排列組合常見題型及解答

一．可重復(fù)的排列求冪法：重復(fù)排列問題要區(qū)分兩類元素：一類可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，則通過“住店法”可順利解題，在這類問題使用住店處理的策略中，關(guān)鍵是在正確判斷哪個是底數(shù)，哪個是指數(shù)【例1】（1）有4名學(xué)生報名參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽，每人限報一科，有多少種不同的報名方法2）有4名學(xué)生參加爭奪數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽冠軍，有多少種不同的結(jié)果3）將3封不同的信投入4個不同的郵筒，則有多少種不同投法【解析】：（1）（2）（3）【例2】 把6名實習(xí)生分配到 7個車間實習(xí)共有多少種不同方法【解析】：完成此事共分 6步，第一步；將第一名實習(xí)生分配到車間有 7種不同方案，第二步：將第二名實習(xí)生分配到車間也有 7種不同方案，依次類推，由分步計數(shù)原理知共有種不同方案.【例3】8名同學(xué)爭奪 3項冠軍，獲得冠軍的可能性有（ ）A、 B 、 C 、 D 、【解析】：冠軍不能重復(fù)，但同一個學(xué)生可獲得多項冠軍，把 8名學(xué)生看作 8家“店”，3項冠軍看作3個“客”，他們都可能住進(jìn)任意一家“店”，每個“客”有8種可能，因此共有種不同的結(jié)果。所以選A二．相鄰問題捆綁法：題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，當(dāng)作一個大元素參與排列.【例1】A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法種數(shù)有【解析】：把A,B視為一人，且B固定在A的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，種【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（）A.360B.188C.216D.96【解析】：間接法6位同學(xué)站成一排，3位女生中有且只有兩位女生相鄰的排法有，，其中男生甲站兩端的有，符合條件的排法故共有288三．相離問題插空法：元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是【解析】：除甲乙外，其余5個排列數(shù)為種，再用甲乙去插6個空位有種，不同的排法數(shù)是【例2】書架上某層有6本書，新買3本插進(jìn)去，要保持原有6本書的順序，有種不同的插法（數(shù)字作答）【解析】：【例3】高三（一）班學(xué)要安排畢業(yè)晚會的4各音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是【解析】：不同排法的種數(shù)為＝3600【例4】某工程隊有6項工程需要單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行，工程丙必須在工程乙完成后才能進(jìn)行，有工程丁必須在工程丙完成后立即進(jìn)行。那么安排這6項工程的不同排法種數(shù)是【解析】：依題，只需將剩余兩個工程插在由甲、乙、丙、丁四個工程形成的5個空中，可得有＝種不同排法。【例5】某市春節(jié)晚會原定10個節(jié)目，導(dǎo)演最后決定添加3個與“抗冰救災(zāi)”有關(guān)的節(jié)目，但是賑災(zāi)節(jié)目不排在第一個也不排在最后一個，并且已經(jīng)排好的10個節(jié)目的相對順序不變，則該晚會的節(jié)目單的編排總數(shù)為種.【解析】：【例6】.馬路上有編號為1，2，3?，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種【解析】：把此問題當(dāng)作一個排對模型，在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮的燈種方法,所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種.說明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊模型，裝盒模型可使問題容易解決.【例7】3個人坐在一排8個椅子上，若每個人左右兩邊都有空位，則坐法的種數(shù)有多少種【解析】：解法1、先將3個人（各帶一把椅子）進(jìn)行全排列有A，○*○*○*○，在四個空中分別放一把椅子，還剩一把椅子再去插空有A種，所以每個人左右兩邊都空位的排法有=24種.解法2：先拿出5個椅子排成一排，在5個椅子中間出現(xiàn)4個空，*○*○*○*○*再讓3個人每人帶一把椅子去插空，于是有A=24種.【例8】停車場劃出一排12個停車位置，今有8輛車需要停放.要求空車位置連在一起，不同的停車方法有幾種【解析】：先排好8輛車有A種方法，要求空車位置連在一起，則在每2輛之間及其兩端的9個空檔中任選一個，將空車位置插入有C種方法，所以共有CA種方法.注：題中*表示元素，○表示空.四．元素分析法（位置分析法）：某個或幾個元素要排在指定位置，可先排這個或幾個元素；再排其它的元素?！纠?】2010年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有（）A.36種B.12種C.18種D.48種【解析】：方法一：從后兩項工作出發(fā)，采取位置分析法。方法二：分兩類：若小張或小趙入選，則有選法；若小張、小趙都入選，則有選法，共有選法36種，選A.【例2】1名老師和4名獲獎同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種【解析】：老師在中間三個位置上選一個有種，4名同學(xué)在其余4個位置上有種方法；所以共有【例3】有七名學(xué)生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少種【解析】法一：法二：法三：五．多排問題單排法：把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。【例1】（1）6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數(shù)是（）A、36種B、120種C、720種D、1440種（2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法種數(shù)為（A）（B）（C）（D）（3）8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某1個元素排在后排，有多少種不同排法【解析】：（1）前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排成一排，共種，選.（2）答案：C（3）看成一排，某2個元素在前半段四個位置中選排2個，有種，某1個元素排在后半段的四個位置中選一個有種，其余5個元素任排5個位置上有種，故共有種排法.六．定序問題縮倍法（等幾率法）：在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法.【例1】.五人并排站成一排，如果必須站在的右邊（可以不相鄰）那么不同的排法種數(shù)【解析】：在的右邊與在的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個元素全排列數(shù)的一半，即種【例2】書架上某層有6本書，新買3本插進(jìn)去，要保持原有6本書的順序，有多少種不同的插法【解析】：法一：法二：【例3】將A、B、C、D、E、F這6個字母排成一排，若A、B、C必須按A在前，B居中，C在后的原則（A、B、C允許不相鄰），有多少種不同的排法【解析】：法一：法二：六．標(biāo)號排位問題（不配對問題）把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.【例1】將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的標(biāo)號與所填數(shù)字均不相同的填法有（）A、6種B、9種C、11種D、23種【解析】：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填入其它三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數(shù)字，只有一種填法，共有3×3×1=9種填法，選.【例2】編號為1、2、3、4、5的五個人分別去坐編號為1、2、3、4、5的五個座位，其中有且只有兩個的編號與座位號一致的坐法是（）A10種B20種C30種D60種答案：B【例3】：同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式共有()（A）6種（B）9種（C）11種（D）23種【解析】：設(shè)四個人分別為甲、乙、丙、丁，各自寫的賀年卡分別為a、b、c、d。第一步，甲取其中一張，有3種等同的方式；第二步，假設(shè)甲取b，則乙的取法可分兩類：1）乙取a，則接下來丙、丁取法都是唯一的，2）乙取c或d（2種方式），不管哪一種情況，接下來丙、丁的取法也都是唯一的。根據(jù)加法原理和乘法原理，一共有種分配方式。 故選（B）【例4】：五個人排成一列，重新站隊時，各人都不站在原來的位置上， 那么不同的站隊方式共有

( )（A）60種 （B）44種 （C）36種 （D）24種

答案：

B七．不同元素的分配問題（先分堆再分配） ：注意平均分堆的算法【例1】有6本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方式分成1本、2本、3本三組；分給甲、乙、丙三人，其中一個人 1本，一個人分成每組都是 2本的三個組；分給甲、乙、丙三人，每個人 2本；

2本，一個人

3本；分給5人每人至少1本。【解析】：（1）（2）（3）（4）（5）【例2】將4名大學(xué)生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有種（數(shù)字作答）．【解析】：第一步將4名大學(xué)生按，2，1，1分成三組，其分法有;第二步將分好的三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，其分法有所以滿足條件得分配的方案有說明：分配的元素多于對象且每一對象都有元素分配時常用先分組再分配.【例3】5名志愿者分到3所學(xué)校支教，每個學(xué)校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有（A）150種(B)180種(C)200種(D)280種【解析】：人數(shù)分配上有1,2,2與1,1,3兩種方式，若是1,2,2，則有＝60種，若是1,1,3，則有＝90種，所以共有150種，選A【例4】將9個（含甲、乙）平均分成三組，甲、乙分在同一組，則不同分組方法的種數(shù)為（）A．70B．140C．280D．840答案：（A）【例5】將5名實習(xí)教師分配到高一年級的３個班實習(xí)，每班至少１名，最多２名，則不同的分配方案有（）（A）３０種（B）９０種（C）１８０種（D）２７０種【解析】：將5名實習(xí)教師分配到高一年級的3個班實習(xí)，每班至少1名，最多2名，則將5名教師分成三組，一組1人，另兩組都是2人，有種方法，再將3組分到3個班，共有種分配方案。選B.【例6】某外商計劃在四個候選城市投資3個不同的項目,且在同一個城市投資的項目不超過2個,則該外商不同的投資方案有（）種A．16種B．36種C．42種D．60種【解析】：按條件項目可分配為與的結(jié)構(gòu)，∴故選D；【例7】（1）5本不同的書，全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（）A、480種B、240種C、120種D、96種答案：.（2）12名同學(xué)分別到三個不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案有多少種答案：【例8】有甲乙丙三項任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項任務(wù)，不同的選法種數(shù)是（）A、1260種B、2025種C、2520種D、5040種【解析】：先從10人中選出2人承擔(dān)甲項任務(wù)，再從剩下的8人中選1人承擔(dān)乙項任務(wù)，第三步從另外的7人中選1人承擔(dān)丙項任務(wù)，不同的選法共有種，選.【例9】.某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經(jīng)濟(jì)開發(fā)建設(shè)，其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案【解析】：因為甲乙有限制條件，所以按照是否含有甲乙來分類，有以下四種情況：①若甲乙都不參加，則有派遣方案種；②若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，然后安排其余學(xué)生有方法，所以共有；③若乙參加而甲不參加同理也有種；④若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再安排其余8人到另兩個城市有種，共有方法.所以共有不同的派遣方法總數(shù)為種【例10】四個不同球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有多少種【解析】：先取四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有種，再排：在四個盒中每次排3個有種，故共有種.八．相同元素的分配問題隔板法：【例1】：把20個相同的球全放入編號分別為1，2，3的三個盒子中，要求每個盒子中的球數(shù)不少于其編號數(shù)，則有多少種不同的放法【解析】：向1，2，3號三個盒子中分別放入0，1，2個球后還余下17個球，然后再把這17個球分成3份，每份至少一球，運用隔板法，共有種?！纠?】10個三好學(xué)生名額分到7個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不同分配方案【解析】：10個名額分到7個班級，就是把10個名額看成10個相同的小球分成7堆，每堆至少一個，可以在10個小球的9個空位中插入6塊木板，每一種插法對應(yīng)著一種分配方案，故共有不同的分配方案為種.變式1：7個相同的小球，任意放入四個不同的盒子，問每個盒子都不空的放法有種變式2：馬路上有編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盞路燈，為節(jié)約用電，可以把其中的三盞路燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，滿足條件的關(guān)燈辦法有種【例3】：將4個相同的白球、5個相同的黑球、6個相同的紅球放入4各不同的盒子中的3個中，使得有一個空盒且其他盒子中球的顏色齊全的不同放法有多少種【解析】：1、先從4個盒子中選三個放置小球有種方法。2、注意到小球都是相同的，我們可以采用隔板法。為了保證三個盒子中球的顏色齊全，可以在4個相同的白球、5個相同的黑球、6個相同的紅球所產(chǎn)生的3個、4個5個空擋中分別插入兩個板。各有、、種方法。3、由分步計數(shù)原理可得=720種九．多面手問題（分類法---選定標(biāo)準(zhǔn)）【例1】：有11名外語翻譯人員，其中5名是英語譯員，4名是日語譯員，另外兩名是英、日語均精通，從中找出8人，使他們可以組成翻譯小組，其中4人翻譯英語，另4人翻譯日語，這兩個小組能同時工作，問這樣的8人名單可以開出幾張變式：.有11名外語翻譯人員,其中有5名會英語,4名會日語,另外兩名英,日語都精通,從中選出8人,組成兩個翻譯小組,其中4人翻譯英語,另4人翻譯日語,問共有多少不同的選派方式答案：185十．走樓梯問題（分類法與插空法相結(jié)合）【例 1】小明家住二層，他每次回家上樓梯時都是一步邁兩級或三級臺階。已知相鄰樓層之間有級臺階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法【解析】 ：插空法解題：考慮走 3級臺階的次數(shù)：1）有2）有

0次走3級臺階（即全走 2級），那么有1次走三級臺階。（不可能完成任務(wù)）；

1種走法；3）有兩次走 3級臺階，則有 5次走2級臺階：（a）兩次三級臺階挨著時：相當(dāng)于把這兩個挨著的三級臺階放到（b）兩次三級不挨著時：相當(dāng)于把這兩個不挨著的三級臺階放到

5個兩級臺階形成的空中，有5個兩級臺階形成的空中，有種

種走法。4）有3次（不可能）5）有4次走3級臺階，則有 2次走兩級臺階，互換角色，想成把兩個 2級臺階放到 3級臺階形成得空中，同（ 3）考慮挨著和不挨著兩種情況有種走法；6）有5次（不可能）故總共有：1+6+15+15=37種。變式：欲登上第 10級樓梯，如果規(guī)定每步只能跨上一級或兩級，則不同的走法共有

( )（A）34種 （B）55

種

（C）89

種

（D）144種

答案： （C）十一．排數(shù)問題（注意數(shù)字“

0”）【例1】（1）由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（ ）A、210種 B 、300種 C 、464種 D 、600種【解析】 ：按題意，個位數(shù)字只可能是 0，1，2，3，4共5種情況，分別有個， 個，合并總計個,選.（2）從1，2，3，?，100這100個數(shù)中任取兩個數(shù)，使其和能被 4整除的取法（不計順序）有多少種【解析】 ：將分成四個不相交的子集，能被 4整除的數(shù)集；能被 4除余1的數(shù)集，能被 4除余2的數(shù)集，能被 4除余3的數(shù)集，易見這四個集合中每一個有 25個元素；從中任取兩個數(shù)符合要；從中各取一個數(shù)也符合要求；從中任取兩個數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有種 .十二．染色問題：涂色問題的常用方法有： （1）可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論 ;2）根據(jù)相對區(qū)域是否同色分類討論;3）將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化成平面區(qū)域涂色問題?！纠?】將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，如果只有 5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是 _______.【解析一】滿足題設(shè)條件的染色至少要用三種顏色。(1)若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點 S，再從余下的四種顏色中任選兩種涂 A、B、C、D四點，此時只能 A與C、B與D分別同色，故有種方法。(2)若恰用四種顏色染色，

可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點

S，再從余下的四種顏色中任選兩種染而D與

A與B，由于A、B顏色可以交換，故有種染法；再從余下的兩種顏色中任選一種染C，而D與C中另一個只需染與其相對頂點同色即可，故有種方法。

D或

C，若恰用五