課程導(dǎo)學(xué)-第二章第九節(jié)

第九 函數(shù)模型及其應(yīng)要點(diǎn)梳理·要點(diǎn)梳理·考綱點(diǎn)了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征，結(jié)合具體實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義．了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用．知識(shí)掃一、三種增長(zhǎng)型函數(shù)模型的函性在上的增減增函增函增函增長(zhǎng)速越來(lái)越越來(lái)越相對(duì)平圖象的變隨x增大漸表現(xiàn)為平隨x增大漸表現(xiàn)為平化而不二、三種增長(zhǎng)型函數(shù)之間增長(zhǎng)速度的比指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞1)與冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上，無(wú)論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內(nèi)ax會(huì)小于xn，但由于ax的增長(zhǎng)快于xn的增長(zhǎng)，因而總存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0

對(duì)數(shù)函數(shù)＝logxa＞1與冪函數(shù)＝xn＞0．對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logaa＞)的增長(zhǎng)速度，不論a與n值的大小如何總會(huì)慢于y＝xn的增長(zhǎng)速度，因而在定義域總存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使x＞x0時(shí)有 由(1)(2)可以看出三種增長(zhǎng)型的函數(shù)盡管均為增函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)速度不同，且不在同一個(gè)檔次上，因此在(0上，總會(huì)存在x0xx0時(shí)有 [辨析函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2提示不正確．在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝2x與x2的圖象如圖所示，當(dāng)x<x1或2<x<4時(shí)，都有小題熱某種動(dòng)物繁殖量(只)與時(shí)間(年)的關(guān)系為y＝log3x＋1)，設(shè)這種動(dòng)物第2年有100只，到第8年它們發(fā)展到0B．300C．400D．500解析據(jù)題意有100＝alog3(2＋1)，解得a＝100，則下列函數(shù)x的增大而增大速度最快是A．y＝

B．y＝100ln 解析因指數(shù)函數(shù)型增長(zhǎng)快，又e＞2.則應(yīng)選用長(zhǎng)度為24隔墻，要使矩形的面積最大 若一根蠟燭長(zhǎng)20，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5，則燃燒剩下的高度h)與燃燒時(shí)間t(小時(shí)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為解析根據(jù)題意得解析式為h＝20－5t(0≤t≤4)圖象為據(jù)，蘋果園地鐵的自行車存車處在某星期日的存車量為4輛次，其中變速車存車費(fèi)是每輛一次3元，普通車存車費(fèi)是每輛一次2元，若普通車存車數(shù)為x輛次，存車費(fèi)總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系是y＝0.1x＋800，0≤x≤4y＝0.1x＋1200，0≤x≤4y＝－0.1x＋800，0≤x≤4y＝－0.1x＋1200，0≤x≤4解析據(jù)題意可知y＝0.2x＋(4＋1200(0≤x≤4考點(diǎn)突破·考點(diǎn)突破·考點(diǎn)一用函數(shù)圖象刻畫實(shí)際問(wèn)題中兩例 如圖，半徑為1的半圓O與等邊三角形ABC夾兩平行線l1，l2之間，l∥l1，l與半圓相交于F，G兩點(diǎn)，與三角形ABC兩邊相交于ED兩點(diǎn)．設(shè)弧FG的長(zhǎng)為x(0<x<π)，y＝EB＋BC＋CD，若l從l1平行移動(dòng)到l2，則3【解析】由題圖知正三角形的高為1則邊長(zhǎng)為 3＝3顯然當(dāng)x＝0時(shí) y＝f(x)是遞增函＝31－cos排除B；由平行線分線段成比例定理可知 即

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，而B(niǎo)E＝CD，所以22 232

π)，排除A、C，故選【答案[規(guī)律方法]判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問(wèn)題變化過(guò)程相吻構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，驗(yàn)證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時(shí)，則根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情◎變式訓(xùn)騎車上學(xué)，開(kāi)始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間，后為了趕時(shí)間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是解析開(kāi)始時(shí)勻速行駛，此時(shí)對(duì)應(yīng)的圖象為直線，函數(shù)的圖象遞減．途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間，此時(shí)到學(xué)校的距離為常數(shù)，綜上選考點(diǎn)二應(yīng)用所給的函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)例 )加工爆米花時(shí)，爆開(kāi)且不糊的數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率與加工時(shí)間t(單位：分鐘滿足函數(shù)關(guān)系p＝a2＋bt＋a，b，c是常數(shù))，下圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)．根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為A．3.50分 B．3.75分C．4.00分 D．4.25分【解析】由題意得0.8＝16a＋4b＋c解之得∴p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.8125當(dāng)t＝3.75時(shí)，p有最大值．【答案 根據(jù)已知條件利用待定系數(shù)求出函數(shù)模型中的待 ◎變式訓(xùn)部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為00600y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為

＋80000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值100元．該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲利，則國(guó)家至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損？設(shè)該單位每月獲利為112則 2

－200x＋801 ＝－2x＋300x－80

－35因?yàn)樗援?dāng)x＝400時(shí)，S有最大值－40故該單位不獲利，需要國(guó)家每月至少補(bǔ)貼40考點(diǎn)三(探究)構(gòu)建函數(shù)模型解決根據(jù)已知條件構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題是高考熱點(diǎn)，往往也是高考試題中的難點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，考查的內(nèi)容常為應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際生產(chǎn)生活中的成本最低、利潤(rùn)最高、產(chǎn)量最大、效益最好、用料最省等問(wèn)題，涉及函數(shù)類型一般為二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)以及它們的組合．考向一構(gòu)建二次函數(shù)模型解決問(wèn)1．4·鄂州模擬)如圖所示，已知邊長(zhǎng)為8米的正方形鋼板有一個(gè)角被銹蝕，其中AE＝4米，CD＝6米．為合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個(gè)矩形BNM，使點(diǎn)在邊E上．設(shè)MP＝x米，N＝y(tǒng)米，將y表示成x的函數(shù)，求該函數(shù)的解析式及定義域；求矩形BNPM面積的最大值解析(1)作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝(8－y)米又△EPQ∽△EDF，所以

FD，即

1＋10，定義域?yàn)樵O(shè)矩形BNPM的面積為S

S(x)x稱軸為x＝10，所以當(dāng)x∈[4，8]時(shí)，S(x)單調(diào)遞增．所以當(dāng)x＝8米時(shí)，矩形BNPM的面積取得最大值，為48平方米．考向二構(gòu)建分段函數(shù)模型解決問(wèn)某商品在近30天內(nèi)每件的p(元)與時(shí) 天 的函數(shù)關(guān)系

該商品的日銷售量Q(與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系是＝－t＋40(0<≤30t∈求這種商品的日銷售金額的最大值并日銷售金額最大的一天是30天中的第幾天？y＝pQ＝ 所以0<t<25時(shí)，ymax＝f(10)＝900；當(dāng)25≤t≤30時(shí)，ymax＝f(25)＝1125.綜上所述，ymax＝f(25)＝1125，即日銷售金額的最大值為112530天中25天x考向三構(gòu)建對(duì)勾函數(shù)x模型解如圖，圍建一個(gè)面積為3602的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修)寬度為2m的一扇門已知舊墻的為45元m新墻的造價(jià)為180元/m00利用的舊墻的長(zhǎng)度為xm，總造價(jià)為y元．將y表示為x的函數(shù)試確定，使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用．解析(1)如題圖，設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)a則y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＋600＝225x＋x＋xa＝360a＝360xx＋129x∴225x＋129

225×3602＝10 ∴y＝225x＋129

當(dāng)且僅

時(shí)，即x＝24時(shí)等號(hào)成立所以當(dāng)x＝24m時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小總費(fèi)用是11040元[規(guī)律方法 函數(shù)模型的類型及解決方重點(diǎn)類解決方二次