1.1 集合的概念講義-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

1.1集合的概念知識(shí)整合一、集合元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無(wú)序性．二、元素與集合的關(guān)系：屬于()或不屬于()．三、集合的表示法：自然語(yǔ)言法，列舉法、描述法．四、正整數(shù)集和自然數(shù)集表示方法的區(qū)別：正整數(shù)集N*或N＋，為1,2,3，…；自然數(shù)集N，為0,1,2,3，…，這是集合的高頻考點(diǎn)，注意二者的區(qū)別。五、集合元素的三個(gè)特征中，元素的互異性應(yīng)用的尤為廣泛，解題過(guò)程中，一定要時(shí)刻注意集合元素的這個(gè)特征，在解題前以及解題后都要充分考慮到集合元素的互異性，該檢驗(yàn)的檢驗(yàn)，該舍的舍掉。六、新定義題型是集合命題中的一個(gè)熱點(diǎn)，此類題目首先會(huì)給出一個(gè)概念，然后利用集合為解題的工具，通過(guò)探究的形式解決一個(gè)提出的問(wèn)題，從而考查學(xué)生正確理解題意，解決創(chuàng)新問(wèn)題的能力。七、根據(jù)元素與集合之間的關(guān)系求參數(shù)的值或其取值范圍，一般先把集合化簡(jiǎn)，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問(wèn)題。八、有些題目是用描述法給出的集合，要求用列舉法表示該集合，若解方程的結(jié)果有字母參數(shù)，則需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論。九、數(shù)集與點(diǎn)集的區(qū)分是高頻考點(diǎn)，也是易錯(cuò)考點(diǎn)，注意數(shù)集用數(shù)字來(lái)表示元素，點(diǎn)集用有序數(shù)對(duì)來(lái)表示元素。十、集合的解答題常與一元二次方程結(jié)合起來(lái)考查，解決這類型問(wèn)題要注意分類討論，若二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，則首先討論二次項(xiàng)系數(shù)，另外，在二次項(xiàng)系數(shù)不為0的情況下，還需根據(jù)題意對(duì)方程的判別式進(jìn)行討論。最后再歸納總結(jié)。1.1集合的概念題型一、集合與元素的含義1．下面給出的四類對(duì)象中，構(gòu)成集合的是（

）A．某班視力較好的同學(xué) B．長(zhǎng)壽的人 C．的近似值 D．倒數(shù)等于它本身的數(shù)2．（多選）給出下列說(shuō)法，其中正確的有（）A．中國(guó)的所有直轄市可以構(gòu)成一個(gè)集合；B．高一（1）班較胖的同學(xué)可以構(gòu)成一個(gè)集合；C．正偶數(shù)的全體可以構(gòu)成一個(gè)集合；D．大于2011且小于2016的所有整數(shù)不能構(gòu)成集合．3．下列關(guān)于集合的說(shuō)法正確的有（

）①很小的整數(shù)可以構(gòu)成集合；②集合與集合是同一個(gè)集合；③1，2，，0.5，這些數(shù)組成的集合有5個(gè)元素．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)4．下列說(shuō)法中正確的是（

）A．與定點(diǎn)A，B等距離的點(diǎn)不能構(gòu)成集合B．由“title”中的字母構(gòu)成的集合中元素的個(gè)數(shù)為5C．一個(gè)集合中有三個(gè)元素a,b,c，其中a,b,c是的三邊長(zhǎng)，則不可能是等邊三角形D．高中學(xué)生中的游泳能手能構(gòu)成集合5．下面有四個(gè)語(yǔ)句:①集合N*中最小的數(shù)是0;②-a?N，則a∈N;③a∈N，b∈N，則a+b的最小值是2;④x2+1=2x的解集中含有兩個(gè)元素.其中說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．36．（多選）以下元素的全體能夠構(gòu)成集合的是（

）A．中國(guó)古代四大發(fā)明 B．地球上的小河流C．方程的實(shí)數(shù)解 D．周長(zhǎng)為10cm的三角形題型二、集合中元素的三個(gè)特征1．若以集合的四個(gè)元素為邊長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)四邊形，則這個(gè)四邊形可能是（

）A．矩形 B．平行四邊形C．梯形 D．菱形2．已知集合，則A中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．9 B．8 C．5 D．43．下列四組集合中表示同一集合的為（

）A．，B．，C．，D．，4．用“book”中的字母構(gòu)成的集合中元素個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．45．下面四個(gè)命題正確的個(gè)數(shù)是（

）.①集合中最小的數(shù)是1；②若，則；③若，則的最小值是2；④的解集是.A．0 B．1 C．2 D．3題型三、元素與集合的關(guān)系1．下列關(guān)系中正確的個(gè)數(shù)是（

）①，②，

③，

④A． B． C． D．2．下列關(guān)系中，正確的是（

）A．-2N+ B．Z C．πQ D．5N3．用符號(hào)“∈”或“?”填空：1____N，－3____N，___Q，___N，1__Z，－3___Q，0___Z，___R，0___N*，π___R，___Q，___Z．4．已知集合，則（

）A． B． C． D．5．給出下列關(guān)系：①；②；③；④；⑤．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）．A．1 B．2 C．3 D．46．（多選）已知x，y為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值所組成的集合為，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．題型四、常見(jiàn)數(shù)集的表示1．下列常數(shù)集表示正確的是()A．實(shí)數(shù)集R B．整數(shù)集Q C．有理數(shù)集N D．自然數(shù)集Z2．下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是（）①集合N與集合N+是同一個(gè)集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素。A.1B.2C.3D.4題型五、集合的表示方法1．方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為（）A． B． C． D．2．集合用列舉法表示是（

）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}3．用列舉法表示下列集合：（1）不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合；（2）方程x2＝2x的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；（3）直線y＝2x＋1與y軸的交點(diǎn)所組成的集合；（4）由所有正整數(shù)構(gòu)成的集合．4．集合，用列舉法可以表示為_(kāi)________．5．表示方程的根的集合，用列舉法可以表示為_(kāi)_____，用描述法可表示為_(kāi)_____.6．（多選）下列正確表示方程組的解集的是（

）A． B． C． D．7．用描述法表示下列集合．（1）小于5的正有理數(shù)組成的集合：______；（2）平面直角坐標(biāo)系中第一、三象限角平分線上的所有點(diǎn)組成的集合：______；（3）偶數(shù)集：______；（4）拋物線上的所有點(diǎn)組成的集合：______．8．選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)不小于1且不大于17的質(zhì)數(shù)組成的集合A；(2)所有正奇數(shù)組成的集合B；(3)絕對(duì)值不大于3的所有整數(shù)組成的集合C；(4)直角坐標(biāo)平面上，拋物線上的點(diǎn)組成的集合D．題型六、集合的新定義運(yùn)算1.設(shè)集合則中的元素個(gè)數(shù)為（）(A)3(B)4(C)5(D)62．定義集合且.已知集合，，則（

）A． B．C． D．3．已知集合，，則集合中元素個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．54．已知集合，，則集合B中元素的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．4 C．3 D．25．對(duì)于數(shù)集M?N，定義，，若集合，則集合中所有元素之和為_(kāi)__________.6．設(shè)非空數(shù)集同時(shí)滿足條件：①中不含元素；②若，則，則下列結(jié)論不正確的個(gè)數(shù)是__________個(gè).（1）集合中至多有2個(gè)元素；（2）集合中至少有4個(gè)元素；（3）集合中有且僅有4個(gè)元素；（4）集合中至多有4個(gè)元素.題型七、利用集合相關(guān)知識(shí)求參數(shù)的值或取值范圍1．已知集合，若集合A中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值的集合是______2．已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．已知，若集合A中恰好有5個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．（多選）已知集合至多有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A． B． C． D．5．若集合不含有任何元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．6．已知集合，A中至少有一個(gè)元素，則的取值范圍是_____________.7．若集合.（1）若，求的值；（2）若，求的值．8．設(shè)，，已知，，求的值．9．已知集合．(1)若集合A只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的值；(2)用列舉法表示集合A．10．已知集合有三個(gè)元素：，，，集合也有三個(gè)元素：，，.（1）若，求的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值；11．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．（1）若集合A中只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若集合A中至少有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若集合A中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．1.1集合的概念答案題型一、集合與元素的含義1、【答案】D【詳解】對(duì)于A，視力較好不是一個(gè)明確的定義，故不能構(gòu)成集合；對(duì)于B，長(zhǎng)壽也不是一個(gè)明確的定義，故不能構(gòu)成集合；對(duì)于C，的近似值沒(méi)有明確近似到小數(shù)點(diǎn)后面幾位，不是明確的定義，故不能構(gòu)成集合；對(duì)于D，倒數(shù)等于自身的數(shù)很明確，只有1和-1，故可以構(gòu)成集合；故選：D.2、【答案】AC【詳解】中國(guó)的所有直轄市可以構(gòu)成一個(gè)集合，A正確；高一（1）班較胖的同學(xué)不具有確定性，不能構(gòu)成集合，B錯(cuò)誤；正偶數(shù)的全體可以構(gòu)成一個(gè)集合，C正確；大于2011且小于2016的所有整數(shù)能構(gòu)成集合，D錯(cuò)誤.故選：AC.3、【答案】A【詳解】很小的整數(shù)可以構(gòu)成集合是錯(cuò)誤的，不滿足元素的確定性，故①錯(cuò)誤．集合表示y的取值范圍，而表示的集合為函數(shù)圖象上的點(diǎn)，所以不是同一集合，故②錯(cuò)誤．1，2，，0.5，這些數(shù)組成的集合有3個(gè)元素，而不是5個(gè)元素，故③錯(cuò)誤．故選：A．4、【答案】C【詳解】對(duì)于A：與定點(diǎn)A，B等距離的點(diǎn)在線段的中垂線上，故可以組成集合，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由集合元素的互異性可知，由“title”中的字母構(gòu)成的集合中元素的個(gè)數(shù)為4，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)榧系脑鼐哂谢ギ愋裕詀，b，c互不相等，故不可能是等邊三角形，即C正確；對(duì)于D：游泳能手模棱兩可，不具有確定性，故D錯(cuò)誤；故選：C5、【答案】A【詳解】因?yàn)镹*是不含0的自然數(shù)，所以①錯(cuò)誤;取a=，則-?N，?N，所以②錯(cuò)誤;對(duì)于③，當(dāng)a=b=0時(shí)，a+b取得最小值是0，而不是2，所以③錯(cuò)誤;對(duì)于④，解集中只含有元素1，故④錯(cuò)誤.故選：A6、【答案】ACD【詳解】首先互異性是保證的，其次考慮確定性：中國(guó)古代四大發(fā)明是確定的，能構(gòu)成集合，地球上的小河流的標(biāo)準(zhǔn)不確定，即一條河流沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)判斷它是不是小河流，不能構(gòu)成集合，方程的實(shí)數(shù)解只有兩個(gè)1和，能構(gòu)成集合，周長(zhǎng)為10cm的三角形是確定，三角形的周長(zhǎng)要么等于10cm，要么不等于10cm，是確定的，能構(gòu)成集合．故答案為：ACD．題型二、集合中元素的三個(gè)特征1、【答案】C【詳解】由題意，集合的四個(gè)元素為邊長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)四邊形，根據(jù)集合中元素的互異性，可得四個(gè)元素互不相等，以四個(gè)元素為邊長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)四邊形，結(jié)合選項(xiàng)，只能為梯形.故選：C.2、【答案】A【詳解】由，得，，又，，所以，，易知與的任意組合均滿足條件，所以A中元素的個(gè)數(shù)為.故選：A.3、【答案】B【詳解】對(duì)A，兩個(gè)集合中元素對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)不同，則A不正確；對(duì)B，集合中的元素具有無(wú)序性，兩個(gè)集合是同一集合，故B正確；對(duì)C，兩個(gè)集合研究的對(duì)象不同，一個(gè)是點(diǎn)集，一個(gè)是數(shù)集，則C不正確；對(duì)D，是數(shù)集，是點(diǎn)集，則D不正確．故選：B．4、【答案】C【詳解】“book”中的字母構(gòu)成的集合為，有3個(gè)元素，故選：C5、【答案】C【詳解】是正整數(shù)集，最小的正整數(shù)是1，故①正確；當(dāng)時(shí)，，但，故②錯(cuò)誤；若，則a的最小值為1.又，則b的最小值為1，當(dāng)a和b都取最小值時(shí)，取最小值2，故③正確；由集合中元素的互異性知④錯(cuò)誤.故選：C題型三、元素與集合的關(guān)系1、【答案】B【詳解】①錯(cuò)誤②正確③錯(cuò)誤④正確，故選：B2、【答案】C【詳解】對(duì)于A，-2是負(fù)整數(shù)，則-2N+，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，是分?jǐn)?shù)，則Z，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，π是無(wú)理數(shù)，則πQ，C正確；對(duì)于D，5是正整數(shù)，則5N，D錯(cuò)誤；故選：C3、【答案】

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?【詳解】表示自然數(shù)集；表示正整數(shù)集；表示整數(shù)集；表示有理數(shù)集；表示實(shí)數(shù)集.故答案為：；；；；；；；；；；；.4、【答案】D【詳解】由集合，即集合是所有的偶數(shù)構(gòu)成的集合.所以，，，，故選：D5、【答案】B【詳解】和是正確的；①②正確；因?yàn)?，故③是錯(cuò)誤的；因?yàn)楣盛苁清e(cuò)誤的；故⑤是錯(cuò)誤的．故選：B.6、【答案】AB【詳解】當(dāng)x，y都大于零時(shí)，；當(dāng)x，y中一個(gè)大于零，另一個(gè)小于零時(shí)，；當(dāng)x，y都小于零時(shí)，．根據(jù)元素與集合的關(guān)系，可知，，，．故選：AB．題型四、常見(jiàn)數(shù)集的表示1、【答案】A【詳解】因?yàn)楸硎菊麛?shù)集，表示有理數(shù)集，表示實(shí)數(shù)集，表示自然數(shù)數(shù)集，所以A正確，故選A.2、B題型五、集合的表示方法1、【答案】C【詳解】由，解得或，所以方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為；故選：C2、【答案】D【詳解】由題知，故選：D3、【答案】（1）{0，2，4，6，8，10}；（2）{0，2}；（3）{(0，1)}；（4）{1，2，3，…}．【詳解】（1）因?yàn)椴淮笥?0是指小于或等于10，非負(fù)是大于或等于0的意思，所以不大于10的非負(fù)偶數(shù)集是{0，2，4，6，8，10}．（2）方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解組成的集合為{0，2}．（3）將x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交點(diǎn)是(0，1)，故交點(diǎn)組成的集合是{(0，1)}．（4）正整數(shù)有1，2，3，…，所求集合為{1，2，3，…}．4、【答案】##【詳解】因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)?，所以，集合．故答案為?、【答案】

##

（答案不唯一）【詳解】由，得，解得，或，所以方程根的集合用列舉法可以表示為，用描述法可表示為（答案不唯一）故答案為：，（答案不唯一）6、【答案】BD【詳解】由，解得，所以該方程組的解集為或.故選BD．7、【答案】

【詳解】（1）由描述可得：集合為.（2）第一、三象限角平分線上的所有點(diǎn)都在上，故集合為.（3）由偶數(shù)可表示為，故集合為.（4）由描述知：集合為.故答案為：，，，.8、【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)不小于1且不大于17的質(zhì)數(shù)有，用列舉法表示：；(2)所有正奇數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)，用描述法表示：；(3)絕對(duì)值不大于3的所有整數(shù)只有，用列舉法表示：；(4)直角坐標(biāo)平面上，拋物線上的點(diǎn)，用描述法表示：．題型六、集合的新定義運(yùn)算1、B2、【答案】C【詳解】因?yàn)?，，所以，故選：C3、【答案】C【詳解】因?yàn)?，，所以或或或，故，即集合中含有個(gè)元素；故選：C4、【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，所以，即集合B中的元素有，，，共4個(gè)，故選：B．5、【答案】##11.5【詳解】,，,,,3,，,3,4,1,，元素之和為，故答案為：.6、【答案】3【詳解】因?yàn)槿簦瑒t，所以，，則；當(dāng)時(shí)，4個(gè)元素中，任意兩個(gè)元素都不相等，所以集合M中至少有4個(gè)元素．故可判斷出（1）錯(cuò)誤，（2）正確，（3）錯(cuò)誤，（4）錯(cuò)誤，故答案為：3.題型七、利用集合相關(guān)知識(shí)求參數(shù)的值或取值范圍1、【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)解，則集合有且只有一個(gè)元素，符合題意；當(dāng)時(shí)，若集合A中只有一個(gè)元素，則一元二次方程有二重根，即，即綜上，或，故實(shí)數(shù)a的取值的集合為故答案為：2、【答案】C【詳解】由題意可得，解得，故選：C3、【答案】D【詳解】由題意可知，可得.故選：D4、【答案】BCD【詳解】集合至多有一個(gè)元素，即方程至多一個(gè)解，時(shí)，解為，符合；時(shí)，由得：，結(jié)合選項(xiàng)可知BCD符合，故選：