解線性方程組的迭代法

關于解線性方程組的迭代法第1頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六1引言我們知道，凡是迭代法都有一個收斂問題，有時某種方法對一類方程組迭代收斂，而對另一類方程組進行迭代時就會發(fā)散。一個收斂的迭代法不僅具有程序設計簡單，適于自動計算，而且較直接法更少的計算量就可獲得滿意的解。因此，迭代法亦是求解線性方程組，尤其是求解具有大型稀疏矩陣的線性方程組的重要方法之一。 6.1迭代法的基本概念第2頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六2迭代法的基本思想

迭代法的基本思想是將線性方程組轉化為便于迭代的等價方程組，對任選一組初始值，按某種計算規(guī)則，不斷地對所得到的值進行修正，最終獲得滿足精度要求的方程組的近似解。

迭代法的基本思想設非奇異，，則線性方程組

有惟一解，經過變換構造出一個等價同解方程組第3頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六將上式改寫成迭代式選定初始向量,反復不斷地使用迭代式逐步逼近方程組的精確解,直到滿足精度要求為止。這種方法稱為迭代法如果存在極限

則稱迭代法是收斂的，否則就是發(fā)散的。迭代法的基本思想第4頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六收斂時，在迭代公式中當時，,則,故是方程組的解。對于給定的方程組可以構造各種迭代公式。并非全部收斂

迭代法的基本思想第5頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六例1用迭代法求解線性方程組

解構造方程組的等價方程組據此建立迭代公式取計算得例題第6頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六例題迭代解離精確解越來越遠迭代不收斂

第7頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六1雅可比（Jacobi）迭代法1.雅可比迭代法算法構造

6.2雅可比迭代法與高斯-賽德爾迭代法例2用雅可比迭代法求解方程組第8頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六例題解：從方程組的三個方程中分離出和第9頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六例題建立迭代公式取初始向量進行迭代,可以逐步得出一個近似解的序列：（k=1,2,…）第10頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六直到求得的近似解能達到預先要求的精度，則迭代過程終止，以最后得到的近似解作為線性方程組的解。當迭代到第10次有計算結果表明，此迭代過程收斂于方程組的精確解x*=(3,2,1)T。

例題第11頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六寫成例題考察一般的方程組，將n元線性方程組

第12頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六13若,分離出變量例題據此建立迭代公式上式稱為解方程組的Jacobi迭代公式。第13頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六2.雅可比迭代法的矩陣表示

設方程組的系數矩陣A非奇異，且主對角元素，則可將A分裂成記作A=L+D+U雅可比（Jacobi）迭代法第14頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六則等價于即因為

，則這樣便得到一個迭代公式雅可比（Jacobi）迭代法第15頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六其中

雅可比（Jacobi）迭代法稱為雅可比迭代公式,B稱為雅可比迭代矩陣則有（k=0,1,2…）令第16頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六雅可比迭代矩陣表示法，主要是用來討論其收斂性，實際計算中，要用雅可比迭代法公式的分量形式。即

雅可比（Jacobi）迭代法在例2中,由迭代公式寫出雅可比迭代矩陣為第17頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六雅可比（Jacobi）迭代法(k=0,1,2,…)第18頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六3高斯-塞德爾（Gauss-Seidel）迭代法1.高斯-塞德爾迭代法的基本思想在Jacobi迭代法中，每次迭代只用到前一次的迭代值，若每次迭代充分利用當前最新的迭代值，即在求時用新分量代替舊分量,就得到高斯-賽德爾迭代法。其迭代法格式為：

高斯-賽德爾迭代法(i=1,2,…,n

k=0,1,2,…)第19頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六例3用GaussSeidel迭代格式解方程組精確要求為ε=0.005

解GaussSeidel迭代格式為例題第20頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六例題取初始迭代向量,迭代結果為：x*≈第21頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六2.Gauss—Seidel迭代法的矩陣表示

將A分裂成A=L+D+U，則等價于

(L+D+U)x=b，于是,則高斯—塞德爾迭代過程因為,所以則高斯-塞德爾迭代形式為：故令高斯-賽德爾迭代法第22頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六我們知道,對于給定的方程組可以構造成簡單迭代公式、雅可比迭代公式、高斯-塞德爾迭代公式，但并非一定收斂?，F(xiàn)在分析它們的收斂性。對于方程組經過等價變換構造出的等價方程組在什么條件下迭代序列收斂？迭代法的收斂性第23頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六定理1迭代公式收斂的充分必要條件是迭代矩陣G的譜半徑。迭代法的收斂性第24頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六由此定理可知，不論是雅可比迭代法、高斯—塞德爾迭代法還是簡單迭代法，它們收斂的充要條件是其迭代矩陣的譜半徑

。

事實上,在例1中,迭代矩陣G=，其特征多項式為,特征值為-2，-3，,所以迭代發(fā)散

迭代法的收斂性第25頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六定理2(迭代法收斂的充分條件)若迭代矩陣G的一種范數,則迭代公式收斂。迭代法的收斂性第26頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六例5已知線性方程組考察用Jacobi迭代和G-S迭代求解時的收斂性解:⑴雅可比迭代矩陣例題第27頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六⑵將系數矩陣分解則高斯-塞德爾迭代矩陣例題故Jacobi迭代收斂第28頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六故高斯—塞德爾迭代收斂。

例題第29頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六定理3設n階方陣為對角占優(yōu)陣,則非奇異。（證明省略）迭代法的收斂性系數矩陣為對角占優(yōu)陣的線性方程組稱作對角占優(yōu)方程組。第30頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六定理4對角占優(yōu)線性方程組的雅可比迭代公式和高斯-賽德爾迭代公式均收斂。迭代法的收斂性第31頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六定理5若方程組的系數矩陣A是對稱正定的，

則G－S迭代法收斂。迭代法的收斂性第32頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六例6設求解線性方程組的雅可比迭代

求證當<1時,相應的高斯-塞德爾迭代收斂例題第33頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六34證:由于B是雅可比迭代的迭代矩陣,故有例題第34頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六∴系數矩陣為對角占優(yōu)陣,故G-S迭代收斂例題則又<1,故有第35頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六例7設,證明,求解方程組的Jacobi迭代與G-S迭代同時收斂或發(fā)散例題第36頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六37證:雅可比迭代矩陣例題其譜半徑第37頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六G-S迭代矩陣其譜半徑顯然,和同時小于、等于或大于1,因而Jacobi迭代法與G-S迭代法具有相同的收斂性例題第38頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六例9考察用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法解線性方程組Ax=b的收斂性，其中例題第39頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六40解：先計算迭代矩陣例題雅可比矩陣第40頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六求特征值例題(B)=0<1∴用雅可比迭代法求解時，迭代過程收斂第41頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六例題高斯-塞德爾迭代矩陣第42頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六例題1=0,2=2,3=2(G1)=2>1

∴用高斯-塞德爾迭代法求解時，迭代過程發(fā)散求特征值第43頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六例12討論用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法解線性方程組Ax=b的收斂性。例題第44頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六45解：先計算迭代矩陣例題雅可比矩陣第45頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六求特征值例題1=-1，2,3=1/2

(B)=1∴用雅可比迭代法求解時，迭代過程不收斂第46頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六求特征值高斯-塞德爾迭代矩陣例題第47頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六例題1=0,(G1)=0.3536<1∴用高斯-塞德爾迭代法求解時，迭代過程收斂第48頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六求解AX=b,當取何值時迭代收斂？

例13給定線性方程組AX=b

用迭代公式X(K+1)=X(K)+(b-AX(K))(k=0,1,…）例題第49頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六50解:所給迭代公式的迭代矩陣為例題第50頁，共55頁，2022年，5月20日，6點8分，星期六即2-(2-5)+1-5+4

2=0

2-(2-5)+(1-)(1-4)=0

[-(1-)][-(1-4)]=0

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