概率統(tǒng)計(jì)正態(tài)分布總體均值和方差區(qū)間估計(jì)

正態(tài)分布總體均值和方差的區(qū)間估主要研方差的區(qū)間估1對(duì)區(qū)間估計(jì)的合理要1212212

盡可能

?

盡可能一：均值EX的區(qū)間估方差DX已知,對(duì)EX進(jìn)行區(qū)間估設(shè)總體

~N(,2

其中

2已知x,x xn,, 為來自于總體的樣x,x xn xn

xn)

N(, nnU xn

~N對(duì)于給定的,

可以找到一個(gè)

z2

|1

1}}2P即xP即

1nnn n

12 Px

2

x

2

1nn n 落n

2

,

n n內(nèi)的概

1區(qū) nn nn

2

,

的置信

1 為在置z2z

1下的臨界值，或稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)分位查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分

z

z0.975

2 nn的置信nn

,x 0.01時(shí)z

z0.995

nn的置nn

,

比較可知越大,則1越小,置信區(qū)落在區(qū)間內(nèi)的把握也就越小因此,在實(shí)際應(yīng)用中,要適當(dāng)選取常取

例1：.6，6只,測(cè)得直徑的數(shù)據(jù)（mm）為 試求該批滾珠平均直徑的95％置信區(qū)間解當(dāng)

時(shí)

查表

z

z0.975

x6

15.1

14.8

0.06, nn6 6

n6n6

故所求置信區(qū)間為注對(duì)于不是服從正態(tài)分布的總體，只要足夠大，則由中心極限定理，隨DXYDX

近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，因此仍然可x

2

,

nz nz nEX的置信區(qū)間，但此時(shí)仍然又多了n方差DX未知,對(duì)EX進(jìn)行區(qū)間估設(shè)總體

~N(,2

其中

2x,x xn,, 為來自于總體的樣x,x xn用樣本1

s2來代替總體方差xn(x1x2

xn)

N(, nUxnnn

~Ns

(xn1in1i

x)2V(n1)s

~2

統(tǒng)計(jì)nV(nTxnV(n

~t(n

s對(duì)于給定的, 查t分布表可得臨界t2

使PT

(n1)1222PTxxs

2

(n

1PPnn

2

(n

1snPxn

2

(n

x

2

(n

1nn得均值的置信區(qū)間nn snn

2

(n

,

2

(n

9時(shí),查t分布表得臨界2

在方差

未知的情況下的置信區(qū)間 s99 x, 99例2設(shè)有某種產(chǎn)品，其長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，x

樣本標(biāo)

s試求該產(chǎn)品平均長(zhǎng)度的90％置 當(dāng)0.10,n 時(shí)查t分布表

t

tt

x

n n

2x 2

1)

nn置信區(qū)間為例3設(shè)燈泡的服從正態(tài)分布,現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)地抽取6只,測(cè)得的數(shù)值(單位:h)為1020,1010,1050,1040,1050，1030求燈泡平均值的置信度為0.95的單側(cè)置解由于總體方差未知，故統(tǒng)計(jì)nTxn

t(n

s對(duì)給定

,查t分布表可得臨

t(nt(n

使

tt

(n1)

1

x

(n

1ns ns即P

x

(n

s1nn由此得到

的置信度為1的單側(cè)置信區(qū)n ntt

(n

的置信

1

的單側(cè)置信下nx1nx1

(n1)11 nt1(n1) t0.95(5)x1033.3,s代入得單側(cè)置信下限611033.361

總結(jié)解決此問題的一般找一個(gè)的點(diǎn)估計(jì)

xn選取適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)選取適當(dāng)?shù)某?shù)

對(duì)于給定的(0

使

b1

1?1

,,

xn

,,

xn212212

就是所求置信區(qū)間2.13,2.12,2.14,2.10,2.13,2.12,2.14,2.10,設(shè)該零件長(zhǎng)度服從正態(tài)試求總體均值

的90％置信區(qū)已

未解

的置信度為1

的置信區(qū)間x 1

nn,xnn2因?yàn)?/p>

所 z

x

代入nx z n2 nx z n2所以,所求置信區(qū)間為(2)未知,

的置信度為1

的置信區(qū)間nn snn2

(n

,

2

(n當(dāng)

n=16時(shí)

t(n1)

x

s

代入所求置信區(qū)間為x,x xn二.方差DX的區(qū)x,x xn設(shè)總體

~N(,2

,,為來自于總體考慮統(tǒng)(n1)s

~2

Y 對(duì)于給定的,

查

分布表，可得臨界22

2及及2

(n1),使PY

12

22

1)2P2

1 即P

2

1)

(n1)s

(n

1 P

(n1)s

(n1)s

1

2

(n

222

因此

N(,

)中的參為未知的情況下，方差

的置信區(qū)間

1)s2

(n1)s2 (n1)

2(n1)

(n1),

(n臨界 2

2

不是唯一的可以選

23

13

(n5X服從正態(tài)分布，現(xiàn)抽取1個(gè)零件，測(cè)得長(zhǎng)度（位：mm）如下：12.06試求DX的置信度為95%的置信區(qū)間解：經(jīng)計(jì)算可得x12.075,s 查

分布表

/

1)

2

1/

1)

2

(n1)s

150.002442(n2

(n1)s

150.0024422

(n

DX的置信度為95%的置信區(qū)§8.4二正態(tài)總體均值差和方差比的區(qū)間估計(jì)設(shè)x1,

y1,

分別來正態(tài)總

N(1,

2)

N(2

,2)的兩獨(dú)12相應(yīng)的樣本均值和樣本方差分別記12mx,sm

n和ysn求

的置信和 1：和

都已2 2 221x~N,11

y~N,2 m

n xy

N

2

, m

2n(x

y)

2

N2 m n如同2 m n

2

的置信區(qū)間2 2 mn2 mnx

y

,x

y 2：方

都未ms和 n只要m,n足夠大，ms和 n

s2

2分別代1,22, 并1,2ms2s2ms2s2mnms2s2mnxyz

xyz 2作為

2的近似置信區(qū)3mn(mnmn(mnm11

2

且為未(x

(m1)S2(m1)S2(n1)Smn

2 ~t(mn可得

的置信區(qū)間x

y

2

(m

n (m(m1)s2(n1)smnmmn(mn二正態(tài)總體方差比的區(qū)間估設(shè)二正態(tài)總體

,

和N(2

,2 其)21參數(shù)均為未知s2,s2)21

是分別來自于兩總 且容量各為m和n的獨(dú)立樣本的方差考慮統(tǒng)

s2/s212 12由(m1)s

2/

(n1)s

2(m

2

所以

21/(m2

s2/s2

~

F

1,

(n1)s

2/ 2

22對(duì)于給定的