圓方程為(理)圓心在拋物線y2＝2x(y>0)上并且與拋物線的準(zhǔn)線及x軸都相切的圓的方程是( [答案

[解析 拋物線y2＝2x(y>0)的準(zhǔn)線為 拋物線的準(zhǔn)線及x軸都相切則圓心在直線 y＝2x(y>0)聯(lián)立可得圓心的坐標(biāo)為，1，半徑為

＝1x

合肥六中)已知圓C的方程為2x－2y＋1＝0，當(dāng)圓心C到直線kx＋y＋4＝0的距離最大時，k的值為(

[答案 [解析]圓C的方程可化為(x＋1)2＋(y－1)2＝1，所以圓心C的坐標(biāo)為(－1,1)，又直線kx＋y＋4＝0恒過點A(0，－4)，所以當(dāng)圓心C到直線kx＋y＋4＝0的距離最大時，直線CA應(yīng)垂直于直線kx＋y＋4＝0，直線CA斜率為－5，所以 二、填空4．(文 省濮陽調(diào)研)與直線相切且圓心在曲線 3(x>0)上的面積最小的圓的方程 2[答案 2[解析 設(shè)圓心坐標(biāo)為 aa則圓心到直線3x＋4y＋3＝0的距離 ＝5(a＋a＋1)≥5(4＋1)＝3，等號當(dāng)且僅當(dāng)a＝2此時圓心坐標(biāo)為 3，半徑為3，故所求圓的方為 3(理)(201