0初等數(shù)論試卷及答案

初等數(shù)論考試試卷一、（1分/題×20題=20分）1．xxxAＡ．xxx1；Ｂ．xxx1；Ｃ．xxx1；Ｄ．xxx1．2．B)Ａ．整數(shù)a,a, ,a的公因數(shù)中最大的稱為最大公因數(shù)；1 2 nＢ．整數(shù)Ｂ．整數(shù)a,a, ,a的公倍數(shù)最小的稱為最小公倍數(shù)1 2 nＣ．整數(shù)a與它的絕對(duì)值有相同的倍數(shù)Ｄ．整數(shù)a與它的絕對(duì)值有相同的約數(shù)

【有最小的嗎】設(shè)二元一次不定方程axbyc（abc是整數(shù)，且ab不全為零）有一整數(shù)解x,y0

da,b，則此方程的一切解可表為(C)Ａ．xx0

at,yyd

bt,t0,1,2, ;dＢ．xx0Ｃ．xx0Ｄ．xx

at,yyd bt,yyd bt,yy

bt,t0,1,2, ;dat,t0,1,2, ;dat,t0,1,2, ;0 d 0 d（下列各組數(shù)中不構(gòu)成勾股數(shù)的是(D)Ａ．5，12，13； Ｂ．7，24，25；Ｃ．3，4，5； 5．D)Ａ．a(chǎn)1

bmodm,a1

bmodmaa2 1

b1

modm;2Ｂ．

bmodm,

bmodmaa

bb

modm;1 1 2 2

12 1 2Ｃ．

bmodmaa

ba

modm;1 1 12 1 2Ｄ．a(chǎn)2b2modma1

bmodm.11 1[10的一個(gè)簡(jiǎn)化剩余系是(D)Ａ．0,1,2, ,9; Ｂ．1,2,3, ,10;Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4; Ｄ．1,3,7,9.abmodm的充分必要條件(AＡ．mab; Ｂ．a(chǎn)bm;Ｃ．mab; Ｄ．a(chǎn)bm.8．設(shè)fxx42x38x9，同余式fx0mod5的所有解(C)Ａ．x1或Ｂ．x1或4;）Ｃ．x1或Ｄ．無(wú)解．9f(x)=axnn解，則:( )

axa其中a,xx1 0 i

pf(x)0modp的一個(gè)A．modp一定為f(x)0p的一個(gè)解 B．C．當(dāng)C．當(dāng)不整除f(x)f(x0p一定有解xxp其中x0xp 0

modp 1,一定為f(x)0modp的一個(gè)解D．若xx0

p為f(x)0p的一個(gè)解則有x

xmodp0f(x)axn axa,其a為奇,

0modp,np,則同余式n 1 0 i nf(x)0modp的解數(shù)（ ）{A．有時(shí)大于p但不大于n; 不超過(guò)pC．等于p 等于nD若2為模p的平方剩余，則p只能為下列質(zhì)數(shù)中的:( )DA．3 B．11 C 若雅可比符號(hào)a1，則C m x2am,當(dāng)mx2ap有解;mp(x2ap有解;）ap(x2ap有解．A13．若同余式x2a3,2,a有,則解數(shù)等于( )AA．4 3 2 112A)A．1，2，4 B．1，2，4，6，12 C．1，2，3，4，6，12 若模m的原根存在，下列數(shù)中不可能等于D A．2 3 4 12對(duì)于模5，下列式子成立的是(B ){A．ind22 ind233 3C．ind50 ind10ind2ind53 3 3 3下列函數(shù)中不是可乘函數(shù)的是：(C A．茂陛鳥(niǎo)(mobius)函數(shù)w(a) ;B．歐拉函數(shù)a；C．不超過(guò)xx；D．除數(shù)函數(shù)a；x對(duì)模m的指數(shù)是aba>0ab>0，則amB):A．a(chǎn) Bb Cab D．無(wú)法確定fa，ga均為可乘函數(shù)，(A )A．faga為可乘函數(shù)；

faga為可乘函數(shù)C．faga為可乘函數(shù)； D．faga為可乘函20．設(shè)a為茂陛烏斯函數(shù)，則(B)不成立A．1 B．11 C．2D．90（每小題1分，共10分）21．3在45!中的最高次n＝ 21 ；,ax11

ax22

axnn

N，其中a ，a1

，…，an

，N均為整數(shù)，n2，有整數(shù)解的充分必要條件_（a ，a1 2

，…，an

）N_；有理數(shù)a，0ab，a,b1，能表成純循環(huán)小數(shù)的充分必要條件_（10，b）=1 ；bxx0

modm為一次同余式axbmodm，a0modm解為

t

,t0,1,2, ；m0 a,mm威爾生（wilson）定理p1！+10modp,p為素?cái)?shù) ； 26．勒讓德符號(hào)503= 1 ； 1013 p1 若a,p1則a是模p的平方剩余的充分必要條件是a2 1mod

(歐拉判別條件)；在模m的簡(jiǎn)化剩余系中，原根的個(gè)數(shù)；設(shè)1gp的一個(gè)原根，則模2p_gg+pa_；、30．48 16 。（54題＝20分）31．18“若m1x通過(guò)模m的簡(jiǎn)化剩余系，則ax也通過(guò)模m的簡(jiǎn)化剩余系”這命題是否正確正確請(qǐng)證明，不正確請(qǐng)舉反例。171設(shè)a11

p22

pkk

為aSa為aa為a的正因數(shù)的Sa＝a＝為什么四（7×4＝286x+93y=75》x1mod5解同余方程組y3mod6z2mod737．解同余式x2≡11(mod125)38．求模13的所有原根。（7分/題×2題=14分）39、試證：x22y2z2（x，y=，y是偶數(shù)的整數(shù)解可寫成：x(a22b2) y2ab za22b240a(daadd|a d|a>其中d|a

表示展布在a的一切正因數(shù)上的和式。（8分）41、求30！中末尾0的個(gè)數(shù)。參考答案一．單項(xiàng)選擇：ABCDD；DACCB；DCAAD；BCBAB。a,

,a|N

t

,t0,1,2, ；m1 2 nm

0 a,m25．p1！+10modpp為素?cái)?shù)；26．1；—p127．a(chǎn)2

1modp；28．m；29．

與gp中的單數(shù)；30．16這里這里ab0a,b1，并且一為奇數(shù)，一為偶數(shù)。三．簡(jiǎn)答題：31．答：命題正確。

2m212m2m2m2m24mm1而mm1286頁(yè)32．正確．證明見(jiàn)教材P 。47

p1233p,22,

, p的平方剩余， 2 p17,1p18，121,224,329,4216，528,622,7215,821321717的平方非剩余。34．

ak

1pp2

p11iii i1

ii p1i1 i;a1

12

1 k

1fa為可乘函數(shù)，則|a

fki1

fpi

fp．ii．ifafa1四．計(jì)算題35．解：因?yàn)?,933|75，故原不定方程有解。又原方程即2x31y25，而易見(jiàn)方程2x31y1有解x'16,y'0

1。所以原方程的一個(gè)解是x0

400,y0

25所以，原方程的一切整數(shù)解是：]x400r25

t是整數(shù)5，6，75×6×7＝210有唯一解，分別解同余方程：42x1mod535x30x，得x3mod5，x1mod6，x4mod7因此所給同余方程組的解是：x423135133042mod210x26151mod210* x211mod5x1mod5 再?gòu)?t1

11mod52

10mod52 ，因此t1

1mod51t

6mod52 ，是211mod52又從652t

mod53得300t2

25mod53 ,12t2

1mod5即t2mod5x652256是所給方程的一個(gè)解，于是所解為：2x56mod125解畢。38．解：12223, g1

2,g2

3 為其質(zhì)因數(shù)(2

6,

3

4，故g為模13的原根的主要條件是：g6mod1，g4mod1用g=1，2，……122，6，7，1113因?yàn)?134五、證明題：證明：易驗(yàn)證所給的解為原方程的解，因yzxzx2 2

r22 但 zx,zx|zx,zxz 2 2 2 2 }zx,zx|zx,zxx 2 2 2 2 2 2由書中引理，我們可假設(shè)zx zx=a2， =b22 2顯然a>b，(a，b)=1，于是X=a2－b2，z=a2+b2 ，y=2ab因子為奇數(shù)，所以a，b一定是一為奇，一為偶，證畢證明：假定d1

，---，dk

為a的所有正約數(shù)，那末a a，---， 也是a的所有正約數(shù)，于是d d1 k a(d)= ( )dd