高中新課程數(shù)學(xué)《2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用》課外演練

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1．有下列4個(gè)命題：①偶函數(shù)的圖象一定與縱軸相交；②奇函數(shù)的圖象一定通過(guò)原點(diǎn)；③即是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)＝0(x∈R)；④偶函數(shù)的圖象關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng)．其中正確的命題有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：只有④正確，③中x∈R，定義域只要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)即可．函數(shù)f(x)＝0不唯一．答案：A2．若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0,1]，則下列函數(shù)中，可能是偶函數(shù)的一個(gè)為()A．y＝[f(x)]2 B．y＝f(2x)C．y＝f(|x|) D．y＝f(－x)解析：A、B、D三項(xiàng)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．答案：C3．已知y＝f(x)是偶函數(shù)，且其圖象與x軸有4個(gè)交點(diǎn)，則方程f(x)＝0的所有實(shí)根之和是()A．0 B．1C．2 D．4解析：∵f(x)是偶函數(shù)，且f(－x)＝f(x)．答案：A4．設(shè)f(x)是定義在R上的任意一個(gè)增函數(shù)，G(x)＝f(x)－f(－x)，則G(x)必定為()A．增函數(shù)且為奇函數(shù) B．增函數(shù)且為偶函數(shù)C．減函數(shù)且為奇函數(shù) D．減函數(shù)且為偶函數(shù)解析：f(x)的定義域?yàn)镽，則G(x)＝f(x)－f(－x)的定義域?yàn)镽，又G(－x)＝f(－x)－f(x)＝－G(x)，∴G(x)為奇函數(shù)．設(shè)x1<x2，則G(x1)－G(x2)＝f(x1)－f(－x1)－f(x2)＋f(－x2)＝f(x1)－f(x2)－[f(－x1)－f(－x2)]又f(x)在R上是增函數(shù)，則f(x1)<f(x2)，f(－x1)>f(－x2)∴f(x1)－f(x2)<0，－[f(－x1)－f(－x2)]<0，即G(x1)<G(x2)，∴G(x)為增函數(shù)．答案：A5．已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)遞增，當(dāng)x1<0，x2<0時(shí)有|x1|<|x2|，則()A．f(－x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)與f(－x2)大小關(guān)系不確定解析：由已知0<－x1<－x2，∵x<0時(shí)f(x)遞增，∴x>0時(shí)f(x)遞減，∴f(－x1)>f(－x2)．答案：A6．f(x)是R上的奇函數(shù)，且f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x，則f為()A．B．－C．D．－解析：f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f＝f＝f(－＋4)＝f(－＝－f＝－.答案：B二、填空題7．若y＝(a－1)x2－2ax＋3為偶函數(shù)，則在(－∞，3]內(nèi)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為_(kāi)_______．解析：a＝0，y＝－x2＋3結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性知．答案：(－∞，0)上為增函數(shù)，在[0,3]上為減函數(shù)．8．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函數(shù)，則g(x)＝ax3＋bx2＋cx的奇偶性是________．解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函數(shù)，∴b＝0，g(x)＝ax3＋cx，即為奇函數(shù)．答案：奇函數(shù)9．設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)恒大于0，則下列函數(shù)：①y＝－f(x)f(－x)，②y＝xf(x2)，③y＝－f(－x)，④y＝f(x)－f(－x)中必為奇函數(shù)的有________．(要求填寫(xiě)正確答案的序號(hào))解析：令g(x)＝－f(x)f(－x)，則g(－x)＝－f(－x)f(x)＝g(x)，∴y＝－f(x)f(－x)為偶函數(shù)；令g(x)＝xf(x2)，則g(－x)＝(－x)f[(－x)2]＝－xf(x2)＝－g(x)，∴y＝xf(x2)為奇函數(shù)．令g(x)＝－f(－x)，則g(－x)＝－f(x)與g(x)＝－f(－x)不一定有關(guān)系，∴y＝－f(－x)不一定是奇函數(shù)．令g(x)＝f(x)－f(－x)，則g(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－g(x)，∴y＝f(x)－f(－x)為奇函數(shù)．答案：②④三、解答題10．已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x|x－2|，求x<0時(shí)，f(x)的表達(dá)式．解：∵x<0，則－x>0，∴f(－x)＝(－x)|(－x)－2|.又f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)＝－f(－x)＝－(－x)|(－x)－2|＝x|x＋2|.故當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x|x＋2|.11．已知函數(shù)f(x)對(duì)一切x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；(2)若f(－3)＝a，試用a表示f(12)．解：(1)由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，令x＝y(tǒng)＝0得f(0)＝2f(0)，∴f∴f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函數(shù)．(2)∵f(x)為奇函數(shù)．∴f(－3)＝－f(3)＝a，∴f(3)＝－a.又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝∴f(12)＝－4a創(chuàng)新題型12．設(shè)f(x)是定義在[－1,1]上的奇函數(shù)，對(duì)任意a、b∈[－1,1]，當(dāng)a＋b≠0時(shí)，都有eq\f(f(a)＋f(b),a＋b)>0.(1)若a>b，試比較f(a)與f(b)的大??；(2)解不等式f(x－eq\f(1,2))<f(2x－eq\f(1,4))．解：(1)若a>b，則a－b>0，依題意有eq\f(f(a)＋f(－b),a＋(－b))>0成立，∴f(a)＋f(－b)>0.又∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．(2)由(1)可知f(x)在[－1,1