高考數(shù)學(xué)理一輪總復(fù)習(xí)特效提高題庫133直接證明與間接證明(含答案解析)

13.3直接證明與間接證明一、選擇題“所有9的倍數(shù)都是3的倍數(shù)，某奇數(shù)是9的倍數(shù)，故該奇數(shù)是3的倍數(shù).”上述推理()A小前提錯(cuò)B結(jié)論錯(cuò)C正確D大前提錯(cuò)解析大前提，小前提都正確，推理正確，應(yīng)選C.答案C．在用反證法證明命題“已知a、b、c∈(0,2)，求證a－b、b－c、c(22(2)(2)a不能能都大于”時(shí)，反證時(shí)假設(shè)正確的選項(xiàng)是()－)1．假設(shè)a(2－b、b－c、c(2－a都小于1A)(2))B．假設(shè)a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都大于1C．假設(shè)a(2－b、b－c、c(2－a都不大于1)(2))D．以上都不對(duì)解析“不能能都大于1”的否定是“都大于1”，應(yīng)選B.答案B3．以下命題中的假命題是()．A．三角形中最少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°B．周圍體的三組對(duì)棱都是異面直線C．閉區(qū)間[a，b]上的單調(diào)函數(shù)f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)D．設(shè)a，b∈Z，若a＋b是奇數(shù)，則a，b中最少有一個(gè)為奇數(shù)解析a＋b為奇數(shù)?a，b中有一個(gè)為奇數(shù)，另一個(gè)為偶數(shù)，故D錯(cuò)誤．答案D4．命題“若是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－3n，那么數(shù)列{an}必然是等差數(shù)列”可否成立()．A．不成立B．成立C．不能夠判斷D．能判斷解析∵Sn＝2n2－3n，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，an＝Sn－Sn－1＝4n－5(n＝1時(shí)，a1＝S1＝－1吻合上式)．又∵an＋1－an＝4(n≥1)，{an}是等差數(shù)列．答案B1115．設(shè)a、b、c均為正實(shí)數(shù)，則三個(gè)數(shù)a＋b、b＋c、c＋a()．A．都大于2B．都小于2C．最少有一個(gè)不大于2D．最少有一個(gè)不小于2解析∵a＞0，b＞0，c＞0，11111a＋b＋b＋c＋c＋a＝a＋a＋b＋b＋1c＋c≥6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時(shí)，“＝”成立，故三者不能夠都小于，即最少有一個(gè)不2小于2.答案Dx，則a與b大小關(guān)系為()6．設(shè)a＝lg2＋lg5，b＝e(x＜0)A．a(chǎn)＞bB．a(chǎn)＜bC．a(chǎn)＝bD．a(chǎn)≤b解析∵a＝lg2＋lg5＝lg10＝，1而b＝ex＜e0＝1，故a＞b.答案A7．定義一種運(yùn)算“*”：對(duì)于自然數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：(n＋1)*1＝n*1＋1，則n*1＝()．A．nB．n＋1C．n－1D．n2解析由(n＋1)*1＝n＋，得n*1＝n－1)*1＋＝n－2)*1＋＝＝n.*11(1(2,答案A二、填空題用反證法證明命題“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中最少有一個(gè)能被3整除”時(shí)，假設(shè)應(yīng)為.解析由反證法的定義可知，否定結(jié)論，即“a，b中最少有一個(gè)能被3整除”的否定是“a，b都不能夠被3整除”.答案a、b都不能夠被3整除9．要證明“3＋7＜25”可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是________(填序號(hào))．①反證法，②解析法，③綜合法．答案②10．設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出以下條件：a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中最少有一個(gè)大于1”的條件是______．(填序號(hào))解析若a＝12，b＝23，則a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，則ab>1，故⑤推不出；對(duì)于③，即a＋b>2，則a，b中最少有一個(gè)大于1，反證法：假設(shè)a≤1且b≤1，則a＋b≤2與a＋b＞2矛盾，因此假設(shè)不成立，故a，b中最少有一個(gè)大于1.答案③11．若是aa＋bb＞ab＋ba，則a、b應(yīng)滿足的條件是________．解析第一a≥0，b≥0且a與b不同樣為0.要使aabbabbaaabb2＞(abba2，＋＞＋，只需(＋)＋)即a3＋b3＞a2b＋ab2，只需(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，只需a2－ab＋b2＞ab，即(a－b)2＞0，只需a≠b.故a，b應(yīng)滿足a≥0，b≥0且a≠b.答案a≥0，b≥0且a≠b12．若a，b，c是不全相等的正數(shù)，給出以下判斷：(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；a>b與a<b及a＝b中最少有一個(gè)成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能夠同時(shí)成立．其中判斷正確的選項(xiàng)是_______．解析①②正確；③中a≠c，b≠c，a≠b可能同時(shí)成立，如a＝1，b＝2，c＝3.選C.答案①②三、解答題11313．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a＋b＋b＋c＝a＋b＋c，試問A，B，C可否成等差數(shù)列，若不能等差數(shù)列，請(qǐng)說明原由．若成等差數(shù)列，請(qǐng)給出證明．解析A、B、C成等差數(shù)列．證明以下：113a＋b＋b＋c＝a＋b＋c，a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋b＋c＝3.aa＋b＋b＋c＝1，c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得222a＋c－bac1∵0°<B<180°，∴B＝60°.A＋C＝2B＝120°.A、B、C成等差數(shù)列．|a|＋|b|14．已知非零向量a，b，且a⊥b，求證：|a＋b|≤2.證明a⊥b?a·b＝0，|a|＋|b|要證|a＋b|≤2.只需證|a＋b≤2|a＋b，||||只需證|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需證|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需證|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，上式顯然成立，故原不等式得證．15．若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：a＋bb＋cc＋aa＋lgb＋lgc.lg2＋lg2＋lg2＞lg證明∵a，b，c∈(0，＋∞)，a＋bb＋ca＋c2≥ab＞0，2≥bc＞0，2≥ab＞0.又上述三個(gè)不等式中等號(hào)不能夠同時(shí)成立．a(chǎn)＋bb＋cc＋a∴2·2·2＞abc成立．上式兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，得lga＋bb＋cc＋a＞lg(abc)，2·2·2a＋bb＋cc＋alg2＋lg2＋lg2＞lga＋lgb＋lgc.16．(12分)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同樣的交點(diǎn)，若f(c)＝0，且0＜x＜c時(shí)，f(x)＞0.1(1)證明：a是f(x)＝0的一個(gè)根；1(2)試比較a與c的大小；(3)證明：－2＜b＜－1.解析(1)證明∵f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)不同樣的交點(diǎn)，f(x)＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，12c211c，aaa1∴a是f(x)＝0的一個(gè)根．11假設(shè)a＜c，又a＞0，由0＜x＜c時(shí)，f(x)＞0，知f1＞0與f11a