熱力學(xué)與統(tǒng)計物理答案第二章

熱力學(xué)與統(tǒng)計物理答案第一早第二章均勻物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì)2.1已知在體積保持不變時，一氣體的壓強(qiáng)正比于其熱力學(xué)溫度.試證明在溫度保質(zhì)不變時，該氣體的熵隨體積而增加.解：根據(jù)題設(shè)，氣體的壓強(qiáng)可表為(1)P=fV)T,式中f(V)是體積V的函數(shù).由自由能的全微分dF=-SdT(1)得麥?zhǔn)详P(guān)系(2)oP|dT)V將式(1)代入((2)由于p>0,T>00.這意味著，在溫度保持不變時，該氣體的熵隨體積而增加.2.2設(shè)一物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式:P=f(V)T,試證明其內(nèi)能與體積無關(guān).解：根據(jù)題設(shè)，物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式:p=f(V)T,(1)故有%I=f(V).oT)V(2)但根據(jù)式(2.2.7)，有(OUIJaV)T-P,(3)所以這就是說，如果物質(zhì)具有形式為體積無關(guān)，只是溫度T的函數(shù).（au）（1）的物態(tài)方程，則物質(zhì)的內(nèi)能與=Tf(V)-p=0.(4)2.3求證：0)?。郏?；(b)食］＞0.laPJHkav)u解：焓的全微分為dH=TdS+Vdp.令dH=0，得內(nèi)能的全微分為令dU=0，得(3"如HdU=TdS—pdV.(當(dāng)=-＞0.{dVJuT2.4已知「竺）lav）T解：對復(fù)合函數(shù)求證=0.求偏導(dǎo)數(shù)，有u(T,P)=U(T,V(T,p))(au)_(au)(av)=?iapJlaVJlapJ如果偌/，即有俘11伽Jt=0.（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）式（2）也可以用雅可比行列式證明：也_a(u,t)<apjt8(p,t)_a(u,t)a(V,t)一a(V,t)a(p,t)(2)Jau(dv，-五|?kavjkapj(2)2.5試證明一個均勻物體的在準(zhǔn)靜態(tài)等壓過程中熵隨體積的增減取決于等壓下溫度隨體積的增減.解：熱力學(xué)用偏導(dǎo)數(shù)（四］描述等壓過程中的熵隨體積的變化kavJp率，用（生］描述等壓下溫度隨體積的變化率.為求出這兩個偏導(dǎo)數(shù)kavJp的關(guān)系，對復(fù)合函數(shù)(1)(2)S=S(p,V)=S(p,T(p,V))(當(dāng)=(=c(當(dāng)kavjkaTjkavjtkavj求偏導(dǎo)數(shù)，有因為C>0,T>0，所以，買］的正負(fù)取決于，榮］的正負(fù).pkavjpkavjp(1)(2)(當(dāng)=(=c(當(dāng)kavjkaTjkavjtkavj式（2）也可以用雅可經(jīng)行列式證明：（努_a（s,p）kavjpa（v,p）=a（s,p）a（t,p）a（t,p）a（v,p）(as)kaTjp2.6試證明在相同的壓強(qiáng)降落下，氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹中的溫度降落大于在節(jié)流過程中的溫度降落.

解：氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹過程和節(jié)流過程中的溫度降落分別描述.熵函數(shù)S（T,p）的全微分為1

dS—dT1

dS—dT+

&1

P在可逆絕熱過程中dS—0，故有竺18pJ\T-dS1——dT）Pdp.T玲1

P.Cp（1）最后一步用了麥?zhǔn)详P(guān)系式（2.2.4）和式（2.2.8）.焓H（T,p）的全微分為dp.dH=[|T1dT+P在節(jié)流過程中dH=0，故有T尊］-，PCp（2）dp.T尊］-，PCp（2）P最后一步用了式（2.2.10）和式（1.6.6）.將式（1）和式（2）相減，得（3）dT1(dT1k八——-I—————>0.（3）dp)^dp)CSHp所以在相同的壓強(qiáng)降落下，氣體在絕熱膨脹中的溫度降落大于節(jié)流過程中的溫度降落.這兩個過程都被用來冷卻和液化氣體.由于絕熱膨脹過程中使用的膨脹機(jī)有移動的部分，低溫下移動部分的潤滑技術(shù)是十分困難的問題，實際上節(jié)流過程更為常用.但是用節(jié)流過程降溫，氣體的初溫必須低于反轉(zhuǎn)溫度.卡皮查（1934年）將絕熱膨脹和節(jié)流過程結(jié)合起來，先用絕熱膨脹過程使氨降溫到反轉(zhuǎn)溫度以下，再用節(jié)流過程將氨液化.

2.7實驗發(fā)現(xiàn)，一氣體的壓強(qiáng)p與體積V的乘積以及內(nèi)能U都只是溫度的函數(shù)，即pV=f（T）,U=U（T）.試根據(jù)熱力學(xué)理論,解：根據(jù)題設(shè),由式（2.2.7）和式討論該氣體的物態(tài)方程可能具有什么形式.氣體具有下述特性：pV=f（T）,U=U（T）.試根據(jù)熱力學(xué)理論,解：根據(jù)題設(shè),由式（2.2.7）和式討論該氣體的物態(tài)方程可能具有什么形式.氣體具有下述特性：pV=f（T）,U=U（T）.（2），有（dU）Jt(3)而由式（1）可得將式（4）代入式（3）T(8p

"8T人VdT有T玄=f,

dTTdfdfdT7(5)積分得lnf=lnT+InC,pV=CT,如果氣體具有式（1）性，由熱力學(xué)理論知其物態(tài)方程必具有式需要進(jìn)一步的實驗結(jié)果.式中C是常量.因此,（6）（2）所表達(dá)的特的形式.確定常量C2.8證明(賓=丁"8V)T)I8p)TC=C0+TfV(祭[dV,VVv[dT2)八7VCp=C「Tfp]dp.0p根據(jù)以上兩式證明,T的函數(shù).理想氣體的定容熱容量和定壓熱容呈只是溫度解：式（2.2.5）給出CV=T(1)）CV=T(1)[dT以T,V為狀態(tài)參量，將上式求對V的偏導(dǎo)數(shù)，有(dC)=T41=T(d2S(dC)=T41=T(d2S'=T(竺1—[dVJ[dVdT)[dTdVJ[dT2J(2)其中第二步交換了偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)次序，（2.2.3）.由理想氣體的物態(tài)方程pV=nRT知，在V不變時，p是T的線性函數(shù)，[dT2人V第三步應(yīng)用了麥?zhǔn)详P(guān)系=0.所以=0.（dC\

所以=0.這意味著，理想氣體的定容熱容量只是溫度T的函數(shù).在恒定溫度下將式（2）積分，得'性]dT2）V式（3）表明，只要測得系統(tǒng)在體積為v0'性]dT2）V式（3）表明，只要測得系統(tǒng)在體積為v0時的定容熱容量，任意體積下的定容熱容量都可根據(jù)物態(tài)方程計算出來.同理，式（2.2.8）給出C，=T傍]pCV=CV+刊VV0[(3)(4)以T,p為狀態(tài)參量，將上式再求對p的偏導(dǎo)數(shù)，有〔洞I8p)〔洞I8p)T^dpdT/Tf-a2^[dTap)-T(5)其中第二步交換了求偏導(dǎo)數(shù)的次序，第三步應(yīng)用了麥?zhǔn)详P(guān)系（2.2.4）.由理想氣體的物態(tài)方程pV=nRT知，在p不變時v是T的線性函數(shù)，即=0.席I[dT2）=0.所以（acIMI=0.[apL這意味著理想氣體的定壓熱容量也只是溫度T的函數(shù).在恒定溫度下將式（5）積分，得.（aVIC=C0+TIP——dp.

pppo[aT2J*p式（6）表明，只要測得系統(tǒng)在壓強(qiáng)為p0時的定壓熱容量，任意壓強(qiáng)下的定壓熱容量都可根據(jù)物態(tài)方程計算出來.2.9證明范氏氣體的定容熱容量只是溫度T的函數(shù)，與比體積無關(guān).解：根據(jù)習(xí)題2.8式（2）(1)(2)（aC^|=T（性[avJ[aT2JTV(1)(2)范氏方程（式（1.3.12））可以表為nRTn2a—V—nbV2由于在V不變時范氏方程的p是T的線性函數(shù)，所以范氏氣體的定容熱容量只是T的函數(shù)，與比體積無關(guān).不僅如此，根據(jù)2.8題式（3）

Cv(T,V)=C^(T,V)+TIV(3)dT2）V我們知道，V*Cv(T,V)=C^(T,V)+TIV(3)順便提及，在壓強(qiáng)不變時范氏方程的體積V與溫度T不呈線性關(guān)系.根據(jù)2.8題式（5）(2)昂=［祟］，kuVJ\^uT2j這意味著范氏氣體的定壓熱容量是T,p的函數(shù).(2)2.10證明理想氣體的摩爾自由能可以表為C,。F=fCvdT+U0-T\-rmdT-RTInV-TS0rdTr=-TId—ICdT+U-TS-RTInVT2V,mm0m0m解：式（2.4.13）和（2.4.14）給出了理想氣體的摩爾吉布斯函數(shù)作為其自然變量t,p的函數(shù)的積分表達(dá)式.本題要求出理想氣體的摩爾自由能作為其自然變量T,V的函數(shù)的積分表達(dá)式.根據(jù)自由能的定義（式（1.18.3）），摩爾自由能為TOC\o"1-5"\h\zUm，⑴其中U和S是摩爾內(nèi)能和摩爾熵.根據(jù)式（1.7.4）和（1.15.2）:理想氣體的摩爾內(nèi)能和摩爾熵為Um='\戶+氣0，⑵S=IC—mdT+RInV+S0,（3）所以F=ICvdT-TfC—mdT-RTInV+U0-TS0.（4）=xy-Iydx,利用分部積分公式

“1,T=xy-Iydx,y=jCdT,V,m可將式（4）右方頭兩項合并而將式（4）改寫為J』Tj'dT-EV+Um0⑸2.11求范氏氣體的特性函數(shù)F，并導(dǎo)出其他的熱力學(xué)函數(shù).解：考慮1mol的范氏氣體.根據(jù)自由能全微分的表達(dá)式（2.1.3），摩爾自由能的全微分為dF=-SdT-dF=-SdT-pdV,故積分得RTa=-p=+V-bmF（T,V）=-RTIn（V-b）—VL+f（T）.m（1）（2）（3）由于式（2）左方是偏導(dǎo)數(shù)，其積分可以含有溫度的任意函數(shù)f（T）.我們利用V-3時范氏氣體趨于理想氣體的極限條件定出函數(shù)f（T）.根據(jù)習(xí)題2.11式（4），理想氣體的摩爾自由能為（4）F=jCvdT-jCTmdT-RTInV+U0-TS°.（4）將式⑶在V^3時的極限與式（4）加以比較，知TOC\o"1-5"\h\zf（T）=jCVdT-TjCTmdT+U0-TS°.（5）所以范氏氣體的摩爾自由能為F（T,V）=jCdT-TjCVmdT-RTIn（V-b）-a+U-TS.（6）mmV,mTmVm0m0m式（6）的F（T,V）是特性函數(shù)范氏氣體的摩爾熵為S=_%=jCTmdT+RIn（V-b）+S0.（7）摩爾內(nèi)能為u—+tsl\件-a+U。.⑻m2.12一彈簧在恒溫下的恢復(fù)力X與其伸長x成正比，即X=-弘，比例系數(shù)a是溫度的函數(shù).今忽略彈簧的熱膨脹，試證明彈簧的自由能F，熵S和內(nèi)能U的表達(dá)式分別為F（T,x）=F（T,0）+2Ax2,S（T,x）=S（T,0）-X2dA,2dTU（T,x）=U（T,0）+-fA-T竺］x2.TOC\o"1-5"\h\z2"dT）解：在準(zhǔn)靜態(tài)過程中，對彈簧施加的外力與彈簧的恢復(fù)力大小相等，方向相反.當(dāng)彈簧的長度有dx的改變時，夕卜力所做的功為dW=-Xdx.（1）根據(jù)式（1.14.7），彈簧的熱力學(xué)基本方程為dU=TdS-Xdx.（2）彈簧的自由能定義為F=U-TS,其全微分為dF=-SdT-Xdx.將胡克定律X=-Ax代入，有dF=-SdT+Axdx,（3）因此偌L=版在固定溫度下將上式積分，得F（T,x）=F（T,0）+jxAxdx0

(4)(5)=F（T,0）+-Ax2,(4)(5)2其中F（T,0）是溫度為T，伸長為零時彈簧的自由能.彈簧的熵為S=_竺=S(T,0)--X2竺.dT2dT彈簧的內(nèi)能為U=F+TS=U(T,0)+-12在力學(xué)中通常將彈簧的勢能記為U=-Ax2,

力學(xué)2沒有考慮A是溫度的函數(shù).根據(jù)熱力學(xué)，U力學(xué)是在等溫過程中外界所做的功，是自由能.于2.13X射線衍射實驗發(fā)現(xiàn)，橡皮帶未被拉緊時具有無定形結(jié)構(gòu)；當(dāng)受張力而被拉伸時，具有晶形結(jié)構(gòu).這一事實表明，橡皮帶具有大的分子鏈.（a）試討論橡皮帶在等溫過程中被拉伸時，它的熵是增加還是減少；（b）試證明它的膨脹系數(shù)a=上［空］是負(fù)的.L\dL）S解：（a）熵是系統(tǒng)無序程度的量度.橡皮帶經(jīng)等溫拉伸過程后由無定形結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)榫谓Y(jié)構(gòu)，說明過程后其無序度減少，即熵減少了，所以有<0.(1)［當(dāng){dL)<0.(1)（b）由橡皮帶自由能的全微分dF=-SdT+JdL可得麥?zhǔn)详P(guān)系(2)綜合式（1）和式（2），知>0.>0.(3)(4)綜合式（3）-（5）知>0.(5)<0,由橡皮帶的物態(tài)方程F（J,L,T）=0(4)綜合式（3）-（5）知>0.(5)<0,(dL}(J)(況)｛薦）=-）{j)耳|IELjJLT在溫度不變時橡皮帶隨張力而伸長說明所以橡皮帶的膨脹系數(shù)是負(fù)的，即(6)a=-［竺|<0.(6)L{dT)J2.14假設(shè)太陽是黑體，根據(jù)下列數(shù)據(jù)求太陽表面的溫度；單位時間內(nèi)投射到地球大氣層外單位面積上的太陽輻射能量為1.35x103j.m-2-s-1（該值稱為太陽常量），太陽的半徑為6.955x108m，太陽與地球的平均距離為1.495x1011m.解：以R表示太陽的半徑.頂點在球心的立體角dQ在太陽表面s所張的面積為R2dQ.假設(shè)太陽是黑體，根據(jù)斯特藩-玻耳茲曼定律s（式（2.6.8）），單位時間內(nèi)在立體角dQ內(nèi)輻射的太陽輻射能量為QT4R2dQ.（1）s單位時間內(nèi)，在以太陽為中心、，太陽與地球的平均距離Rie為半徑的球面上接受到的在立體角dQ內(nèi)輻射的太陽輻射能量為Se1.35x103R2dQ.se

令兩式相等，即得(3)'1.35x103xR2)D"^R2)s(3)R和％的數(shù)值代入，得2.15計算熱輻射在等溫過程中體積由匕變到匕時所吸收的熱量.解：根據(jù)式（1.14.3），在可逆等溫過程中系統(tǒng)吸收的熱量為Q=TAS.（1）(2)式（2.6.4）給出了熱輻射的熵函數(shù)表達(dá)式S=-aT3V.(2)3所以熱輻射在可逆等溫過程中體積由V變到V時所吸收的熱量為TOC\o"1-5"\h\z12Q=-aT4（V-V）.（3）3212.16試討論以平衡輻射為工作物質(zhì)的卡諾循環(huán)，計算其效率.解：根據(jù)式（2.6.1）和（2.6.3），平衡輻射的壓強(qiáng)可表為p=-aT4,（1）3因此對于平衡輻射等溫過程也是等壓過程.式（2.6.5）給出了平衡輻射在可逆絕熱過程（等熵過程）中溫度T與體積V的關(guān)系T3V=C（常量）.（2）將式（1）與式（2）聯(lián)立，消去溫度T，可得平衡輻射在可逆絕熱過程中壓強(qiáng)p與體積V的關(guān)系pV3=C（常量）.（3）下圖是平衡輻射可逆卡諾循環(huán)的p-V圖，其中等溫線和絕熱線的方程分別為式（1）和式（3）.

下圖是相應(yīng)的T-S圖.計算效率時應(yīng)用T-S圖更為方便.TOC\o"1-5"\h\z在由狀態(tài)A等溫（溫度為T1）膨脹至狀態(tài)B的過程中，平衡輻射吸收的熱量為1Q=T（S—S）.（4）在由狀態(tài)C等溫（溫度為T2）1壓2縮為狀態(tài)D的過程中，平衡輻射放出的熱量為2Q=T（S—S）.（5）循環(huán)過程的效率為QT（S—S）T門=1—Q=1—~1=1—T.（6）QT（S—S）T2.17如圖所示，電介質(zhì)的介電常量8（T）=D與溫度有關(guān).試求電路為閉路時電介質(zhì)的熱容量與充電后再令電路斷開后的熱容量之差.

解：根據(jù)式（1.4.5），當(dāng)介質(zhì)的電位移有dD的改變時，外界所做的功是TOC\o"1-5"\h\zdW=VEdD,（1）式中E是電場強(qiáng)度，V是介質(zhì)的體積.本題不考慮介質(zhì)體積的改變，V可看作常量.與簡單系統(tǒng)dW=-pdV比較，在變換pT-E,V—解：根據(jù)式（1.4.5），當(dāng)介質(zhì)的電位移有dD的改變時，外界所式（2.2.11）給出C-C=T昌］［當(dāng).（3）pVEtJv{dTJ在代換（2）下，有CE-CD肯CE-CD肯JD(4)式中Ce是電場強(qiáng)度不變時介質(zhì)的熱容量，CD是電位移不變時介質(zhì)的熱容量.電路為閉路時，電容器兩極的電位差恒定，因而介質(zhì)中的電場恒定，所以CD也就是電路為閉路時介質(zhì)的熱容量.充電后再令電路斷開，電容器兩極有恒定的電荷，因而介質(zhì)中的電位移恒定，所以CD也就是充電后再令電路斷開時介質(zhì)的熱容量.電介質(zhì)的介電常量Jt）=D與溫度有關(guān)，所以E[當(dāng)=e項\dTJdTE(5)仔EJ_Dd6=—{dTJ62dTD代入式（4），有(5)CE-CD=-VTD2(D2(d8v=VT(6)￡3IdT)2.18試證明磁介質(zhì)Ch與Cm之差等于C_C_T（兩CH-CM=2.18試證明磁介質(zhì)Ch與Cm之差等于C_C_T（兩CH-CM=^0T〔苛(2)CM"t)國、ldT)H(4)解：當(dāng)磁介質(zhì)的磁化強(qiáng)度有dM的改變時，外界所做的功是dW=VpHdM,（1）式中H是電場強(qiáng)度，V是介質(zhì)的體積.不考慮介質(zhì)體積的改變，V可看作常量.與簡單系統(tǒng)dW=-pdV比較，在變換pT—pH,V—VM下，簡單系統(tǒng)的熱力學(xué)關(guān)系同樣適用于磁介質(zhì).式（2.2.11）給出(3)償]\GT)p在代換（2）下，有(3)式中Ch是磁場強(qiáng)度不變時介質(zhì)的熱容量，Cm是磁化強(qiáng)度不變時介質(zhì)的熱容量.考慮到"(焉)頃H/M=—1'辿、{dT）H(焉)頃H/M=—1⑸式解出俘），代入⑷式'得H—t(°h)

=p0T〔苛)M2.19已知順磁物質(zhì)遵從居里定律:

m=Th（居里定律）.若維物質(zhì)的溫度不變，使磁場由0增至H,求磁化熱.解：式（1.14.3）給出，系統(tǒng)在可逆等溫過程中吸收的熱量Q與其在過程中的熵增加值A(chǔ)s滿足Q=TAS.（1）在可逆等溫過程中磁介質(zhì)的熵隨磁場的變化率為（式（2.7.7））如果磁介質(zhì)遵從居里定律m=^—H(。是常量),T易知TOC\o"1-5"\h\z(dm)—CVH=H,VdTJT2H所以日=_cv^h.kdHJT2T(2)(3)(4)(5)AS=jH08CV(2)(3)(4)(5)AS=jH08CVRH2dH=—02T2(6)吸收的熱量為Q=TAS=CVrHQ=TAS=CVrH2—o2T(7)2.20已知超導(dǎo)體的磁感強(qiáng)度B=R0（H+M）=0，求證：（a）Cm與M無關(guān)，只是T的函數(shù)，0其中Cm是磁化強(qiáng)度M保持不變時的熱容量."U=jC*T—^2M1+u0.S=jCMdT+S0.解：先對超導(dǎo)體的基本電磁學(xué)性質(zhì)作一粗淺的介紹.1911年昂尼斯（Onnes）發(fā)現(xiàn)水銀的電阻在4.2K左右突然降低為零，如圖所示.這種在低溫下發(fā)生的零電阻現(xiàn)象稱為超導(dǎo)電性.具有超導(dǎo)電性質(zhì)的材料稱為超導(dǎo)體.電阻突然消失的溫度稱為超導(dǎo)體的臨界溫度.開始人們將超導(dǎo)體單純地理解為具有無窮電導(dǎo)率的導(dǎo)體.在導(dǎo)體中電流密度J與電場強(qiáng)度E滿足歐姆定律'E=Ja如果電導(dǎo)率"T8，導(dǎo)體內(nèi)的電場強(qiáng)度將為零.根據(jù)法拉第定律，有VxE=—竺，所因此對于具有無窮電導(dǎo)率的導(dǎo)體，恒有*0.下圖（a）顯示具有無窮電導(dǎo)率的導(dǎo)體的特性，如果先將樣品降溫到臨界溫度以下，使之轉(zhuǎn)變?yōu)榫哂袩o窮電導(dǎo)率的導(dǎo)體，然后加上磁場，根據(jù)式（3）樣品內(nèi)的B不發(fā)生變化，即仍有B=0但如果先加上磁場，然后再降溫到臨界溫度以下，根據(jù)式⑶樣品內(nèi)的B也不應(yīng)發(fā)生變化，即B。0.這樣一來，樣品的狀態(tài)就與其經(jīng)歷的歷史有關(guān)，不是熱力學(xué)平衡狀態(tài)了.但是應(yīng)用熱力學(xué)理論對超導(dǎo)體進(jìn)行分析，其結(jié)果與實驗是符合的.這種情況促

使人們進(jìn)行進(jìn)一步的實驗研究.1933年邁斯納（Meissner）將一圓柱形樣品放置在垂置于其軸線的磁場中，降低到臨界溫度以下，使樣品轉(zhuǎn)變?yōu)槌瑢?dǎo)體，發(fā)現(xiàn)磁通量完全被排斥于樣品之外，即超導(dǎo)體中的B恒為零：B=|!（H+M）=0.（4）這一性質(zhì)稱為完全抗磁性0上圖（b）畫出了具有完全抗磁性的樣品在先冷卻后加上磁場和先加上磁場后冷卻的狀態(tài)變化，顯示具有完全抗磁性的超導(dǎo)體，其狀態(tài)與歷史無關(guān).1953年弗■倫敦（F.London）和赫■倫敦（H.London）兄弟二人提出了一個唯象理論，從統(tǒng)一的觀點概括了零電阻和邁斯納效應(yīng)，相當(dāng)成功地預(yù)言了超導(dǎo)體的一些電磁學(xué)性質(zhì).他們認(rèn)為，與一般導(dǎo)體遵從歐姆定律不同，由于零電阻效應(yīng)，超導(dǎo)體中電場對電荷的作用將使超導(dǎo)電子加速.根據(jù)牛頓定律，有TOC\o"1-5"\h\zmv=qE,（5）（6）式中m和q分別是超導(dǎo)電子的質(zhì)量和電荷，v是其加速度.以n表示超導(dǎo)電子的密度，超導(dǎo)電流密度J為’J=nqv.（6）綜合式⑸和式（6）,有81,—J=—E,8tsa其中a=4.⑻nq2將式（7）代入法拉第定律（2），有

3Bdt—[Vx（AJ）+B]=0.所式（9）意味著Vx（KJ）+B不隨時間變化，如果在某一時刻，有Vx（AJ）=-B,（10）則在任何時刻式（10）都將成立.倫敦假設(shè)超導(dǎo)體滿足式（10）.(11)下面證明，在恒定電磁場的情形下，根據(jù)電磁學(xué)的基本規(guī)律和式（10）可以得到邁斯納效應(yīng).在恒定電磁場情形下，超導(dǎo)體內(nèi)的電場強(qiáng)度顯然等于零，否則J,將無限增長，因此安培定律給出VxB=|iJ.(11)對上式取旋度，有°'Vx（VxBVx（VxB川0VxJ=—%B,其中最后一步用了式（10）.由于Vx（VxB）=V（V?B）-V2B.而V.B=0，因此式（12）給出V2B=§B式（13）要求超導(dǎo)體中B從表面隨濃度很快地減少.我們討論一維情形.式（13）的一維解是(12)(13)為簡單起見,（14）式（14）表明超導(dǎo)體中b隨深度x按指數(shù)衰減.如果nw1023cm，可以$得到w2x10-6cm.\R'0這樣倫敦理論不僅說明了邁斯納效應(yīng)，而且預(yù)言磁屏蔽需要一個有限的厚度，磁場的穿透濃度是10-6cm的量級.實驗證實了這一預(yù)言.綜上所述，倫敦理論用式（7）和式（10）(15)￡2s=B，Vx(KJ)=-B來概括零電阻和邁斯納效應(yīng)，以式（15）作為決定超導(dǎo)體電磁性質(zhì)的基本方程.邁斯納效應(yīng)的實質(zhì)是，磁場中的超導(dǎo)體會在表面產(chǎn)生適當(dāng)?shù)某瑢?dǎo)電流分布，使超導(dǎo)體內(nèi)部B=0.由于零電阻，這超導(dǎo)電流是永久電流，不會衰減.在外磁場改變時，表面超導(dǎo)電流才會相應(yīng)地改變.(15)倫敦理論是一個唯象理論.1957年巴丁、庫柏和徐瑞佛（Bardeen，Cooper，Schriffer）發(fā)展了超導(dǎo)的微觀理論，闡明了低溫超導(dǎo)的微觀機(jī)制，并對超導(dǎo)體的宏觀特性給予統(tǒng)計的解釋.下面回到本題的求解.由式（3）知，在超導(dǎo)體內(nèi)部恒有M=-H,（16）這是超導(dǎo)體獨特的磁物態(tài)方程.通常的磁物態(tài)方程/（H,M,T）=0對超導(dǎo)體約化為式（16）.根據(jù)式（16），有(17)序］如H篇=0.(17)M（a）考慮單位體積的超導(dǎo)體.式（2.7.2）給出準(zhǔn)靜態(tài)過程中的微功為dW=|iHdM.（18）與簡單系統(tǒng)的微功dw=-pdV比較知在代換p—|!H,V—M2.9題式（2）2.9題式（2）給出超導(dǎo)體相應(yīng)的熱力學(xué)關(guān)系為=0.(19)(8C)(82H)3J—0T〔污JT,M最后一步用了式（17）.由式（19）可知，匕與M無關(guān)，只是T的函數(shù).=0.(19)（b）相應(yīng)于簡單系統(tǒng)的（2.2.7）式

-p，超導(dǎo)體有+%H=-%M,其中第二步用了式（17）.-p，超導(dǎo)體有以T,M為自變量，內(nèi)能的全微分為dMdU=[|T]dT+/MdM=CMdT-roMdM.積分得超導(dǎo)體內(nèi)能的積分表達(dá)式為U=jCMdT-^Ml+U0.(20)(21)第一項是不存在磁場時超導(dǎo)體的內(nèi)能，第二項代表外磁場使超導(dǎo)體表面感生超導(dǎo)電流的能量.第二項是負(fù)的，這是式（16）的結(jié)果，因此處在外磁場中超導(dǎo)體的內(nèi)能低于無磁場時的內(nèi)能.(20)(21)（c）相應(yīng)于簡單系統(tǒng)的（2.4.5）式.「c（a。、S=j|-vdT+-。dV+S,IT{aTJ01-v」超導(dǎo)體有.c（aH\S=j芋dT-R01—IdM+S0M=jCMdT+S°,（22）第二步用了式（17）.這意味著，處在外磁場中超導(dǎo)體表面的感生超導(dǎo)電流對熵（無序度）沒有貢獻(xiàn).補(bǔ)充題1溫度維持為25C，壓強(qiáng)在0至1000p〃之間，測得水的實驗數(shù)據(jù)如下：

=(4.5x10-3+1.4x10-6p)cm3.mol-i-K-1.\GT

p若在25C的恒溫下將水從1pn加壓至1000p界吸收的熱量.解：將題給的［莒j記為p(dV1=(4.5x10-3+1.4x10-6p)cm3.mol-i-K-1.\GT

p若在25C的恒溫下將水從1pn加壓至1000p界吸收的熱量.解：將題給的［莒j記為p(dV1II—a+bp.Et)”p〃，求水的熵增加值和從外(1)=—』pj肯1dppETjp—-Jp2(a+bp)dpp1a(p-p)+b(p2-p2).1221(2)(3)將p=1p,p—1000p代入，得AS=-0.527J-mol-1-K-1.(2)(3)根據(jù)式(1.14.4)，在等溫過A程中水從外界吸收的熱量Q為—298x(—0.527)J-mol-1—-157J-mol-1.補(bǔ)充題2試證明范氏氣體的摩爾定壓熱容量與摩爾定容熱容量之差為p，mV，m2a(V-b)21—mV3RTm解：根據(jù)式（2.2.11），有由范氏方程易得所以C-Cp,mV,m-打dp)爬V)=JJ