數(shù)分課件-第十章定積分應(yīng)用習(xí)題課

定積分的應(yīng)用習(xí)題課微元法理

論

依

據(jù)名稱釋譯的所特求點(diǎn)量解題步驟定積分應(yīng)用中的常用公式一、主要內(nèi)容1、理論依據(jù)這表明連續(xù)函數(shù)的定積分就是(1)的微分的定積分.dU

U

(2)f

(t

)dt

(1)設(shè)f

(x)在[a,b]上連續(xù),則它的變上限積分xab

baf

(

x)dx

a是

f

(

x)

的一個(gè)原函數(shù),即

dU

(

x)

f

(

x)dx,于是U

(

x)

2、名稱釋譯這種取微元f(x)dx計(jì)算積分或原函數(shù)的方法稱微元法.f

(

x)dxaU

由理論依據(jù)(2)知,所求總量A

就是其微分dU

f

(x)dx

從a

到b

的無(wú)限積累(積分):b（1）U

是與一個(gè)變量x

的變化區(qū)間a,b有關(guān)的量；（2）U

對(duì)于區(qū)間a,b具有可加性，就是說(shuō)，如果把區(qū)間a,b分成許多部分區(qū)間，則U

相應(yīng)地分成許多部分量，而U

等于所有部分量之和；（3）部分量Ui

的近似值可表示為f

(i

)xi

；就可以考慮用定積分來(lái)表達(dá)這個(gè)量U

.3、所求量的特點(diǎn)1)根據(jù)問(wèn)題的具體情況，選取一個(gè)變量例如x為積分變量，并確定它的變化區(qū)間[a,b]；2）設(shè)想把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間并記為[x,x

dx]，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量U

的近似值．如果U

能近似地表示為[a,b]上的續(xù)函數(shù)在x

處的值f

(x)與區(qū)間上作定積分，得dx

的乘積，就把

f

(

x)dx

稱為量U

的元素且記作dU

，即dU

f

(

x)dx

；3）以所求量U

的元素f

(x)dx

為被積表達(dá)式，在ba[a,

b]

U

f

(

x)dx，即為所求量U

．4、解題步驟5、定積分應(yīng)用的常用公式(1)

平面圖形的面積直角坐標(biāo)情形xoy

f

(

x)A

baf

(

x)dxxy

yoy

f1

(

x)y

f2

(

x)A

b[

f

(

x)

f

(

x)]dxa12AAabab如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程

y

(t

)

x

(t

)曲邊梯形的面積A

2t1t

(t

)

(t

)dt（其中t1和t2對(duì)應(yīng)曲線起點(diǎn)與終點(diǎn)的參數(shù)值）在[t1

,t2

]（或[t2

,t1

]）上x

(t

)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，y

(t

)連續(xù).參數(shù)方程所表示的函數(shù)[

(

)]2

d2A

1odr

(

)or

2

(

)r

1

(

)

)

(

)]d[

(2A

12122極坐標(biāo)情形x

dxx(2)

體積yoV

ba2

[

f

(

x)]

dxdc2

[

(

y)]

dyox

(

y)

V

cydoV

baA(

x)dxx

dxab平行截面面積為已知的立體的體積A(

x)(3)

平面曲線的弧長(zhǎng)yo

ax

dx

b

dy弧長(zhǎng)s

ba1

y2

dxA．曲線弧為

y

f

(

x)

x

(t

)y

(t

)(

t

)其中

(t

),

(t

)在[

,

]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)弧長(zhǎng)s

2

(t

)

2

(t

)dtB．曲線弧為C．曲線弧為

r

r(

) (

)弧長(zhǎng)s

r

2

(

)

r2

(

)d(4)

旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積y

f

(

x)

0,

a

x

bx

dxxyoy

f

(

x)abS

2f

(

x) 1

f

2

(

x)dx側(cè)(5)

細(xì)棒的質(zhì)量ox

(

x)xx

dx

lm

ll

(

x)dxdm00(6)

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量bxyx

dxa

o

xbabayyI

dI2x

(

x)dx(

(x)為線密度)(7)

變力所作的功F

(

x)bo

a

xx

dxxW

babaF

(

x)dxdW(8)

水壓力bxyoaxx

dxbf

(

x)baaP

dPxf

(

x)dx(

為)(9)

引力xyx

dxo

xA

llllllydF

yF

Gadx3(a2

x2

)2xF

0.(G

為引力系數(shù))(10)

函數(shù)的平均值b

ay

baf

(

x)dx1(11)

均y

bab

af

(

x)dx12二、典型例題例1求10

它所圍成的面積;0

它的弧長(zhǎng);0

它繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積及表面積.

y

a

sin3

t

x

a

cos3

t星形線

(a

0)已知

aoya

x解10

設(shè)面積為A.由對(duì)稱性,有aydx0A

4023

2

4

a

sin

t

3a

cos

t(

sin

t

)dt2a2[sin4

t

sin6

t]dt

0

12a2

.3820

設(shè)弧長(zhǎng)為L(zhǎng).由對(duì)稱性,有2

0L

42

220(

x

)

(

y

)

dt

43a

cos

t

sin

tdt

6a.30

設(shè)旋轉(zhuǎn)體的表面積為S,體積為V

.由對(duì)稱性,有axdx0S

222y

1

y20

43a

sin

t

3a

cos

t

sin

tdt

512a2

.02aV

2

y2dx

20a2

sin6

t

3a

cos2

t(

sin

t

)dt203

6a105323sin7

t(1

sin2

t)dt

a

.例2.

求拋物線

在(0,1)

內(nèi)的一條切線,

使它與兩坐標(biāo)軸和拋物線所圍圖形的面積最小.解:設(shè)拋物線上切點(diǎn)為則該點(diǎn)處的切線方程為它與x,y軸的交點(diǎn)分別為所指面積MBA機(jī)動(dòng)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束且為最小點(diǎn)

.

故所求切線為得[0,1]上的唯一駐點(diǎn)BMA機(jī)動(dòng)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束與直線及坐標(biāo)軸所圍圖形解:(1)由方程得例3.

設(shè)非負(fù)函數(shù)曲線面積為2,求函數(shù)a

為何值時(shí),所圍圖形繞x

軸一周所得旋轉(zhuǎn)體體積最小?即故得機(jī)動(dòng)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束又(2)旋轉(zhuǎn)體體積又為唯一極小點(diǎn),因此時(shí)V

取最小值.xxooyy1機(jī)動(dòng)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

證明曲邊扇形繞極軸3

2

r3

(

)

sin

d

.ox旋轉(zhuǎn)而成的體積為Vr

r(

)xdd

r證:先求上微曲邊扇形繞極軸旋轉(zhuǎn)而成的體積體積微元r

故

2

r3

(

)

sin

d3Vox機(jī)動(dòng)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束o5

d

x)(d

u

5故所求旋轉(zhuǎn)體體積為

1

(x2

2x)2

5

d

x575V

2220

51(x

2x) 5

d

x

16dV

2

d

uPd

x

2y

4x

x2d

u例5.

求由

y

2x

與

y

4x

x2

所圍區(qū)域繞

y

2x旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積.解:曲線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(2,4),曲線上任一點(diǎn)uA

y

2xP

(x

,

4x

x2

)

到直線

y

2x

的距離為以y

2x為數(shù)軸

u

(如圖),

則機(jī)動(dòng)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.

半徑為R

,密度為的水池底,水的密度多少功?的球沉入深為H(H>2R)現(xiàn)將其從水池中取出,需做解:

建立坐標(biāo)系如圖

.

則對(duì)應(yīng)[x

,

x

dx]上球的薄片提到水面上的微功為dW1

(

0

)

g

y2

dx(H

R

x)提出水面后的微功為dW2

g

y2

dx

(R

x)

g

(R2

x2

)(R

x)

dx2

)(

)d

x

0

)((g2

Hx(x

,

y)yxo微元體積所受重力上升高度機(jī)動(dòng)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束因此微功元素為dW

dW1

dW2球從水中提出所做的功為R00

R[(

)H

(R

x)](R2

x2

)

dxW

g“偶倍奇零”0R

(

R2

x2

)

dx

2g[(

0

)H

0

R]Hyo

xx上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)例6.

設(shè)有半徑為R的半球形容器如圖.以每秒a

升的速度向空容器中注水,求水深為為h(0<h<R)時(shí)水面上升的速度.設(shè)容器中已注滿水,求將其全部抽出所做的功最少應(yīng)為多少?解:過(guò)球心的縱截面建立坐標(biāo)系如圖.oxy則半圓方程為hR設(shè)經(jīng)過(guò)t

秒容器內(nèi)水深為h,則h

h(t).機(jī)動(dòng)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束oxyhR半球可看作半圓繞y軸旋轉(zhuǎn)而成體積元素:

x2

d

yx2

2Ry

y2V

(h)20

(2Ry

y

)

d

y(1)求由題設(shè),經(jīng)過(guò)t

秒后容器內(nèi)的水量為at

(升),而高為h的球缺的體積為h故有兩邊對(duì)t

求導(dǎo),得

(2Rh

h2

)

a

(2Rh

h2

)a機(jī)動(dòng)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(2)將滿池水全部抽出所做的最少功為將全部水提微元體積:微元的重力:

x2

dyg

x2

dyo

xRy

g

(2Ry

y2

)(R

y)

dy故所求功為R0g3(2R2

y

3Ry2

y

)

dy4

gR4y到池沿高度所需的功.對(duì)應(yīng)于 薄層所需的功元素機(jī)動(dòng)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7

以每秒a

的流量往半徑為R

的半球形水池內(nèi)注水.(1)求在池中水深h

(0

h

R)時(shí)水面上升的速度;(2)若再將滿池水全部抽出,oxy

R

h

解x2 2

R2

y

R

()0(

y

R).至少需作功多少?建立坐標(biāo)系.半圓的方程為于是對(duì)半圓上任一點(diǎn),有x2

R2

(

y

R)2

2Ry

y2

(0

y

R).)1因(已知半球可看作此半圓繞y

軸旋轉(zhuǎn)而成的,故半球內(nèi)高為h

的球缺的體積即水深為h

時(shí)水池內(nèi)水的體積為V

(h)

h

hx dy

02(2Ry

y

)dy02又設(shè)水深

h

時(shí)已注水的時(shí)間為t

,則有V

(h)

at

,h02(2Ry

y

)dy

at即dt兩邊對(duì)

t

求導(dǎo),得(2Rh

h2

)dh

a,故所求速度為.dt

(2Rh

h2

)adh

(2)將滿池的水全部抽出所需的最小功即將池內(nèi)水全部提升到池沿高度所需的功.抽水時(shí)使水位從

(降)0

到

yRydyy

所需的功約為x2dy(

yR),

1(水的

)又x2

2Ry

y2

,即功元素dW

(2Ry

y2

)(R

y)dy.故將滿池水全部提升到池沿高度所需功為W

R02(2Ry

y

)(

R

y)dy

R02(2R y

3Ry2

y3

)dy4

R4

.例8:如圖,平面經(jīng)過(guò)半徑為R的圓柱體的底圓中心,并與底面交成角

,計(jì)算這平面截圓柱體所得的體積.解:取x為積分變量,變化區(qū)間為[R,R],在[R,R]上任取一點(diǎn)x,過(guò)x作垂直于x軸的平面截,截面的面積RoyxR

yx2

y2

R2xA(x)

1

y

y

tan

1

(R2

x2

)

tan2

2

RV

RA(x)dxR

R

21

(R2

x2

)

tan

dxx3

R3

Rtan

R2

x

1223

3

R

tanf

(

x)

kx,101f

(

x)dxw

,k20hhw

f

(

x)dx.例9

用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時(shí)將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作的功相等，問(wèn)第n次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？設(shè)n次擊入的總深度為h厘米n次錘擊所作的總功為解

設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇榈谝淮五N擊時(shí)所作的功為hhw

kxdx022kh

,wh

nw1

kh2k

n

,2

2h

n,n

n

1.n

次擊入的總深度為第n次擊入的深度為依題意知，每次錘擊所作的功相等．例10

有一長(zhǎng)度為l

、線密度為

的均勻細(xì)棒，在其中垂線上距棒a

單位處有一質(zhì)量為m

的質(zhì)點(diǎn)M

，計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)M

的引力．l2y2

loM取任一小區(qū)間[y,y

dy]將典型小段近似看成質(zhì)點(diǎn),

,2

2l l

取y為積分變量y

dy,yy

dyra小段的質(zhì)量為解

建立坐標(biāo)系如圖小段與質(zhì)點(diǎn)的距離為r

a2

y2

,

y2

,F

ka2mdy3

,(a2

y2

)2amdyxdF

k32l22(a2

y2

)amdyklxF

,

2kml122a(4a2

l

)Fy

0.由對(duì)稱性知，引力在鉛直方向分力為水平方向的分力元素引力分別為 米和

305米0

,高為20

米,如果頂部高出水面 米,4求 一側(cè)所受的水的靜壓力.例11

一等腰梯形

,,梯形的上下底解

如圖建立坐標(biāo)系,則梯形的腰AB

的方程為y

4o

x16

x

dxAxBy

1

x

23.2一側(cè)受到靜水壓力為此x

23)dxgx(160P

2122

160x3

g(

23x

)3

g(

1

4096

23

256)3

4522.67g

4.43

107

(牛).思考與練習(xí)ox30

x

d

x1.為清除井底污泥,

用纜繩將抓斗放入井底,

抓起污泥后提出井口,已知井深30

m

,抓斗自重400N

,

纜繩每上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束提示:作x

軸如圖.將抓起污泥的抓斗由x

提升dx

所作的功為機(jī)動(dòng)米重50N

,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m

/s,在提升過(guò)程中污泥以20N

/s

的速度從抓斗縫隙中漏掉,現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口,問(wèn)克服重力需作多少焦耳(J)功?(99考研)提升抓斗中的污泥:井深

30m,

抓斗自重

400

N,抓斗抓起的污泥重2000N,纜繩每米重50N,提升速度為3m∕s,污泥以20N∕s

的速度從抓斗縫隙中漏掉ox30

x

d

x抓斗升至x

處所需時(shí)間:3x

(s)

91500

(J)W3300[400

50