哈爾濱某大學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)IT10

第三章桿系結(jié)構(gòu)單元分析最基本的概念都在第三、四章，因此必須下功夫?qū)W好11/28/2022哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院王煥定第三章桿系結(jié)構(gòu)單元分析引言等直桿單元的單元分析桿系結(jié)構(gòu)單元分析的實質(zhì)桿系結(jié)構(gòu)單元分析子程序11/28/2022哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院王煥定3.1引言結(jié)點：桿件交匯點、剛度變化點、支承點。有時也取荷載作用點。圖中1、2、3、4點均為結(jié)點。單元：兩結(jié)點間的等直桿段。圖中1-3、2-4、3-4為單元。編碼：黑的結(jié)點編號稱整體碼。紅的1、2局限于單元，稱局部碼。坐標(biāo)：蘭的坐標(biāo)稱整體坐標(biāo)。紅的x、y局限于單元，稱局部坐標(biāo)1342yxxy121122右手系11/28/2022哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院王煥定3.2等直桿單元的單元分析目的：像位移法一樣，通過“一拆、一合”來解決結(jié)構(gòu)分析。為此，必須首先掌握單元的特性。桿系最簡單，由它介紹思想和方法容易掌握，可為以后學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，因此必須深刻理解。3.2.1等直拉壓桿結(jié)構(gòu)中拆出的單元如圖所示。1）廣義坐標(biāo)法設(shè)任意點位移為

u=a1+a2x廣義坐標(biāo)，邊界條件只兩個冪級數(shù)簡單右手系ijxy12u1,F1u2,F2pEA，l11/28/2022哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院王煥定3.2等直桿單元的單元分析利用邊界條件可得

a1＝u1；a2＝(u2-u1)／l將廣義坐標(biāo)代回

u=a1+a2x，整理后可得

u=(1-x／l)u1+u2x／l右手系ijxy12u1,F1u2,F2pEA，l2）形函數(shù)及性質(zhì)形函數(shù)自然坐標(biāo)本點處為1它點處為0處總和為1任意點的位移可用形函數(shù)表為u=(1-x／l)u1+u2x／l=Ｎ1u1＋Ｎ２u２11/28/2022哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院王煥定軸力右手系ijxy12u1,F1u2,F2pEA，l３）用虛位移原理列式3-1）虛位移設(shè)結(jié)點虛位移為ui

（i=1，2），則

u=Ｎ1

u1＋Ｎ２

u２3-2）外力虛功3-3）虛變形功3.2等直桿單元的單元分析11/28/2022哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院王煥定右手系ijxy12u1,F1u2,F2pEA，l3-4）用矩陣表示3.2等直桿單元的單元分析11/28/2022哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院王煥定ijxy12u1,F1u2,F2pEA，l3-5）單元剛度方程由虛位移原理可得引入如下矩陣：單元剛度矩陣單元等效荷載則單元剛度方程改寫為3.2等直桿單元的單元分析11/28/2022哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院王煥定4）小結(jié)4-1）單元位移場可用“廣義坐標(biāo)法”建立。4-2）形函數(shù)“本點1，它點0，任意點總和1”。4-3）虛位移原理列式結(jié)果單元剛度方程為滿跨均布軸力時3.2等直桿單元的單元分析11/28/2022哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院王煥定3.2.2等直桿扭轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)中拆出的單元如圖所示。1）試湊法設(shè)任意點自然坐標(biāo)為，為滿足“本1，它0”可設(shè)N1=1-，N2=。=N1

1+

N2

2。由性質(zhì)試湊得到右手系ijxy121,M12,M2mGJ，l2）勢能原理列式2-1）外力勢能2-2）應(yīng)變能3.2等直桿單元的單元分析11/28/2022哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院王煥定右手系ijxy121,M12,M2mGJ，l2-3）總勢能=U+Pf2-4）勢能原理列列式結(jié)果為3）小結(jié)3-1）形函數(shù)可根據(jù)其性質(zhì)通通過試湊來建立。3-2）將總勢能表表為結(jié)點位移移的函數(shù)，可可由變分為零零列式（偏導(dǎo)數(shù)數(shù)為零）得到到單元剛度方方程。滿跨均布扭矩時3.2等直桿單元的的單元分析11/26/2022哈爾濱工業(yè)業(yè)大學(xué)土土木學(xué)院王王煥定3.2.3等直彎曲桿桿單元1）桿端位移移（不計軸軸向變形））2）桿中任意意點位移2-1）設(shè)撓度為為2-2）由此可見見，N1是圖示v1=1的撓曲線，，因此由積分二次，利用邊界條件可得3.2等直桿單元元的單元分分析11/26/2022哈爾濱工業(yè)業(yè)大學(xué)土土木學(xué)院王王煥定同理，可得得3）勢能原理理單元列式式3-1）應(yīng)變能為為則3-2）外力勢能能為3.2等直桿單元元的單元分分析11/26/2022哈爾濱工業(yè)業(yè)大學(xué)土土木學(xué)院王王煥定在圖示荷載載作用下（（坐標(biāo)正向為為正）外力力勢為3-3）總總勢勢能能為為3.2等直直桿桿單單元元的的單單元元分分析析11/26/2022哈爾爾濱濱工工業(yè)業(yè)大大學(xué)學(xué)土土木木學(xué)學(xué)院院王王煥煥定定3-4）單單元元列列式式由勢勢能能原原理理可可得得單元剛度方程單元剛度矩陣經(jīng)數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)推推導(dǎo)導(dǎo)可可得得單單元元剛剛度度矩矩陣陣元元素素如如下下等效結(jié)點荷載滿跨均布時3.2等直直桿桿單單元元的的單單元元分分析析11/26/2022哈爾爾濱濱工工業(yè)業(yè)大大學(xué)學(xué)土土木木學(xué)學(xué)院院王王煥煥定定3.2等直直桿桿單單元元的的單單元元分分析析單元剛度矩陣經(jīng)數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)推推導(dǎo)導(dǎo)可可得得單單元元剛剛度度矩矩陣陣元元素素如如下下和轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角位位移方方程結(jié)結(jié)果相相同2911/26/2022哈爾爾濱濱工工業(yè)業(yè)大大學(xué)學(xué)土土木木學(xué)學(xué)院院王王煥煥定定3-5)小結(jié)結(jié)3-5-1)桿件件單單元元形形函函數(shù)數(shù)也也可可由由撓撓曲曲線線微微分分方方程程求求得得。。3-5-2)利用用虛虛位位移移原原理理或或勢勢能能原原理理列列式式所所的的結(jié)結(jié)果果和和用疊疊加加原原理理建建立立的的桿桿端端位位移移-力關(guān)系一樣。。3-5-3)所得單元剛度度矩陣對稱、、奇異（1、3行1、3列是相關(guān)的））。3.2.4考慮軸向變形形直桿彎曲單單元1)單元上任一點點的位移1-1)單元上任一點點的位移包含含軸向和橫向向位移分量由純彎單元建立由拉壓單元建立3.2等直桿單元的的單元分析11/26/2022哈爾濱工業(yè)大大學(xué)土木學(xué)學(xué)院王煥定定1-2)單元形函數(shù)由由3.2.1和3.2.3組合得到2)應(yīng)變能1-3)任意點位移式中2-1)應(yīng)變由兩部分引起：拉壓和和彎曲。3.2等直桿單元的的單元分析11/26/2022哈爾濱工業(yè)大大學(xué)土木學(xué)學(xué)院王煥定定拉壓彎曲4)單元列式由應(yīng)變能和外外力勢能可見見，單元剛度度方程可由拉壓和彎曲上上述已獲得的的結(jié)果組合得得到。3)外力勢能式中p、u向右為正；q、v向上為正；m和轉(zhuǎn)角逆時針為正。2-2)應(yīng)變能也包含含兩部分，拉拉壓和彎曲互互不藕聯(lián)。3.2等直桿單元的的單元分析11/26/2022哈爾濱濱工業(yè)業(yè)大學(xué)學(xué)土土木學(xué)學(xué)院王王煥煥定3.2等直桿桿單元元的單單元分分析11/26/2022哈爾濱濱工業(yè)業(yè)大學(xué)學(xué)土土木學(xué)學(xué)院王王煥煥定同理可可以組組合得得到單元剛度方程5)小結(jié)5-1)這種單單元稱稱作““梁柱自由式式單元元”，，它也具具有對稱性性、奇奇異性性。5-2)單元剛剛度矩矩陣和和等效效結(jié)點點荷載載矩陣陣可由由拉壓壓和彎曲單單元組組合得得到。。下面多多處在在“變變形不不藕聯(lián)聯(lián)”條件下下，利利用簡簡單單單元直直接構(gòu)構(gòu)造組組合單單元。。3.2等直桿桿單元元的單單元分分析11/26/2022哈爾濱濱工業(yè)業(yè)大學(xué)學(xué)土土木學(xué)學(xué)院王王煥煥定3.2.5有約束束單元元1)由“梁柱自由式式單元元”建立有有約束束單元元剛度度方程的原原則為為1-1)剛度矩矩陣中中劃去去被約約束位位移對對應(yīng)的的行和和列。。1-2)等效結(jié)結(jié)點荷荷載矩矩陣中中劃去去被約約束位位移對對應(yīng)的的行。。1-3)單元剛剛度方方程形形式不不變。。單元剛度方程2)連續(xù)梁單元

劃去1、2、4、5行、列。3.2等直桿桿單元元的單單元分分析11/26/2022哈爾濱工業(yè)業(yè)大學(xué)土土木學(xué)院王王煥定單元剛度矩矩陣和單元元等效荷載載矩陣為試自行寫出出單元剛度度和單元等等效荷載矩矩陣。3)簡支單元

劃去1、2、5行、列。滿跨均布時4)小結(jié)如約束能限限制剛體位位移，單元元剛度矩陣陣非奇異。。3.2等直桿單元元的單元分分析式中MG為固端彎矩矩，順時針針為正。11/26/2022哈爾濱工業(yè)業(yè)大學(xué)土土木學(xué)院王王煥定3.2.6計剪切變形形和帶有剛剛域的單元元1)計剪切變形形的單元（（短粗桿））1-1)形函數(shù)用用廣廣義坐標(biāo)、、試湊和解撓曲曲線微分方方程都比較困難，這這里直接給給出。3.2等直桿單元元的單元分分析參考《有限單元法法基礎(chǔ)》P.41-4411/26/2022哈爾濱工業(yè)業(yè)大學(xué)土土木學(xué)院王王煥定圖和式中的的為對細長桿趨于零，形形函數(shù)同前。。對形函數(shù)建建立有興趣的同同學(xué)可用力法+位移計算來驗驗證3.2等直桿單元元的單元分分析11/26/2022哈爾濱工業(yè)業(yè)大學(xué)土土木學(xué)院王王煥定1-2)用力法解解超靜定定，求ij時考慮剪剪切變形形影響。。由所建立立的形常常數(shù)、載載常數(shù)，，可利用用疊加原原理得到桿端端力-位移的關(guān)關(guān)系，它它即單元元剛度方方程。1-3)用桿件模模型計算算高層框框架-剪力墻結(jié)結(jié)構(gòu)時，，代表剪力墻墻的桿件件要考慮慮剪切變變形。1-4)單元剛度度、等效效荷載矩矩陣的各各元素見見《教材》。2)帶剛域的的單元高層框架架-剪力墻結(jié)結(jié)構(gòu)用桿桿件模型型分析時時，與剪剪力墻連接接的單元元，要考考慮剛域域的影響響。這種單元元的剛度度特性，，可由彈彈性段單單元剛度度方程，再考考慮此段段桿端位位移、桿桿端力和和單元桿桿端位移移、桿端力間間的變換換關(guān)系來來建立。。結(jié)果見見《教材》。3.2等直桿單單元的單單元分析析11/26/2022哈爾濱工工業(yè)大學(xué)學(xué)土木木學(xué)院王王煥定定3.2.7平面單元元分析總總結(jié)3)虛位移原原理、勢勢能原理理的結(jié)果果完全相相同。4)單元剛度度矩陣對對稱。自自由單元元奇異，，無剛體體位移單元可逆逆。1)單元分析析的關(guān)鍵鍵是：建建立單元元位移場場。2)單元位移移場一般般可用廣廣義坐標(biāo)標(biāo)法、試試湊法建建立。5)無藕聯(lián)情情況下，，組合單單元的單單元特性性可由簡簡單單元組裝得得到。6)單元剛度度方程和和由形、、載常數(shù)數(shù)用疊加加原理所所得單元桿端位位移-桿端力關(guān)關(guān)系完全全相同。。7)單元上外外力是平平衡的（（靜力問問題），，但由位位移求內(nèi)力并不不平衡，，桿中內(nèi)內(nèi)力以后后解決。。3.2等直桿單單元的單單元分析析11/26/2022哈爾濱工工業(yè)大學(xué)學(xué)土木木學(xué)院王王煥定定3.2.8空間單元元分析總總原則空間單元元的單元元特性由由平面簡簡單單元元組裝得得到。1)空間拉壓壓（桁架架）單元元空間桁架架單元與與平面桁桁架單元元相同。。2)交叉梁（（格柵））單元桿端位移移、桿端端力如圖圖所示可由無軸軸向變形形彎曲單單元和扭轉(zhuǎn)單單元組合合得到。。由于桿端端位移和和內(nèi)力的的編號順順序如圖圖所示因此必須須注意，，1、3（4、6）力-位移正向向規(guī)定和和彎曲單元元的區(qū)別別，故k13、k16、k46的符號與與彎曲單單元相反。同同理，等等效荷載載元素的的符號也也要改變變。3.2等直桿單單元的單單元分析析12354611/26/2022哈爾濱工工業(yè)大學(xué)學(xué)土木木學(xué)院王王煥定定由此可得得交叉梁梁單元的的單元剛剛度矩陣陣為3.2等直桿單單元的單單元分析析對稱1611/26/2022哈爾