二項式定理講義-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題

高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)專題二項式定理一、二項式定理：例。分析：是2個相乘，每個在相乘時有兩種選擇：選或選，且每個中的都選定后，才能得到展開式的一項。由分步乘法計數(shù)原理可知，在合并同類項之前，的展開式共有項。對于，可以這樣分析：（按的個數(shù)分類）①每個括號都不選，有個，即只有1個；②兩個括號恰有1個選，有個，即系數(shù)為；③兩個括號恰有2個選，有個，即系數(shù)為。即同理：這個公式叫做二項式定理，右邊的多項式叫做的二項展開式，它共有項，其中各項的系數(shù)叫做二項式系數(shù)。叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：理解三點：①共項；②各項系數(shù)叫二項式系數(shù)；③通項為第項。在二項式定理中，如果設(shè)，則得到公式：例1。求的展開式。解：。例2。（1）求的展開式的第4項的系數(shù)；（2）求的展開式的的系數(shù)。解：（1）展開式的第4項是：展開式第4項的系數(shù)是280。（2）的展開式的通項是：令的系數(shù)是：。注意：二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別。例3。（1）求展開式中的常數(shù)項；（2）展開式中的有理項（正整數(shù)次冪的項）。解：（1）展開式的通項為：令得：即為展開式中的常數(shù)項。（2）展開式中的通項為：令，用代入驗證得：時符合。當(dāng)時，；當(dāng)時，。例4。求展開式中的系數(shù)。解：出現(xiàn)在三處：展開式中的系數(shù)為135。例5。求展開式的常數(shù)項。解：常數(shù)項出現(xiàn)在兩處：。例6。在的展開式中，含項的系數(shù)是多少？解：。例7。求展開式中按的升冪排列的第3項（即項）。（答案：）二、二項式系數(shù)的性質(zhì)：展開式的二項式系數(shù)，當(dāng)時，如表所示：11121133114641151010511615201561上面的表叫做二項式系數(shù)表，它有這樣的規(guī)律：①在同一行中，每行兩端都是1，且與這兩個1等距離的項的系數(shù)相等；用公式表示為：；②在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和。用公式表示為：。二項式系數(shù)的性質(zhì)：（1）對稱性。與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等。即：。（2）增減性與最大值：（先增而后減）由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，則在中間取得最大值。即對于共個二項式系數(shù)：。（3）各二項式系數(shù)的和：已知令，則：即各二項式系數(shù)的和為。例。證明：在的展開式中，奇數(shù)項二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項二項式系數(shù)的和。證明：在展開式中，令，則得：即即在的展開式中，奇數(shù)項二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項二項式系數(shù)的和。二者均為。三、賦值法的應(yīng)用：求展開式的系數(shù)和。例1。設(shè)求：（1）；（2）。解：設(shè)令時，（1）令時，（2）令，。例2。若，且，求。解：令，則。例3。求（1）；（2）。解：（1）令，得：；（2）設(shè)，則令，得：。例4。已知（1）求；（2）求；（3）求。解：（1）令得：；（2）令得：均為正，均為負(fù)（3），?？偨Y(jié)：一般地，對于多項式，有以下結(jié)論：①二項式系數(shù)和為；②各項系數(shù)和為；③奇數(shù)項系數(shù)和為：；④偶數(shù)項系數(shù)和為：。練習(xí)：1。若展開式的系數(shù)和等于的展開式的二項式系數(shù)和，求。（答案：）2。展開式中，奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，用表示出。（答案：）3。已知求：（1）；（2）。（答案：（1）128（2））4。若，則的值為（）A。2B。0C。D。5。已知若，求。（答案：）四、求二項式系數(shù)最大項和求系數(shù)最大項：例1。展開式中第6、7項系數(shù)相等，求展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項。解：由已知得：二項式系數(shù)最大項為：。設(shè)第項系數(shù)最大，則系數(shù)最大的項為：。例2。在的展開式中，求：（1）系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項？（2）二項式系數(shù)最大的項？（3）系數(shù)最大的項？（4）系數(shù)最小的項？解：（1）設(shè)第項系數(shù)絕對值最大，則系數(shù)絕對值最大的項是第6項和第7項。（2）二項式系數(shù)最大的項為：。（3）由（1）知展開式中第6項和第7項系數(shù)的絕對值最大，第6項系數(shù)為負(fù)，第7項系數(shù)為正，則系數(shù)最大的項為：。（4）系數(shù)最小的項為：。例3。在的展開式中，求：（1）二項式系數(shù)最大的項；（2）系數(shù)絕對值最大的項；（3