數(shù)學(xué)新教材解讀及考點(diǎn)剖析專題04 平面投影向量的應(yīng)用

專題04平面投影向量的應(yīng)用[新教材的新增內(nèi)容]背景分析:在舊教材中只是講解了投影的概念，而新教材再次基礎(chǔ)上增加了投影向量的概念與求解公式.1.投影向量的概念:如圖(1)設(shè)是兩個(gè)非零向量，，作如下變換：過(guò)的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.如圖（2），在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作.過(guò)點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量.2.投影向量計(jì)算公式:當(dāng)為銳角（如圖（1））時(shí)，與方向相同，，所以；當(dāng)為直角（如圖（2））時(shí)，，所以；當(dāng)為鈍角（如圖（3））時(shí)，與方向相反，所以，即.當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以綜上可知，對(duì)于任意的，都有.[新增內(nèi)容的考查分析]1.求投影向量(由投影向量與投影所在的向量共線，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求向量間的投影數(shù)量與投影所在向量方向上單位向量的積(注意向量間的投影向量與向量間投影的數(shù)量區(qū)別)【考法示例1】1.已知||＝4，為單位向量，它們的夾角為，則向量在向量上的投影向量是_____；向量在向量上的投影向量是________．【答案】①.②.【解析】【分析】向量在向量上的投影向量：與向量共線，即向量在向量上投影的數(shù)量乘以向量方向上的單位向量；同理，向量在向量上的投影向量亦如此；由向量的數(shù)量積的幾何意義知：向量在向量上投影的數(shù)量為，向量在向量上投影的數(shù)量為，由此向量在向量上的投影向量為，向量在向量上的投影向量【詳解】由||＝4，為單位向量，它們的夾角為根據(jù)向量的數(shù)量積公式,有：即向量在向量上的投影數(shù)量：向量在向量上的投影數(shù)量：∴向量在向量上的投影向量：向量在向量上的投影向量：故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的幾何意義；由投影向量與投影所在的向量共線，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求向量間的投影數(shù)量與投影所在向量方向上單位向量的積(注意向量間的投影向量與向量間投影的數(shù)量區(qū)別)【考法示例2】2.已知向量與的夾角為，且，，則在方向上的投影向量與投影數(shù)量分別是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】利用向量投影數(shù)量的概念可求得在方向上的投影數(shù)量，設(shè)在方向上的投影向量為，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義可得出，求出實(shí)數(shù)的值，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)在方向上的投影向量為，則，故，故在方向上的投影向量為，在方向上的投影數(shù)量為.故選：D.2.已知投影向量求解向量的模、數(shù)量積等【考法示例3】3.已知向量，，，為向量在向量上的投影向量，則_______【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影的定義計(jì)算即可.【詳解】，由投影公式可知.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量的投影，此類問(wèn)題熟記公式是關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題.考法示例4】4.已知，向量在向量上的投影向量為，則＝____________.【答案】18【解析】【分析】由題意向量在向量上的投影向量為，分析可得，代入公式，即可得答案.【詳解】因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛椋瑒t可得，所以，故答案為：18.【點(diǎn)睛】本題考查向量投影的應(yīng)用，考查分析理解的能力，屬基礎(chǔ)題.3.已知投影向量求解參數(shù)【考法示例5】5.已知向量，點(diǎn)，，記為在向量上的投影向量，若，則_________．【答案】【解析】【分析】先求得在向量上的投影，再根據(jù)為在向量上的投影，求得的坐標(biāo)，然后由求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，，所以，又向量，所以在向量上的投影，所以因?yàn)?，所以，故答案為?.與投影向量相關(guān)的綜合考查【考法示例6】6.已知非零單位向量和，若，向量在向量上的投影向量為，向量在向量上的投影向量為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義及投影定義，依次計(jì)算各選項(xiàng)即可求得結(jié)果.【詳解】和為單位向量,，，向量在向量上的投影為，向量在向量上的投影向量為，向量在向量上的投影為，向量在向量上的投影向量為，C錯(cuò)誤，，，A正確，，，B正確，，D正確.故選：ABD.[新增內(nèi)容的針對(duì)訓(xùn)練]7.已知向量，，，為向量在向量上的投影向量，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先計(jì)算，再根據(jù)投影公式計(jì)算投影向量的模.【詳解】由投影公式可知.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查投影的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題型.8.已知，，＝120°，則向量在向量方向上的投影是________，向量在向量方向上的投影是________【答案】①.－5②.－1【解析】【分析】根據(jù)向量投影的定義，即可求解、【詳解】根據(jù)向量投影的定義，向量在向量方向上的投影是；向量在向量方向上的投影是．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量投影的定義的應(yīng)用．9.設(shè)向量，．若，，則______，向量在向量上的投影向量為_(kāi)_____．【答案】①.13②.【解析】【分析】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出向量、的坐標(biāo)，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求的值，根據(jù)投影向量的計(jì)算公式即可求向量在向量上的投影向量.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，所以，，所以，由，可得：，，所以，向量在向量上的投影向量為：，故答案為：?10.已知向量在向量上的投影向量的模為，向量在向量上的投影向量的模為，且，則________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)向量投影的定義求出、的值，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)向量與向量的夾角為，由題意可得，可得.當(dāng)時(shí)，則，所以，；當(dāng)時(shí)，則，所以，.故答案為：或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求向量模的常見(jiàn)思路與方法：（1）求模問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用，勿忘記開(kāi)方；（2）或，此性質(zhì)可用來(lái)求向量