專(zhuān)題6：橢圓的離心率問(wèn)題

第第頁(yè)參考答案1．A【分析】結(jié)合圖像，利用點(diǎn)坐標(biāo)以及重心性質(zhì)，得到G點(diǎn)坐標(biāo)，再由題目條件軸，得到點(diǎn)橫坐標(biāo)，然后兩次運(yùn)用角平分線(xiàn)的相關(guān)性質(zhì)得到的比值，再結(jié)合與相似，即可求得點(diǎn)縱坐標(biāo)，也就是內(nèi)切圓半徑，再利用等面積法建立關(guān)于的關(guān)系式，從而求得橢圓離心率.【解析】如圖，令點(diǎn)在第一象限（由橢圓對(duì)稱(chēng)性，其他位置同理），連接，顯然點(diǎn)在上，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，軸，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，則，因?yàn)闉榈闹匦?，所以，因?yàn)檩S，所以點(diǎn)橫坐標(biāo)也為，，因?yàn)闉榈慕瞧椒志€(xiàn)，則有，又因?yàn)?，所以可得，又由角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得，，而所以得，所以，，所以，即，因?yàn)榧?，解得，所以答案為A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離心率求解，關(guān)鍵是利用等面積法建立關(guān)于的關(guān)系式，同時(shí)也考查了重心坐標(biāo)公式，以及內(nèi)心的性質(zhì)應(yīng)用，屬于難題.橢圓離心率求解方法主要有：（1）根據(jù)題目條件求出，利用離心率公式直接求解.（2）建立的齊次等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合.2．B【分析】分別設(shè)內(nèi)外層橢圓方程為、，進(jìn)而設(shè)切線(xiàn)、分別為、，聯(lián)立方程組整理并結(jié)合求、關(guān)于a、b、m的關(guān)系式，再結(jié)合已知得到a、b的齊次方程求離心率即可.【解析】若內(nèi)層橢圓方程為，由離心率相同，可設(shè)外層橢圓方程為，∴，設(shè)切線(xiàn)為，切線(xiàn)為，∴，整理得，由知：，整理得，同理，，可得，∴，即，故.故選：B.【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)內(nèi)外橢圓的離心率相同設(shè)橢圓方程，并寫(xiě)出切線(xiàn)方程，聯(lián)立方程結(jié)合及已知條件，得到橢圓參數(shù)的齊次方程求離心率.3．C【分析】由題設(shè)，利用為的重心，求出線(xiàn)段的中點(diǎn)為，將B代入直線(xiàn)方程得，再利用點(diǎn)差法可得，結(jié)合，可求出，進(jìn)而求出離心率.【解析】由題設(shè)，則線(xiàn)段的中點(diǎn)為，由三角形重心的性質(zhì)知，即，解得：即代入直線(xiàn)，得①.又B為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則，又為橢圓上兩點(diǎn)，，以上兩式相減得，所以，化簡(jiǎn)得②由①②及，解得：，即離心率.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查求橢圓的離心率，求解離心率在圓錐曲線(xiàn)的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出；②構(gòu)造的齊次式，求出；③采用離心率的定義以及圓錐曲線(xiàn)的定義來(lái)求解；④根據(jù)圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義求解．4．B【分析】利用正弦定理得到，再利用橢圓的定義，設(shè)，，得到，結(jié)合余弦定理，得到，即得解.【解析】橢圓的焦點(diǎn)為，，根據(jù)正弦定理可得∴，.設(shè)，，則，由余弦定理得，∴，∴，又，∴即，故，解得：或（舍）.故選：.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的性質(zhì)綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.5．A【分析】設(shè)橢圓方程為，雙曲線(xiàn)方程為，焦距為由橢圓和雙曲線(xiàn)的定義，不妨設(shè)在第一象限，求出為焦點(diǎn)），在中利用余弦定理，求出關(guān)系，進(jìn)而得出橢圓與雙曲線(xiàn)的離心率關(guān)系，利用三角換元，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性，即可求解.【解析】設(shè)橢圓方程為，雙曲線(xiàn)方程為，左右焦點(diǎn)分別為不妨設(shè)在第一象限，，得，在中，，即，設(shè)橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率分別為，設(shè)，取，，當(dāng)時(shí)，取得最大值為.故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓與雙曲線(xiàn)的定義和性質(zhì)，利用余弦定理和三角換元是解題的關(guān)鍵，屬于較難題.6．A【分析】首先根據(jù)橢圓定義可知，根據(jù)余弦定理，再根據(jù)，根據(jù)這三個(gè)式子的變形得到和，最后求離心率.【解析】由橢圓的定義，得，平方得①.由，②，是銳角，由余弦定理得③，-③得④由②④，得，是銳角，，即且.由②③可知⑤由①⑤可得，，，即，.則橢圓離心率的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查求橢圓的離心率，已知考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想和變形，計(jì)算能力，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵和難點(diǎn)是三個(gè)式子的變形，得到關(guān)于的不等式關(guān)系.7．A【分析】由題意，設(shè)Q（x0，y0），由G為△F1QF2的重心，得G點(diǎn)坐標(biāo)為（，），利用面積相等可得，×2c?|y0|=（2a+2c）||，從而求橢圓的離心率．【解析】橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），設(shè)Q（x0，y0），∵G為△F1QF2的重心，∴G點(diǎn)坐標(biāo)為G（，），∵，則∥，∴I的縱坐標(biāo)為，又∵|QF1|+|QF2|=2a，|F1F2|=2c，∴=?|F1F2|?|y0|，又∵I為△F1QF2的內(nèi)心，∴||即為內(nèi)切圓的半徑，內(nèi)心I把△F1QF2分為三個(gè)底分別為△F1MF2的三邊，高為內(nèi)切圓半徑的小三角形，∴=（|QF1|+|F1F2|+|QF2|）||，即×2c?|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴橢圓C的離心率為e=，∴該橢圓的離心率，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、三角形的重心與內(nèi)心的性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式、向量共線(xiàn)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．8．【分析】首先找到特殊位置，即取P在上頂點(diǎn)時(shí)，內(nèi)心和重心都在y軸上，由于內(nèi)心和重心連線(xiàn)的斜率不隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化，可得：GI始終垂直于x軸，可得內(nèi)切圓半徑為y0，再利用等面積法列式解方程可得：.【解析】當(dāng)直線(xiàn)IG的傾斜角不隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化時(shí)，取P特殊情況在上頂點(diǎn)時(shí)，內(nèi)切圓的圓心在y軸上，重心也在y軸上，由此可得不論P(yáng)在何處，GI始終垂直于x軸，設(shè)內(nèi)切圓與邊的切點(diǎn)分別為Q，N，A，如圖所示：設(shè)P在第一象限，坐標(biāo)為：（x0，y0）連接PO，則重心G在PO上，連接PI并延長(zhǎng)交x軸于M點(diǎn)，連接GI并延長(zhǎng)交x軸于N，則GN⊥x軸，作PE垂直于x軸交于E，可得重心G（，）所以I的橫坐標(biāo)也為，|ON|，由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，PG=PA，F(xiàn)1Q=F1N，NF2=AF2，所以PF1﹣PF2=（PG+QF1）﹣（PA+AF2）=F1N﹣NF2=（F1O+ON）﹣（OF2﹣ON）=2ON，而PF1+PF2=2a，所以PF1=a，PF2=a，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得，所以可得OM，所以可得MN=ON﹣OM，所以ME=OE﹣OM=x0，所以，即INPEy0，（PF1+F1F2+PF2）IN，即（2a+2c），所以整理為：，故答案為：.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求橢圓的離心率，考查了內(nèi)心和重心的概念，考查了轉(zhuǎn)化思想和較強(qiáng)的計(jì)算能力，其方法為根據(jù)條件得到關(guān)于，，的齊次式，化簡(jiǎn)可得.本題屬于難題.9．【分析】利用已知條件和幾何關(guān)系找出圓錐母線(xiàn)與軸的夾角為，截面與軸的夾角為的余弦值，即可得出橢圓離心率．【解析】如圖，圓錐面與其內(nèi)切球，分別相切與，連接,則，，過(guò)作垂直于，連接，交于點(diǎn)C設(shè)圓錐母線(xiàn)與軸的夾角為，截面與軸的夾角為.

在中，，解得即則橢圓的離心率【點(diǎn)評(píng)】“雙球模型”橢圓離心率等于截面與軸的交角的余弦與圓錐母線(xiàn)與軸的夾角的余弦之比，即．10．【分析】設(shè)出的坐標(biāo),得到(用,表示)，求出，令，則，利用導(dǎo)數(shù)求得使取最小值的，可得，則橢圓離心率可求．【解析】解：，，設(shè)，，則，則，，，，令，則．，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值．．，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、關(guān)鍵利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值．11．，【分析】設(shè)方程為，聯(lián)立方程組求出，坐標(biāo)，進(jìn)而得出，的坐標(biāo)，由列方程得到關(guān)于的方程，令此方程有解得出，，的關(guān)系，從而得出離心率的范圍．【解析】設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組，消元得，，，，，又，，是，的中點(diǎn)，，，，，以為直徑的圓恰經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，，，即，，，即，存在符合條件的直線(xiàn)，使得，關(guān)于的方程有解，，即，，，，又，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】離心率的求解在圓錐曲線(xiàn)的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，求離心率范圍應(yīng)先將用有關(guān)的一些量表示出來(lái)，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的不等式，從而求出的范圍.12．【分析】設(shè)點(diǎn)，，坐標(biāo)分別為，則根據(jù)題意有，分別將點(diǎn)，，的坐標(biāo)代入橢圓方程得，然后聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，利用韋達(dá)定理得到和的值，代入得到關(guān)于的齊次式，然后解出離心率.【解析】設(shè)，，坐標(biāo)分別為，因?yàn)榈闹匦那『檬亲鴺?biāo)原點(diǎn)，則，則，代入橢圓方程可得，其中，所以……①因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，且過(guò)左焦點(diǎn)，則的方程為：，聯(lián)立方程消去可得：，所以，……②所以……③，將②③代入①得，從而.故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的離心率求解問(wèn)題，難度較大.解答時(shí),注意，，三點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，注意韋達(dá)定理在解題中的運(yùn)用.13．【分析】由題意，設(shè)橢圓，，，，的中點(diǎn)為，由在內(nèi)，可得不等式，從而得到關(guān)于的不等式，解不等式可得的取值范圍，從而求得離心率的范圍.【解析】由題意，設(shè)橢圓，，，，的中點(diǎn)為，則，，兩式相減得，，而，.所以，所在直線(xiàn)的斜率，由，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)，故①，又在上，所以②，聯(lián)立①與②的方程，解得，，.由題意，在內(nèi)，可得，化簡(jiǎn)，即，解得或.令橢圓的離心率為，當(dāng)時(shí)，的焦點(diǎn)在上，，即，故，所以；當(dāng)時(shí)，的焦點(diǎn)在上，，即，故，所以.由于，所以的離心率的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓與直線(xiàn)方程、離心率等綜合知識(shí)以及推理論證與運(yùn)算求解能力.14．【分析】首先設(shè)，過(guò)點(diǎn)切線(xiàn)為，根據(jù)直線(xiàn)與橢圓相切，聯(lián)立得到，因?yàn)?，得到，?從而得到到直線(xiàn)的距離為，利用點(diǎn)到距離的公式即可求出，再求離心率即可.【解析】設(shè)，過(guò)點(diǎn)切線(xiàn)為，由題知：聯(lián)立，因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓相切，所以，整理得：.設(shè)切線(xiàn)，的斜率分別為，，因?yàn)?，所以，?所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，即到直線(xiàn)的距離為.，解得.又因?yàn)椋裕?故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離心率的求法，同時(shí)考查了直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，屬于難題.15．【分析】設(shè)，設(shè)出直線(xiàn)AB的參數(shù)方程，利用參數(shù)的幾何意義可得,由題意得到，據(jù)此求得離心率的取值范圍.【解析】設(shè)，直線(xiàn)AB的參數(shù)方程為，(為參數(shù))代入圓，化簡(jiǎn)得：，，，，存在點(diǎn)，使得，，即，，，，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了橢圓離心率取值范圍的求解，考查直線(xiàn)、圓與橢圓的綜合運(yùn)用，考查直線(xiàn)參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于中檔題.16．【分析】的軌跡方程為：，聯(lián)立方程化簡(jiǎn)得到，根據(jù)對(duì)應(yīng)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸計(jì)算得到答案.【解析】橢圓上存在點(diǎn)M使，即的軌跡方程為：.聯(lián)立方程，化簡(jiǎn)得到.易知：是方程的解，且時(shí)，.方程在上有解，只需滿(mǎn)足：，解得.故答案為：.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的離心率問(wèn)題，確定的軌跡方程是解題的關(guān)鍵.17．【分析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線(xiàn)的半實(shí)軸長(zhǎng)，焦距．由橢圓及雙曲線(xiàn)定義用，表示出，，在△中根據(jù)余弦定理可得到，與的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為離心率，再由基本不等式得結(jié)論．【解析】解：如圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線(xiàn)的半實(shí)軸長(zhǎng)為，則根據(jù)橢圓及雙曲線(xiàn)的定義：，，，，設(shè)，，則：在△中由余弦定理得，，化簡(jiǎn)得：，即，又，，即，即橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率乘積的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐曲線(xiàn)的共同特征，考查通過(guò)橢圓與雙曲線(xiàn)的定義求焦點(diǎn)三角形三邊長(zhǎng)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)所得出的條件靈活變形，求出焦點(diǎn)三角形的邊長(zhǎng)，屬于中檔題．18．【解析】【分析】由題意設(shè)焦距為2c，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)