2022-2023學(xué)年安徽省宣城二中數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：12．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。12i已知izA．9i5C．1i

2i

1，則zB．1iD．iR的偶函數(shù)是（）yx21

yexex C．ylgxD．yx2x23．(3x3x4)(2 )8展開式中x2的系數(shù)為( )xA．－1280 B．4864 C．－4864 D．1280

fxx210x，x0lgx， lgx， x0

x的方程

fxaR

xi

i4

，其中xx1

x x3

，則x1

x2

x的取值范圍是（ ）4．101

．9

．100

．已知函數(shù)f(x)cosx與g(x)sin(2x)(0 )的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為的交點(diǎn)若函數(shù)g(x)的圖象的縱31坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁． A． 24 24 C．29,35 24 24

倍后，得到的函數(shù)在[0,2]有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是( ) B．29,35 24 24 D．29,35 24 24.某班級(jí)從3AAA和3BB2B中1 2 3 1 3各隨機(jī)選出兩名，把選出的4A

兩人組成一隊(duì)參加比賽的概率為1 1（ ）19

29

13

49已知中，角A、B所對(duì)的邊分別是a，b，則“ab是“AB”的（ ）充分不必要條件C

D．充分必要條件設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x)g(x)(x2x1，則f(1)g(1)（ ）A．1 B．0 C．1 D．3A|1x

1 B x|y B已知集合

， ，則 （ ）A．x|x5|x1x

x26x5 |5x|5x記等差數(shù)列

d，前nS

.S

40，a

5，則（ ）n n 10 6A．d3 B．a(chǎn)10

12 C．S20

280 D．a(chǎn)1

4做拋擲一枚骰子的試驗(yàn)，當(dāng)出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，假設(shè)骰子是質(zhì)地均勻則在3次這樣的試中成功次數(shù)X的期望為（ ）A． B． C．1 D．2zz 5

21i

i是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是+ + z的共軛復(fù)數(shù)為2 2z的實(shí)部與虛部之和為1 D．z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。已知橢圓Cx2y2

1ab0FFF的直線交橢圓CA

兩點(diǎn)，若a2 b2

1 2 1ABF2

90，且ABF2

的三邊長(zhǎng)BF2

，AB，AF2

成等差數(shù)列，則C的離心率為 .某中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)班共有10人分為甲乙兩個(gè)小組在一次階段測(cè)試中兩個(gè)小組成績(jī)的莖葉圖如圖所示若甲組5名同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為81，乙組5名同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為則x-y的值為 ．15．在(3x2

x)n的二項(xiàng)展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為1024，則展開式常數(shù)項(xiàng)的值等．16．給出以下式子：①tan25°+tan35° 3tan25°tan35°；②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)；1③1其中，結(jié)果為3的式子的序號(hào).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）

是數(shù)列n

的前n項(xiàng)和，且aSn n

1 1n n2.2 2求數(shù)列n

的通項(xiàng)公式；若b

2an

，求數(shù)列

中最小的項(xiàng).n n n18（12分）已知函數(shù)f(x)x2alnx1aR)f(x有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；g(x)exx2exf(x10x[1,恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19（12分）如圖，已知E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點(diǎn)，EF與AC交于點(diǎn)O，PA，NC都垂直ABCDPAAB4NC2MPA上一動(dòng)點(diǎn).MOEFNAMMP的值；MPAMEFN的體積.20（12分CABEFABEF平面ABC，ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，A/EF，ABE90BEEF1MBC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：EM//平面ACF；（Ⅱ）求二面角EBCF的余弦值．（Ⅲ）在線段EF上是否存在一點(diǎn)N，使直線CN 與平面BCF所成的角正弦值為

2121，若存在求出EN的長(zhǎng)，若不存在說明理由．

x2

y2 z2 2

x y z 221（12分）已知實(shí)數(shù)，，z滿足 ，證明： .1x2

1y2

1z2 1x2

1y2

1z222（10分）2019年春節(jié)期間，某超市準(zhǔn)備舉辦一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，若顧客一次消費(fèi)達(dá)到400.方案一：一個(gè)不透明的盒子中裝有30個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個(gè)紅球，20個(gè)白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機(jī)抽取一個(gè)球，若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券，若抽到白球則獲得20元的返金券，且顧客有放回地抽取3次.方案二：一個(gè)不透明的盒子中裝有30個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個(gè)紅球，20個(gè)白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機(jī)抽取一個(gè)球，若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券，若抽到白球則未中獎(jiǎng)，且顧客有放回地抽取3次.180元返金券的概率；.①試分別計(jì)算他選擇兩種抽獎(jiǎng)方案最終獲得返金券的數(shù)學(xué)期望；②為了吸引顧客消費(fèi)，讓顧客獲得更多金額的返金券，該超市應(yīng)選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案進(jìn)行促銷活動(dòng)？參考答案125601、B【解析】12i (12i)(2i) 2i4i2i2因?yàn)閦2i2、C

1

(2i)(2i)

1

5 11iz1iB．【解析】試題分析：A中，函數(shù)為偶函數(shù)，但y1，不滿足條件；B中，函數(shù)為奇函數(shù)，不滿足條件；C中，函數(shù)為偶函數(shù)且yR，滿足條件；D中，函數(shù)為偶函數(shù)，但y0，不滿足條件，故選C．考點(diǎn)：1、函數(shù)的奇偶性；2、函數(shù)的值域．3、A【解析】

1

12根據(jù)二項(xiàng)式展開式的公式得到具體為：

3x3

C127 x4C226 化簡(jiǎn)求值即可. 8 x 8 x【詳解】1根據(jù)二項(xiàng)式的展開式得到可以第一個(gè)括號(hào)里出3x3項(xiàng)，第二個(gè)括號(hào)里出x

項(xiàng)，或者第一個(gè)括號(hào)里出x4，第二個(gè)括號(hào)里1

1

12出 ，具體為：3x3

C127 x4C226 x2化簡(jiǎn)得到-1280A.【點(diǎn)睛】

8 x 8 x求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略：求展開式中的特定項(xiàng)可依據(jù)條件寫出第r1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可.可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第r1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r其參數(shù).4、B【解析】畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像知：xx

10，x

1，1x

1，計(jì)算得到答案.1 2【詳解】fxx210x，x0

34 10 3 lgx，x

，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知：xx

10，lgx

lgx

x

1，且1x

1.1 2

4 3

10 3故xxxx 10x1 .1 2 3 4 3 x3B.【點(diǎn)睛】5、A【解析】根據(jù)題意，cos

sin

π

g(xsin2x3 3

所以 66 6的取值范圍.【詳解】已知f(x)cosx與g(x)sin(2x)(0 )的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為的交點(diǎn)，3 則cos sin ，3 3 22

5, ，3 3 325，，3 6 6g(x)sin2x， 6 6g(x1

倍，則y

，所以當(dāng)x [0,2]時(shí)，2x

,，

sin2 x 6 66 6 6f(x)在[0,2]有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，629 3524 24629 3524 24

6，A.【點(diǎn)睛】6、B【解析】C2C2C1C1 A B

C1C1根據(jù)組合知識(shí)，計(jì)算出選出的4人分成兩隊(duì)混合雙打的總數(shù)為最后簡(jiǎn)單計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】3名男生、32C2C2

3 3 2A22

2，然后計(jì)算和1

1分在一組的數(shù)目為2 2，3 3C1C12名女生平均分為兩組：21A22C1C12名男生平均分為兩組：21A22則選出的4人分成兩隊(duì)混合雙打的總數(shù)為：C1C1

C1C1

C2C2C1C1C2C2 2 1

2 1A2 3 3 2 2183 3 A22

A2 2 A22 2AB分在一組的數(shù)目為C1C141 1 2 24所以所求的概率為 2418 9故選：B【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，對(duì)平均分組的問題要掌握公式，比如：平均分成mAm，即m!，審清題m意，細(xì)心計(jì)算，考驗(yàn)分析能力，屬中檔題.7、D【解析】由大邊對(duì)大角定理結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】AB所對(duì)的邊分別是a、babAB”，“AB”“ab”.因此，“ab”是“AB”的充分必要條件.D.【點(diǎn)睛】8、C【解析】f(x)g(xx1，即可求出?！驹斀狻縡(xg(x分別是定義在Rf(xg(x)(x2x1，用xx，得f(x)g(x)(x1)22x1 ，f(xg(x)(x1)22x1f(xg(x)2x1(x1)2x1f(1)g(1)2001。【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)奇偶性的應(yīng)用。9、D【解析】首先求出集合B，再根據(jù)補(bǔ)集的定義計(jì)算可得；【詳解】解：∵x26x50，解得1x5B|1x故選：D

Bx|5x24.A【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】由S 10

a1 2

105a5

a40，和a6

5，可求得a5

3，從而求得d

a1，再驗(yàn)證選項(xiàng).【詳解】因?yàn)镾 10

a1 2

105aa5 6

40，a 5，6所以解得a5

3，所以daa6 5

2，所以a10

a 4d5813，a6

a4d385，S5

20a1

190d100380280，C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n11、C【解析】每一次成功的概率為【詳解】

，服從二項(xiàng)分布，計(jì)算得到答案.每一次成功的概率為 ，服從二項(xiàng)分布，故 .故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)分布求數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.12、D【解析】z【詳解】

13i，在根據(jù)復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的概念等即可得到結(jié)論．2 22i i1i 11 3z

1

ii

1i2

i，2 21 3 10 1 3則z

( )2( )2

，z的共軛復(fù)數(shù)為z i，2 2 2 2 2z的實(shí)部與虛部之和為2z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限，故選D．【點(diǎn)睛】再將分母實(shí)數(shù)化，其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)abi(a,bR的實(shí)部為a、虛部為b、模為a2b2、對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(ababi．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。213、2【解析】設(shè)BF2

x，ABxd，AF2

x2d，根據(jù)勾股定理得出x，而由橢圓的定義得出ABF2

的周長(zhǎng)為4a，有a3d，便可求出a和c的關(guān)系，即可求得橢圓的離心率.【詳解】解：由已知，ABF2

BF2

，AB ，AF2

成等差數(shù)列，設(shè)BF2

x，ABxd，AF2

x2d，而ABF2

90，根據(jù)勾股定理有：x2xd

x2d2，解得：x3d，由橢圓定義知：ABF2

的周長(zhǎng)為4a，有a3d，BF2

aBF，1在直角BF2

F2a21

c214c2，即： ，1a2 2∴離心率e

c2 2.a2 2故答案為：2.2【點(diǎn)睛】14【解析】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合平均數(shù)與中位數(shù)的概念，求出x、y的值.【詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，得：甲班5名同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為1(727780x8690)81，5解得x0；又乙班5名同學(xué)的中位數(shù)為73，則y3；xy033.故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖及根據(jù)莖葉圖計(jì)算中位數(shù)、平均數(shù)，考查數(shù)據(jù)分析能力，屬于簡(jiǎn)單題.15、15【解析】利用展開式所有項(xiàng)系數(shù)的和得n=5,再利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求得展開式中的常數(shù)項(xiàng).【詳解】3 n因?yàn)閤2

x4n=1024,n=5,3 x5

5-r

5r

5r100故x2

的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C·3 x2

,2

,解得r=4,可得常數(shù)項(xiàng)為T5=C·3=15,故填15.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于中檔題.16、①②③【解析】由已知分別結(jié)合和差角的正切及正弦余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】①∵tan60°＝tan（25°+35°）tan25tan35 3，1tan25tan35tan25°+tan35° 3tan25°tan35°； 3tan25tan35 3tan25°tan35°， 3，②（sin35cos25+cos35cos65）＝（sin35cos25+cos35sin25，＝2sin60° 3；1tan15③

tan45

tan（45°+15°）＝tan60° 3；11tan45tan45故答案為：①②③【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和與差的三角公式在三角化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于中檔試題.n三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（）a n（）7.n【解析】由a S

1 1 n n2可得出a S

1n1n2，兩式作差可求得數(shù)列

的通項(xiàng)公式；n n 2 2

n1

n1 2 2 n求得bn

2n

5n，利用數(shù)列的單調(diào)性的定義判斷數(shù)列n

的單調(diào)性，由此可求得數(shù)列bn

的最小項(xiàng)的值.【詳解】對(duì)任意的nN，由a Sn n

1 1n n2得2 2

n1

Sn1

1n1n2，2 2兩式相減得a n，n因此，數(shù)列a的通項(xiàng)公式為a

n；n由（1）得bn

2n

n5n，則b bn1

2n15n2n5n2n5.n1bn0，即bnn1bn0，即bn1

b，bbn 1 2

b；3當(dāng)n3時(shí)，b bn1 n

0，即bn1

b，bbn 3

b.5.所以，數(shù)列b的最小項(xiàng)為b

23537.n 3【點(diǎn)睛】S a本題考查利用n與n的關(guān)系求通項(xiàng)，同時(shí)也考查了利用數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列中的最小項(xiàng)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.18（）(,0]{2}（）[0,).【解析】f(x

2x2ax

，討論a0a0f(x)

min

f(

a)，再討論2a2a2a21， 1， 1a2a2a2g(x)

aex

e,g(x)ex

a，討論a0，a0兩種情況，分別計(jì)算單調(diào)性得到函數(shù)最值，得到答案.【詳解】

x x22x2a（1）f(x)x2alnx1,f(x) ，x①當(dāng)a0時(shí)f(x)0恒成立，所以f(x)單調(diào)遞增，因?yàn)閒(1)0，所以f(x)有唯一零點(diǎn)，即a0符合題意；a2②當(dāng)a0時(shí)，令f(x)0,x a2a2 a aa2函數(shù)在0, 上單調(diào)遞減，在 ,上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x) f( )。 2

min 2a2a2

1,a2,f(x)

min

f(1)0所以a2符合題意，a2a2

1,0a2f(

a)f(1)0，aa2aaa,fa,

1)

211

210,e

11，故存在

aax(ea111

a)2

f(x1

)f(1)

所以0a2

不符題意a2a2

1,a2時(shí)f( )f(1)0，a2f(a1)(a1)2aln(a1)1a(a2ln(a1))，a1t1,a2ln(a1)t1lnta2a2所以h(t)110,h(t)單調(diào)遞增，即h(t)h(1)0,f(a1)0,a1 ，a2t故存在x2

( aa1)f(x2

f(1)0,a2，不符題意；綜上，a的取值范圍為(,0]{2}。a a（2）g(x)alnxexexg(x) exe,g(x)ex 。x x2①當(dāng)a0g(x)0g(x)g(x)g(1)0，a0符合題意；②當(dāng)a0 時(shí)，g(x)0恒成立，所以g(x)單調(diào)遞增，又因?yàn)間(1)a0,g(ln(ea) a

a

a(1ln(ea))

0，ln(ea) ln(ea)所以存在x0

(1,ln(eag(x0

0x(1,x0

)時(shí)，g(x)0。g(x在(1,xg(xg(1)0,a0，不符題意。0 0a的取值范圍為[0,.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，恒成立問題，意在考查學(xué)生的分類討論能力和綜合應(yīng)用能力.19（1）AMMP3.（2）163【解析】利用線面垂直的性質(zhì)得出MOON，進(jìn)而得出AMMP的值；

△OCN，利用相似三角形的性質(zhì)，得出AM，從而利用線面垂直的判定定理得出EFACN，進(jìn)而得出四面體MEFN的體積V1EFS

，計(jì)算出EFSMEFN的體積.【詳解】因?yàn)镸O平面EFN，ON平面EFN，所以MOON又因?yàn)镻A，NC都垂直于平面ABCD，所以EFABCDBCCDPAAB4NC2

3 △MONAM所以

AO

3

AM3OC NC 2 2AM:MP3.EFABCDBCCDEFAC又因?yàn)镻A，NC都垂直于平面ABCD，EF平面ABCD，所以EFCN因?yàn)锳CNCC,AC,NC平面ACN，所以EF平面ACN所以，四面體MEFN的體積V1EFSEF2 2，S△MON

314 224 2

△MON所以V16.3【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，以及求棱錐的體積，屬于中檔題.2 20（Ⅰ）（Ⅱ）7

（Ⅲ）線段EF上是存在一點(diǎn)N，|EN1

2，使直線CN 與平面BCF 所成221的角正弦值為 .2121【解析】（Ⅰ）ACPMPFPEFPMFP//EMEM//平ACF;（Ⅱ）AB中點(diǎn)O，連結(jié)COFOFOABCOCAB，以O(shè)OCx軸，OB為yOF為zEBCF的余弦值（Ⅲ假設(shè)在線段EF上是存在一點(diǎn)N，使直線CN 與平面BCF所成的角正弦值為

，設(shè)ENt．利用向量法能求出結(jié)果．212121【詳解】（Ⅰ）證明：取AC中點(diǎn)P，連結(jié)MP、FP，ABC2AB//EFABE90BEEF1MBC的中點(diǎn)，EF//MP，EFPM是平行四邊形，F(xiàn)P//EM，EM平面ACF，F(xiàn)P平面ACF，EM//ACF．（Ⅱ）AB中點(diǎn)O，連結(jié)COFO，在四棱柱CABEFABEFABC2的等邊三角形，AB//EFABE90BEEF1MBC的中點(diǎn)，F(xiàn)OABCOCAB，以O(shè)OCxOByOFz軸，建立空間直角坐標(biāo)系，3B(0，1，0)，C( ，0，0)，E(0，1，1)，F(xiàn)(0，0，1)，3BC( 310)BE(0，0，1)BF(01，1)，BCEn(xyz，BC( 3·BC 3xy0則 ，取x1，得n(1，3，0)，·BEz0設(shè)平面BCF 的法向量m(a，b，c)，·BC ab0則 ，取a1，得m(1,3, 3)，·BFbc0設(shè)二面角EBCF的平面角為，|mn||m||mn||m||n|44 2 777二面角EBCF的余弦值為2 7．7（Ⅲ）解：假設(shè)在線段EF上是存在一點(diǎn)N，使直線CN與平面BCF所成的角正弦值則N(0，1t，1)，CN( 3，1t，1)，平面BCF的法向量m(1, 3, 3)，

21，設(shè)|EN|t．21|cosCN,m||CNm||CN||m|解得t1 2，2

| 3 |4(1t)2

21，21線段EF上是存在一點(diǎn)N，|EN|1 2，使直線CN與平面BCF所成的角正弦值為21．2 21【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查滿足正弦值的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．21、見解析【解析】x2已知條件

y2 z2

2，需要證明的是x

y z

2，要想利用柯西不等式，需要1x2

1y2

1z2 1x2

1y2

1z2x2

y2

z2 x2的值，發(fā)現(xiàn)

y2 z2

3 x2

y2

z2

，則可以用柯西不等式.1x2 1y2 1z2

1x2 1y2 1z2

1x2

1y2

1z2【