笛卡爾方法論及其意義

笛卡爾方法論及其意義數(shù)學(xué)學(xué)院2008級(jí)3班李超2008112202001笛卡爾既是西方偉大的哲學(xué)家，又是卓有建樹的數(shù)學(xué)家。他的解析幾何理論，直至現(xiàn)在仍是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。即使是中學(xué)生，也對(duì)“笛卡爾坐標(biāo)系”耳熟能詳。同時(shí)，他提出了心物二元論，開西方身心問題討論之先河。受數(shù)學(xué)方法的影響，笛卡爾對(duì)西方古代哲學(xué)做了重大變革，提出直覺和演繹是根本的方法選擇，從而為近代理性主義認(rèn)識(shí)論奠定了方法和原則的基礎(chǔ)，并試圖為一切知識(shí)提供一個(gè)形而上學(xué)的框架。當(dāng)然，在笛卡爾的方法選擇中，也蘊(yùn)含著內(nèi)在的矛盾。文藝復(fù)興使歐洲學(xué)者繼承了古希臘的幾何學(xué)，也接受了東方傳入的代數(shù)學(xué)。利學(xué)技術(shù)的發(fā)展，使得用數(shù)學(xué)方法描述運(yùn)動(dòng)成為人們關(guān)心的中心問題。笛卡兒分析了幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)的優(yōu)缺點(diǎn)，表示要去“尋求另外一種包含這兩門科學(xué)的好處，而沒有它們的缺點(diǎn)的方法”。在《幾何學(xué)》（是《方法論》中的一部分）卷一中，他用平面上的一點(diǎn)到兩條固定直線的距離來確定點(diǎn)的距離，用坐標(biāo)來描述空間上的點(diǎn)。他進(jìn)而創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，表明了幾何問題不僅可以歸結(jié)成為代數(shù)形式，而且可以通過代數(shù)變換來實(shí)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)，證明幾何性質(zhì)。笛卡爾把幾何問題化成代數(shù)問題，提出了幾何問題的統(tǒng)一作圖法。為此，他引入了單位線段，以及線段的加、減、乘、除、開方等概念，從而把線段與數(shù)量聯(lián)系起來，通過線段之間的關(guān)系，“找出兩種方式表達(dá)同一個(gè)量，這將構(gòu)成一個(gè)方程”，然后根據(jù)方程的解所表示的線段間的關(guān)系作圖。在卷二中，笛卡兒用這種新方法解決帕普斯問題時(shí)，在平面上以一條直線為基線，為它規(guī)定一個(gè)起點(diǎn)，又選定與之相交的另一條直線，它們分別相當(dāng)于x軸、原點(diǎn)、y軸，構(gòu)成一個(gè)斜坐標(biāo)系。那么該平面上任一點(diǎn)的位置都可以用（x,y）惟一地確定。帕普斯問題就化成了一個(gè)含兩個(gè)未知數(shù)的二次不定方程。笛卡兒指出，方程的次數(shù)與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，因此可以根據(jù)方程的次數(shù)將曲線分類?！稁缀螌W(xué)》一書提出了解析幾何學(xué)的主要思想和方法，標(biāo)志著解析幾何學(xué)的誕生。此后，人類進(jìn)入變量數(shù)學(xué)階段。在卷三中，笛卡爾指出，方程可能有和它的次數(shù)一樣多的根，還提出了著名的笛卡爾符號(hào)法則：方程正根的最多個(gè)數(shù)等于其系數(shù)變號(hào)的次數(shù)；其負(fù)根的最多個(gè)數(shù)（他稱為假根）等于符號(hào)不變的次數(shù)。笛卡爾還改進(jìn)了韋達(dá)創(chuàng)造的符號(hào)系統(tǒng)，用a,b,c,…表示已知量，用x,y,z,…表示未知量。解析幾何的出現(xiàn)，改變了自古希臘以來代數(shù)和幾何分離的趨向，把相互對(duì)立著的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一了起來，使幾何曲線與代數(shù)方程相結(jié)合。笛卡兒的這一天才創(chuàng)見，更為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)，從而開拓了變量數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域。同時(shí)，笛卡爾認(rèn)為形而上學(xué)是哲學(xué)大樹的“根”。當(dāng)然，他的形而上學(xué)概念比希臘哲學(xué)中的“形而上學(xué)”含義更廣，不僅指關(guān)于“存在”或本體論中的某些方面，還包括認(rèn)識(shí)論中的基本原理。在笛卡爾看來，正確的認(rèn)識(shí)方法是認(rèn)識(shí)論甚至整個(gè)哲學(xué)理論最重要、最根本的內(nèi)容。相比之下，“存在論”倒是第二位的，因?yàn)殛P(guān)于存在的知識(shí)是運(yùn)用正確的認(rèn)識(shí)方法得出的必然結(jié)果。1628年，笛卡爾寫成第一部哲學(xué)著作《指導(dǎo)心靈的規(guī)則》。在這部著作中，他將認(rèn)識(shí)論置于哲學(xué)的中心地位，提山關(guān)于精神、物質(zhì)的形而上學(xué)知識(shí)要必須弄清楚，因?yàn)樗鼈兪且磺锌茖W(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。在《第一哲學(xué)的沉思》中，笛卡爾用直覺方法探討了上帝、靈魂等問題。他認(rèn)為，哲學(xué)研究的目的是獲得人類理智所適合的一切知識(shí)，它們不能建立在以往各種學(xué)科的基礎(chǔ)上，也不能以猜測(cè)或偶然判斷為依據(jù)，而必須訴諸于直覺和演繹。他說：“我們要注意那一切能使我們毫無錯(cuò)覺地獲得關(guān)于事物知識(shí)的精神活動(dòng)。這些活動(dòng)我只承認(rèn)兩個(gè)，即直覺和演繹?！钡芽柊阎庇X和演繹推崇為獲得一切真知識(shí)的唯正確的方法，并對(duì)二者的含義做了明確的界定。在《指導(dǎo)心靈的規(guī)則》一書中，他指出，直覺是指心靈對(duì)他所理解的事物形成直接、明確、沒有任何疑問的概念；演繹是指心靈從確實(shí)無誤的事實(shí)（概念）到另一個(gè)事實(shí)（概念）的必然推斷。自覺與演繹的主要區(qū)別在于：直覺的概念是心靈“直接”、“全部”地把握事物，是“非推理的”而演繹則是推理的，它需要由此及彼的思考過程。根據(jù)推理的要求，這個(gè)過程可以是簡單的，也可以是復(fù)雜的。在這里，笛卡爾將是否具有推理特征作為區(qū)分直覺和演繹的標(biāo)志。在這一點(diǎn)上。笛卡爾繼承了亞里士多德以來的傳統(tǒng)觀點(diǎn)，但他強(qiáng)調(diào)的不是亞里士多德直覺與三段論推理的區(qū)別，而是直覺與普遍意義上的形式推理方法盼區(qū)分。換言之，直覺的知識(shí)是“自明的”，它構(gòu)成了人類知識(shí)的“第一原理”：演繹的本性在于其推理過程的無誤，它通過將“第一原理”當(dāng)作推理的前提而提供絕對(duì)必然的知識(shí)。因此，由直覺和演繹得到的知識(shí)必然是清楚的、不容懷疑的。于是，笛卡爾將“凡是能夠清楚明白理解的東西都是真實(shí)的”作為認(rèn)識(shí)論的基本準(zhǔn)則。不難看出，笛卡爾的直覺和演繹法方法是從數(shù)學(xué)的“公理+演繹”方法概括山來的，與當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)取得重大成就有關(guān)。笛卡爾早年從事數(shù)學(xué)研究，并頗多建樹。他的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣對(duì)哲學(xué)研究發(fā)生了不可忽視的影響。他認(rèn)為數(shù)學(xué)的精確性是有數(shù)學(xué)公理的直覺確定性和數(shù)學(xué)推理的演繹必然性保證的。受此啟發(fā)，他明確表示要用數(shù)學(xué)模式來改造哲學(xué)，于是數(shù)學(xué)公理和推理成為直覺和演繹方法的樣板。與此相聯(lián)系，笛卡爾反對(duì)將感覺、想象和或然推理當(dāng)作有效的科學(xué)方法，因?yàn)橛伤鼈兊贸龅闹R(shí)往往是錯(cuò)誤的、可疑的、靠不住的，至多么科學(xué)研究中起輔助作用。笛卡爾關(guān)于知覺與演繹的論述在西方近代哲學(xué)史上有重要意義。其一，他對(duì)知覺與演繹的區(qū)分影響了斯賓諾莎、洛克、休謨等人關(guān)于知識(shí)的確實(shí)性和分類的觀點(diǎn)，成為近代理性主義認(rèn)識(shí)論的思想財(cái)富。其二，笛卡爾是第一個(gè)將“直覺”引入近代哲學(xué)的人，對(duì)經(jīng)驗(yàn)主義者也極富啟迪。洛克、巴克萊、休謨等經(jīng)驗(yàn)主義者將“常識(shí)”當(dāng)什認(rèn)識(shí)理論的出發(fā)點(diǎn)，完全可以看成笛卡爾直覺主義的翻版。其三，笛卡爾將數(shù)學(xué)的精確性引入哲學(xué)，既是對(duì)亞里士多德三段論的改進(jìn)，也是對(duì)培根歸納法的矯正。實(shí)質(zhì)上，笛卡爾方法也是對(duì)現(xiàn)代意義的“形式科學(xué)”的追求。笛卡爾確立了直覺和演繹方法在科學(xué)研究中的重要地位，無疑是對(duì)經(jīng)院哲學(xué)的重大革新。然而，隨著哲學(xué)研究的深入，笛卡爾也發(fā)現(xiàn)了直覺方法的局限性。他意識(shí)到，清楚明白的概念（命題）并不像原來他所設(shè)想的那樣“不費(fèi)任何力氣”就可以得到。由于人類理智的弱點(diǎn)，人心中有許多虛假的信念將清楚明白的真理“遮蔽”了。如果要將真理的本來面目還原出來，就必須拂去真理身上的塵垢?？墒?，“去蔽返真”的工作非常艱巨，因?yàn)槟切┨摷俚男拍畹玫饺祟惛杏X和想象的有力支持。因此，他設(shè)想有一個(gè)與上帝同樣強(qiáng)大的“惡魔”故意用假象欺騙人類。為了清除虛假信念，必須找到一個(gè)有效的方法。笛卡爾認(rèn)為這個(gè)方法就是普遍的懷疑。也就是說，為了確保知識(shí)的可靠性，要對(duì)人類既有的一切知識(shí)加以懷疑，直至找到不容懷疑、清楚明白的真理為止。普遍懷疑的過程其實(shí)也就是歸納，其作用在于對(duì)各種觀點(diǎn)進(jìn)行去伙存真、正本清源。這種方法的本質(zhì)在于批判，“我思，所以我存在”的命題就是用普遍懷疑的方法發(fā)現(xiàn)出水的?！墩軐W(xué)原理》將普遍懷疑作為哲學(xué)的第一條原理。在笛卡爾哲學(xué)的方法論中，普遍懷疑不同于自覺方法。笛卡爾曾經(jīng)認(rèn)為，一切知識(shí)都有完全相同的性質(zhì)，它只在于將自明的東西結(jié)合起來?？蓪?shí)際情況是，那些所謂清楚明白的概念或命題是需要努力去發(fā)現(xiàn)的，它們很少自動(dòng)成為人人都同意的自知之明;再者，人們認(rèn)為最可靠、最真實(shí)的大部分信念并不是從所謂的自明直覺來的，而是從感覺來的。然而，一切證據(jù)都表明，感覺往往是騙人的，它不能成為真實(shí)信念的根據(jù)。鑒于此，笛卡爾放棄了原先將直覺命題當(dāng)作原始命題的設(shè)想，在后來的著作中沒有再用“直覺”一詞。盡管如此，普遍懷疑方法仍然與直覺方法具有同樣的指向，即都是為了達(dá)到清楚明白的真理，從而將自己與絕對(duì)的懷疑論者區(qū)分開來。他認(rèn)為他不是模仿只為懷疑而懷疑、自稱永遠(yuǎn)都無確信的懷疑論者，因?yàn)檎孟喾?，他打算為自己提供一個(gè)確信的良好根據(jù)，將流沙和淤泥除掉，為的是找到巖石和硬土。由此可見，笛卡爾的懷疑有自己的目標(biāo)和界限，并不是一個(gè)純粹的懷疑論者。從直覺和演繹到普遍懷疑，笛卡爾建立了自己的方法論體系。普遍懷疑方法克服了原來直覺概念的缺陷，完成了原來單靠直覺難以完成的確定演繹原始命題的任務(wù)。不僅如此，普遍懷疑的方法也蘊(yùn)含著深刻的理論內(nèi)涵，具有學(xué)理研究的意義。例如，它至少意味著，普遍懷疑并不是絕對(duì)的“否定”或“不確定性”，它至少可以具有“肯定”或“確定”的維度。這樣，笛卡爾為我們開辟了通向一切知識(shí)之明證的“純意識(shí)”領(lǐng)域的道路。笛卡爾將直覺與演繹當(dāng)作獲得真知識(shí)的唯一方法，并以普遍懷疑作為補(bǔ)充，自信地認(rèn)為人類可以達(dá)到理性范圍內(nèi)的切形而上學(xué)真理。他用自己的方法得出了一個(gè)重要命題：“我思故我在”。笛卡爾又從這個(gè)命題出發(fā)，論證了精神、上帝和物質(zhì)的存在和性質(zhì)的原理，笛卡爾說：“在真實(shí)的天賦觀念中，第一個(gè)主要的觀念就是上帝的觀念。因?yàn)槭聦?shí)上我以許多方式認(rèn)識(shí)到這個(gè)觀念并不是什么虛構(gòu)出來或提出來的東西，僅僅依賴我的思想，而是一個(gè)真實(shí)不變的本性的映像。”經(jīng)過普遍懷疑，他提出了著名的心物二元論觀點(diǎn)：精神的唯一屬性是思想，物質(zhì)的唯一屬性是廣延，精神與物質(zhì)是相互獨(dú)立的實(shí)體，任何一方都不能還原為另一方；因此，人的心靈可以獨(dú)立于身體而存在，它們各自服從于精神的或物質(zhì)的規(guī)律。既然心物二元，那如何說明心神的結(jié)合和相互作用呢?在這個(gè)問題上他的直覺和演繹方法陷入了困境。因?yàn)樗l(fā)現(xiàn)，“心身結(jié)合”不能簡單地還原為“心”或“身”的概念，因?yàn)樗桥c“心”和“身”都不相同的新概念?！靶纳斫Y(jié)合”涉及的是情感、欲望、感覺等活動(dòng)和屬性，它們既不能用心靈的特性（思想）來規(guī)定，也不能單用身體的特性（廣延）來規(guī)定，它們?cè)诒举|(zhì)上是感性的、情緒的、沖動(dòng)的，因此不能作為直覺和演繹的對(duì)象。如何解決“心身結(jié)合”導(dǎo)致的困境？笛卡爾方法發(fā)生了180度的大轉(zhuǎn)變：放棄直覺和演繹，轉(zhuǎn)而訴諸于他曾極力排斥的感覺。他認(rèn)為只有不懂哲學(xué)的普通人才會(huì)想到身心結(jié)合，研究哲學(xué)的人決不會(huì)想到的。盡管“心身結(jié)合”與“心”、“身”一樣是“清楚、明白”的原始概念，但理性思辨對(duì)它是無能為力的，它只能讓位于通俗的意見。笛卡爾的方法原則出現(xiàn)如此大的變化，反映了他的哲學(xué)體系的結(jié)構(gòu)上的缺陷。確定“心身”本性靠理智，理解“心身結(jié)合”靠感覺，對(duì)于一個(gè)嚴(yán)格的一以貫之的哲學(xué)體系來說，這種不一致不能不說是一個(gè)重大的疏漏。同時(shí)，笛卡爾方法原則上的變化也是近代自然科學(xué)中演繹推理與觀察實(shí)驗(yàn)兩種方法對(duì)立的反映。他推崇數(shù)學(xué)方法的精確性，并以數(shù)學(xué)方法為樣板構(gòu)建哲學(xué)方法的模型。在這個(gè)過程中，他將感覺經(jīng)驗(yàn)看作完全靠不住的東西加以排斥?？墒?，在“心身結(jié)合”問題上，他不能不承認(rèn)“心封結(jié)合”的概念是不能單靠形式演繹方法得出的。為了解決矛盾，他將“心身結(jié)合”問題歸人實(shí)證科學(xué)，借助感覺加以說明。雖然笛卡爾方法存在內(nèi)在矛盾，卻并不妨礙笛卡爾在西方哲學(xué)史上的突出地位。他的方法論有許多重要特點(diǎn)值得重視。第一，笛卡爾方法是典刑的理性主義方法，精神直觀在他的方法中占有極其重要的位置。他把直觀的清楚明白作為真理的標(biāo)準(zhǔn)，演繹，因而分析和綜合之所以是正確的，是因?yàn)樗鼈冏罱K都能歸結(jié)為直觀。雖然，笛卡爾并不否認(rèn)歸納的作用，但歸納法在其方法論中處于從屬地位，只是整個(gè)方法的補(bǔ)充形式。第二，笛卡爾的方法以他的天賦認(rèn)識(shí)能力思想為基礎(chǔ)。笛卡爾認(rèn)為，每個(gè)人都有著健全的理智、良知以及天賦的自然之光利理性之光。人的認(rèn)識(shí)能力是由理智、想象、記憶、感覺組成的，其中最主要的是理智?！袄碇谴_實(shí)能獨(dú)立感知真理，然而，他應(yīng)該依賴想象、感覺和記憶的幫助。”在人類的天賦認(rèn)識(shí)能力中，直覺和演繹的基礎(chǔ)是理智，而列舉或歸納的確實(shí)性則依賴于記憶。理智、感覺、想象和記憶是同一顆心靈的認(rèn)識(shí)能力的不同功能。第三，笛卡樂看到了實(shí)驗(yàn)的作用。作為一個(gè)很有成就的生理學(xué)家，笛卡爾親自做過解剖學(xué)和心理學(xué)實(shí)驗(yàn)。他的這種素養(yǎng)使他很重視實(shí)驗(yàn)的作用。因此，笛卡爾的理性主義不同于經(jīng)院哲學(xué)，而足以經(jīng)驗(yàn)、實(shí)驗(yàn)為前提。笛卡爾認(rèn)為，沒有從實(shí)驗(yàn)得來的材料就無從進(jìn)行直觀、分析或綜合，因?yàn)榉治?、綜合是對(duì)觀察材料的分析、綜合，他對(duì)那些忽視經(jīng)驗(yàn)而設(shè)想真理會(huì)從他們的大腦中跳出來的哲學(xué)家是很蔑視的。笛卡爾譏諷這類哲學(xué)家說：“他們像一個(gè)試圖蹦到房頂上去的人，要么是沒有想到幫他上房的梯子，要么是沒有看到這些梯子。所有的占星學(xué)家就是這樣行事的。他們雖然不懂天體的本性，甚至沒有對(duì)天體運(yùn)動(dòng)做過適當(dāng)?shù)挠^察，就期望著指出天體運(yùn)動(dòng)的結(jié)果。那些離開物理學(xué)來研究力學(xué)的人也是這樣，他們輕率地設(shè)計(jì)出產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)的新器械。與他們同出一轍的是那些哲學(xué)家，它們無視經(jīng)驗(yàn)，想象真理會(huì)從他們頭腦里產(chǎn)生出來，就像帕拉斯從宙斯的腦子里要出來一樣。”可以看出，就知識(shí)而言，笛卡爾注重的是經(jīng)驗(yàn)材料，以及認(rèn)識(shí)者加工、處理材料的方法。第四，笛卡爾賦于點(diǎn)及其坐標(biāo)以新的意義，明確地建立了含有兩個(gè)未知數(shù)的代數(shù)方程與曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系。笛卡爾在《幾何學(xué)》中還指出，容易把他的這一思想運(yùn)用到所有由一個(gè)點(diǎn)在三維空間中作規(guī)則運(yùn)動(dòng)時(shí)而產(chǎn)生的曲線。他明確指出，一個(gè)含三個(gè)未知數(shù)的方程所代表的是一個(gè)曲面。代數(shù)方程與曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系是坐標(biāo)幾何的主要的中心的思想。以研究笛卡爾著稱的英國數(shù)學(xué)史家斯科特(Scott)認(rèn)為，用方程表示曲線的思想應(yīng)歸功于費(fèi)馬。實(shí)際上，這一發(fā)現(xiàn)的優(yōu)先權(quán)的爭論與牛頓和萊布尼茲關(guān)于發(fā)現(xiàn)微積分的優(yōu)先權(quán)的爭論有類似的情況。首先，笛卡爾和費(fèi)馬研究坐標(biāo)幾何的方法、方式和目的都是不同的。可以斷定，他們是各自獨(dú)立完成的。費(fèi)馬用方程表示曲線的思想比笛卡爾的更為明顯，但他的工作普適性差，笛卡爾用方程表示曲線的思想雖被幾何作圖問題掩蓋了，但笛卡爾的方法是可普遍使用的，而且就潛力而論也適用于超越曲線,費(fèi)馬在1629年已發(fā)現(xiàn)了包括上述觀念的坐標(biāo)幾何的主要恿想，但他的著作直到I679年才出版，笛卡爾發(fā)現(xiàn)這一思想的時(shí)間似乎不太清楚，荷蘭數(shù)學(xué)家貝克曼(Beecman，1588~1637)把笛卡爾發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)幾何的時(shí)間追溯到1619年，笛卡爾的《幾何學(xué)》比費(fèi)馬的著作出版早得多.因此，比較公正的看法是，遺一思想的發(fā)現(xiàn)應(yīng)歸功于他們兩個(gè)人。順便指出，現(xiàn)在有的作者認(rèn)為，直角坐標(biāo)系是笛卡爾的發(fā)明。這是不真實(shí)的。實(shí)際上，笛卡爾沒有使用過直角坐標(biāo)系。李約瑟(1osephNeedham)認(rèn)為，中國自從有了數(shù)學(xué)以來，就一直是用一般化的代數(shù)形式來表示幾何問題，研究辦法全是代數(shù)，并認(rèn)為中國很早就認(rèn)識(shí)了幾何關(guān)系式與代數(shù)關(guān)系式的同一性。選恐怕是世界上最早的。這當(dāng)然是正確的。問題在于中國古代數(shù)學(xué)用代數(shù)所解決的問題只限于勾股問題與面積和體積問題，根本沒有涉及用代數(shù)方程表示曲線或曲面，并研究其性質(zhì)的問題。所以，中算家所認(rèn)識(shí)的那種同一性與笛卡爾的方程與曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系并不是一回事。史密斯認(rèn)為最早認(rèn)識(shí)到幾何關(guān)系式與代數(shù)式的同一性的是9-11世紀(jì)的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家。阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家確曾用代數(shù)解決過幾何問題，也用幾何解決過代數(shù)問題，也知道圓錐曲線，但并未認(rèn)識(shí)到兩個(gè)未知數(shù)的代數(shù)方程與曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系。由此可見，笛卡爾之前的數(shù)學(xué)家對(duì)這一對(duì)應(yīng)關(guān)系的認(rèn)識(shí)都沒有笛卡爾和費(fèi)馬那樣清楚。第五，笛卡爾不僅在西方把代數(shù)提高到重要地位，而且革新了代數(shù)工具，在完善代數(shù)工具的方向上，邁出了重要的一步，并用它卓有成效地研究了曲線及其性質(zhì)。笛卡爾對(duì)代數(shù)符號(hào)作了重要改進(jìn)，建立了新的符號(hào)體系。對(duì)代數(shù)作了一些有價(jià)值的推進(jìn)。他提出并證明了因式定理，提出了待定系數(shù)法，改進(jìn)了“笛卡爾符號(hào)法則”，等等。它用新的符號(hào)給出了代數(shù)和坐標(biāo)幾何的原理，明確認(rèn)識(shí)到代數(shù)計(jì)算不依賴于幾何，改變了進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)的總方向。M?克萊同認(rèn)為，笛卡爾的真正發(fā)現(xiàn)是代數(shù)方法的威力。這是因?yàn)閺南ＥD時(shí)代到1604年，在歐洲，幾何占據(jù)著至高無上的統(tǒng)治地位，代數(shù)只是幾何的附庸?！稁缀螌W(xué)》的出版為在歐洲倒換代數(shù)與幾何的作用鋪平了道路；在東方，特別是在中國，則不然。中算家對(duì)代數(shù)方法的巨大威力至少從《九章算術(shù)》問世時(shí)起，就有明確認(rèn)識(shí)。在中國古代數(shù)學(xué)中代數(shù)始終處于主導(dǎo)地位。笛卡爾擴(kuò)大了代數(shù)方法的虛用范圍。由于笛卡爾把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式的問題，大大推動(dòng)了曲線，特別是圓錐曲線的研究工作，開辟了一個(gè)解決數(shù)學(xué)問題的廣闊天地。不過，斯科特的下述結(jié)論是值得商榷的。斯科特曾說：“笛卡爾所真正取得的進(jìn)展是這樣一個(gè)事實(shí)：他證明了幾何問題可以歸結(jié)為代數(shù)形式的問題.在求解對(duì)可以運(yùn)用代數(shù)的全部方法。實(shí)際上，在笛卡爾以前，中算家已有了選種思想在歐洲，施白文也作出了回樣的結(jié)論笛卡爾推廣了曲線的概念，開辟了整個(gè)曲線領(lǐng)域。他排斥了古希臘人關(guān)于只有用直尺和圓規(guī)畫出的曲線才是存在的、合法的判別標(biāo)準(zhǔn)，并明確提出：幾何曲線是那些可用一個(gè)唯一的含x和y的有限次代數(shù)方程表示的曲線。這樣一來，給定任何一個(gè)含x和y的代數(shù)方程，人們就能求出它的曲線，從而得到一些全新的曲線。笛卡爾不僅使用了先進(jìn)的符號(hào)，而且使用了比任何前人都高明的技巧，開拓了一些嶄新的前置。笛卡爾把不同次數(shù)的幾條曲線同時(shí)表示在一個(gè)坐標(biāo)系中，并且這個(gè)坐標(biāo)孬至少對(duì)其中一條曲線具有特殊意義。如果兩條曲線以相同的軸和凡一個(gè)坐標(biāo)系為參考，則其交點(diǎn)由它們的方程之解來確定。這些都是其他人所沒有作過的。在代數(shù)式幫助下，笛卡爾的方法能迅速地證明關(guān)于曲線的任何事實(shí)。第六、笛卡爾把運(yùn)動(dòng)和辯證法引進(jìn)了數(shù)學(xué)，改變了數(shù)學(xué)的面貌。笛卡爾的《幾何學(xué)》把對(duì)立著的兩個(gè)對(duì)象“數(shù)”和“形”統(tǒng)一起來，建立了曲線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)一個(gè)含有被笛卡爾稱作“未知和未定的量”X和y的代數(shù)方程，如果任意給x一個(gè)值，從這個(gè)方程就可得到y(tǒng)的一個(gè)值；如果我們?nèi)o窮多個(gè)x值，就可得到無窮多個(gè)Y值，從而得到由x值和對(duì)應(yīng)的y值確定的無窮多個(gè)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)就描出了這個(gè)方程所代表的曲線。實(shí)際上，笛卡爾引入了變量的觀念：笛卡爾在指出y和x是“未知和未定的量”的時(shí)候，也注意到y(tǒng)依賴于X改變，這正是函數(shù)概念的萌芽。函數(shù)的坐標(biāo)圖示法是從笛卡爾的《幾何學(xué)》出版之后才開始通行起來。變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生大體上經(jīng)歷了兩個(gè)重大步驟：第一個(gè)步驟是解析幾何的產(chǎn)生，第二個(gè)步驟是微積