教學(xué)第三章-數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課件

Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機器人位姿描述1.位置描述在直角坐標系A(chǔ)中,空間任意一點p的位置可用3x1列向量(位置矢量)表示:位置矢量ApxAyAzAoApAp矢量和表示矢量的模

Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機器人位姿描述xAyA1Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機器人位姿描述2、點的齊次坐標其中：a=ωpx，b=ωpy，c=ωpz。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機器人位姿描述其中：a=2Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機器人位姿描述3、坐標軸的方向描述若用來表示直角坐標系中X、Y、Z坐標軸的單位向量，用齊次坐標來描述X、Y、Z軸的方向，則有Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機器人位姿描述3Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機器人位姿描述3、坐標軸的方向描述規(guī)定:列陣［abc0］T中第四個元素為零,且a2+b2+c2=1,表示某軸(或某矢量)的方向;列陣［abcω］T中第四個元素不為零,則表示空間某點的位置。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機器人位姿描述4Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3.1用齊次坐標寫出圖中矢量uvw的方向列陣。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3.1用齊次坐標寫出圖中矢量u5第三章-數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課件6Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機器人位姿描述4、動坐標系位姿的描述動坐標系位姿的描述就是用位姿矩陣對動坐標系原點位置和坐標系各坐標軸方向的描述。該位姿矩陣為（

）的方陣。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機器人位姿描述7Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機器人位姿描述5、剛體位姿的描述機器人的每一個連桿均可視為一個剛體，若給定了剛體上某一點的位置和該剛體在空中的姿態(tài)，則這個剛體在空間上是唯一確定的，可用唯一一個位姿矩陣進行描述。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機器人位姿描述8Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-2：下圖表示固連于剛體的坐標系{B}位于OB點，XB＝10，YB＝5，ZB＝0。ZB與畫面垂直，坐標系{B}相對固定坐標系{A}有一個30°的偏轉(zhuǎn)，試寫出表示剛體位姿的坐標系{B}的(4×4)矩陣表達式。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-2：下圖表示固連于剛體的坐標9Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機器人位姿描述6、手部位姿描述Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機器人位姿描述10Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)手部的位置矢量為固定參考系原點指向手部坐標系{B}原點的矢量p,手部的方向矢量為n、o、a。于是手部的位姿可用（4X4）矩陣表示為Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)手部的位置矢量為固定參考系原點指向11Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-3：下圖表示手部抓握物體Q，物體為邊長2個單位的正立方體，寫出表達該手部位姿的矩陣式。抓握物體Q的手部Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-3：下圖表示手部抓握物體Q，12Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)7、目標物位姿的描述

下圖中的物體可以由{(1,0,0),(-1,0,0),(-1,0,2),(1,0,2),(1,4,0),(-1,4,0)}表示。如果該物體在基坐標系中先繞z軸旋轉(zhuǎn)90°，再繞y軸旋轉(zhuǎn)90°，再沿x軸平移4，求物體6個頂點的位置。xyzoo1xyzoo1x1y1z1xyzoo1z1y1x1xyzoo1x1z1y1Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)7、目標物位姿的描述xyzoo113Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)這個變換矩陣表示對原參考坐標系重合的坐標系進行旋轉(zhuǎn)和平移操作。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)這個變換矩陣表示對原參考坐標系重合14Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)絕對變換：如果所有的變換都是相對于固定坐標系中各坐標軸旋轉(zhuǎn)或平移，則依次左乘，稱為絕對變換。相對變換：如果動坐標系相對于自身坐標系的當前坐標軸旋轉(zhuǎn)或平移，則齊次變換為依次右乘，稱為相對變換。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)絕對變換：如果所有的變換都是相對于15Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.2齊次變換及運算1、齊次坐標性質(zhì)

三維空間中任一點P可以用直角坐標表示，也可以用不同時為零的4個數(shù)（x1，x2，x3，x4）來表示，稱為齊次方程。齊次坐標與直角坐標的關(guān)系為：Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.2齊次變換及運算16Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)齊次方程有以下性質(zhì)：空間一點P的直角坐標是單值的，但對應(yīng)的齊次坐標是多值的；即齊次坐標可以是

，其中a為非零值。x4為比例坐標，表示點P的各直角坐標值與對應(yīng)的齊次坐標之間的比例關(guān)系，x4不為零時，齊次坐標才能確定三維空間中唯一的點。直角坐標原點的齊次坐標為（0，0，0，x4），x4=0時，是無意義的。齊次坐標（1，0，0，0）表示指向無窮遠的ox軸方向，同理（0，1，0，0）和（0，0，1，0）則表示指向無窮遠的oy，oz軸方向。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)齊次方程有以下性質(zhì)：17Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2、齊次坐標的矢量計算三維空間矢量為

,其中

－ox,oy,oz軸上的單位矢量矢量的齊次坐標為[x,y,z,w]T,一般常取w=1。矢量的計算方法：(1)sa=s[a1,a2,a3,a4]T=[sa1,sa2,sa3,sa4]T,其中s為標量。(2)(3)(4)

其中（5）TRobotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2、齊次坐標的矢量計算T18Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.2齊次變換及運算3、平移的齊次變換點的平移變換Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.2齊次變換及運算點的平移變換19Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)注:①算子左乘:表示點的平移是相對固定坐標系進行的坐標變換。②算子右乘:表示點的平移是相對動坐標系進行的坐標變換。③

該公式亦適用于坐標系的平移變換、

物體的平移變換,如機器人手部的平移變換。

Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)注:20Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-4：有下面三種情況：動坐標系{A}相對于固定坐標系的X0、Y0、Z0軸作(-1，2，2)平移后到{A’}；動坐標系{A}相對于自身坐標系的X、Y、Z軸分別作(-1，2，2)平移后到{A”};物體Q相對于固定坐標系（2，6，0）平移后Q’。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-4：有下面三種情況：動坐標系21Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)已知：寫出坐標系{A’}、{A’’}以及物體Q’的矩陣表達式。

Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)已知：22Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2、

旋轉(zhuǎn)的齊次變換Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2、旋轉(zhuǎn)的齊次變換23Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)繞Z軸、X軸、Y軸旋轉(zhuǎn)的算子Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)繞Z軸、X軸、Y軸旋轉(zhuǎn)的算子24Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)如圖所示為點A繞任意過原點的單位矢量k旋轉(zhuǎn)

角的情況。

分別是k矢量在固定參考坐標軸X，Y，Z上三個分量，且

。可以證明，其旋轉(zhuǎn)齊次變換矩陣為：注：①該式為一般旋轉(zhuǎn)齊次變換通式，概括了繞X，Y，Z軸進行旋轉(zhuǎn)變換的情況。反之，當給出某個旋轉(zhuǎn)變換矩陣，則可求得k及轉(zhuǎn)角。②變換算子公式不僅適用于點的旋轉(zhuǎn)，也適用于矢量、坐標系、物體的旋轉(zhuǎn)。③左乘是相對固定坐標系的變換，右乘是相對于動坐標的變換。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)如圖所示為點A繞任意過原點的單位矢25Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

例3-5已知坐標系中U的位置矢量U＝[7321]T,將此點繞Z軸旋轉(zhuǎn)90°，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)90°，求旋轉(zhuǎn)變換后所得的點W。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-5已知坐標系中U的位置26Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-5：單臂操作手的手腕具有一個自由度。已知手部起始位姿矩陣為

若手臂繞Z0軸旋轉(zhuǎn)+90°，則手部到達G2；若手臂不動，僅手部繞手腕Z1

軸旋轉(zhuǎn)+90°，則手部到達G3，寫出手部坐標軸{G2}及{G3}的矩陣表達式。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-5：單臂操作手的手腕具有一個27Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-6：已知坐標系中U的位置矢量U＝[7321]T,將此點繞Z軸旋轉(zhuǎn)90°，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)90°，W在作

的平移至點E，求變換后所得的點E。

平移加旋轉(zhuǎn)變換Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-6：已知坐標系中U的位置矢量28Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)絕對變換：如果所有的變換都是相對于固定坐標系中各坐標軸旋轉(zhuǎn)或平移，則依次左乘，稱為絕對變換。相對變換：如果動坐標系相對于自身坐標系的當前坐標軸旋轉(zhuǎn)或平移，則齊次變換為依次右乘，稱為相對變換。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)絕對變換：如果所有的變換都是相對于29Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-8:下圖(a)示出擺放在坐標系中的兩個相同的楔形物體。要求把它們重新擺放在圖(b)所示位置。用數(shù)字值給出兩個描述重新擺置的變換序列，每個變換表示沿某個軸平移或繞該軸旋轉(zhuǎn)。在重置過程中，必須避免兩楔形物體的碰撞。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-8:下圖(a)示出擺放在坐標30Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題:3.9解一Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題:3.9解一31Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題:3.9解一Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題:3.9解一32Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題:3.9解一Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題:3.9解一33Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題:3.9解一Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題:3.9解一34Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題:3.9解一Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題:3.9解一35Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題:3.9解一Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題:3.9解一36Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機器人位姿描述1.位置描述在直角坐標系A(chǔ)中,空間任意一點p的位置可用3x1列向量(位置矢量)表示:位置矢量ApxAyAzAoApAp矢量和表示矢量的模

Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機器人位姿描述xAyA37Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機器人位姿描述2、點的齊次坐標其中：a=ωpx，b=ωpy，c=ωpz。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機器人位姿描述其中：a=38Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機器人位姿描述3、坐標軸的方向描述若用來表示直角坐標系中X、Y、Z坐標軸的單位向量，用齊次坐標來描述X、Y、Z軸的方向，則有Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機器人位姿描述39Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機器人位姿描述3、坐標軸的方向描述規(guī)定:列陣［abc0］T中第四個元素為零,且a2+b2+c2=1,表示某軸(或某矢量)的方向;列陣［abcω］T中第四個元素不為零,則表示空間某點的位置。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機器人位姿描述40Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3.1用齊次坐標寫出圖中矢量uvw的方向列陣。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3.1用齊次坐標寫出圖中矢量u41第三章-數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課件42Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機器人位姿描述4、動坐標系位姿的描述動坐標系位姿的描述就是用位姿矩陣對動坐標系原點位置和坐標系各坐標軸方向的描述。該位姿矩陣為（

）的方陣。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機器人位姿描述43Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機器人位姿描述5、剛體位姿的描述機器人的每一個連桿均可視為一個剛體，若給定了剛體上某一點的位置和該剛體在空中的姿態(tài)，則這個剛體在空間上是唯一確定的，可用唯一一個位姿矩陣進行描述。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機器人位姿描述44Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-2：下圖表示固連于剛體的坐標系{B}位于OB點，XB＝10，YB＝5，ZB＝0。ZB與畫面垂直，坐標系{B}相對固定坐標系{A}有一個30°的偏轉(zhuǎn)，試寫出表示剛體位姿的坐標系{B}的(4×4)矩陣表達式。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-2：下圖表示固連于剛體的坐標45Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機器人位姿描述6、手部位姿描述Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1工業(yè)機器人位姿描述46Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)手部的位置矢量為固定參考系原點指向手部坐標系{B}原點的矢量p,手部的方向矢量為n、o、a。于是手部的位姿可用（4X4）矩陣表示為Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)手部的位置矢量為固定參考系原點指向47Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-3：下圖表示手部抓握物體Q，物體為邊長2個單位的正立方體，寫出表達該手部位姿的矩陣式。抓握物體Q的手部Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-3：下圖表示手部抓握物體Q，48Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)7、目標物位姿的描述

下圖中的物體可以由{(1,0,0),(-1,0,0),(-1,0,2),(1,0,2),(1,4,0),(-1,4,0)}表示。如果該物體在基坐標系中先繞z軸旋轉(zhuǎn)90°，再繞y軸旋轉(zhuǎn)90°，再沿x軸平移4，求物體6個頂點的位置。xyzoo1xyzoo1x1y1z1xyzoo1z1y1x1xyzoo1x1z1y1Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)7、目標物位姿的描述xyzoo149Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)這個變換矩陣表示對原參考坐標系重合的坐標系進行旋轉(zhuǎn)和平移操作。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)這個變換矩陣表示對原參考坐標系重合50Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)絕對變換：如果所有的變換都是相對于固定坐標系中各坐標軸旋轉(zhuǎn)或平移，則依次左乘，稱為絕對變換。相對變換：如果動坐標系相對于自身坐標系的當前坐標軸旋轉(zhuǎn)或平移，則齊次變換為依次右乘，稱為相對變換。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)絕對變換：如果所有的變換都是相對于51Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.2齊次變換及運算1、齊次坐標性質(zhì)

三維空間中任一點P可以用直角坐標表示，也可以用不同時為零的4個數(shù)（x1，x2，x3，x4）來表示，稱為齊次方程。齊次坐標與直角坐標的關(guān)系為：Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.2齊次變換及運算52Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)齊次方程有以下性質(zhì)：空間一點P的直角坐標是單值的，但對應(yīng)的齊次坐標是多值的；即齊次坐標可以是

，其中a為非零值。x4為比例坐標，表示點P的各直角坐標值與對應(yīng)的齊次坐標之間的比例關(guān)系，x4不為零時，齊次坐標才能確定三維空間中唯一的點。直角坐標原點的齊次坐標為（0，0，0，x4），x4=0時，是無意義的。齊次坐標（1，0，0，0）表示指向無窮遠的ox軸方向，同理（0，1，0，0）和（0，0，1，0）則表示指向無窮遠的oy，oz軸方向。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)齊次方程有以下性質(zhì)：53Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2、齊次坐標的矢量計算三維空間矢量為

,其中

－ox,oy,oz軸上的單位矢量矢量的齊次坐標為[x,y,z,w]T,一般常取w=1。矢量的計算方法：(1)sa=s[a1,a2,a3,a4]T=[sa1,sa2,sa3,sa4]T,其中s為標量。(2)(3)(4)

其中（5）TRobotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2、齊次坐標的矢量計算T54Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.2齊次變換及運算3、平移的齊次變換點的平移變換Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.2齊次變換及運算點的平移變換55Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)注:①算子左乘:表示點的平移是相對固定坐標系進行的坐標變換。②算子右乘:表示點的平移是相對動坐標系進行的坐標變換。③

該公式亦適用于坐標系的平移變換、

物體的平移變換,如機器人手部的平移變換。

Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)注:56Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-4：有下面三種情況：動坐標系{A}相對于固定坐標系的X0、Y0、Z0軸作(-1，2，2)平移后到{A’}；動坐標系{A}相對于自身坐標系的X、Y、Z軸分別作(-1，2，2)平移后到{A”};物體Q相對于固定坐標系（2，6，0）平移后Q’。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-4：有下面三種情況：動坐標系57Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)已知：寫出坐標系{A’}、{A’’}以及物體Q’的矩陣表達式。

Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)已知：58Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2、

旋轉(zhuǎn)的齊次變換Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2、旋轉(zhuǎn)的齊次變換59Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)繞Z軸、X軸、Y軸旋轉(zhuǎn)的算子Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)繞Z軸、X軸、Y軸旋轉(zhuǎn)的算子60Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)如圖所示為點A繞任意過原點的單位矢量k旋轉(zhuǎn)

角的情況。

分別是k矢量在固定參考坐標軸X，Y，Z上三個分量，且

?？梢宰C明，其旋轉(zhuǎn)齊次變換矩陣為：注：①該式為一般旋轉(zhuǎn)齊次變換通式，概括了繞X，Y，Z軸進行旋轉(zhuǎn)變換的情況。反之，當給出某個旋轉(zhuǎn)變換矩陣，則可求得k及轉(zhuǎn)角。②變換算子公式不僅適用于點的旋轉(zhuǎn)，也適用于矢量、坐標系、物體的旋轉(zhuǎn)。③左乘是相對固定坐標系的變換，右乘是相對于動坐標的變換。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)如圖所示為點A繞任意過原點的單位矢61Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

例3-5已知坐標系中U的位置矢量U＝[7321]T,將此點繞Z軸旋轉(zhuǎn)90°，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)90°，求旋轉(zhuǎn)變換后所得的點W。Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-5已知坐標系中U的位置62Robotics數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例3-5：單臂操作手的手腕具有一個自由度。已知