2019人教B數(shù)學(xué)選修45課時(shí)分層作業(yè)12數(shù)學(xué)歸納法原理Word含解析

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課時(shí)分層作業(yè)(十二)數(shù)學(xué)歸納法原理

(建議用時(shí)：45分鐘)

[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]

一、選擇題

1．滿足1×2＋2×3＋3×4＋＋n×(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然數(shù)n＝( )

A．1B．1或2

C．1,2,3D．1,2,3,4

[剖析]經(jīng)考據(jù)當(dāng)n＝1,2,3時(shí)均正確，但當(dāng)n＝4時(shí)，左邊＝1×2＋2×3＋3×4

2＋4×5＝40，而右邊＝3×4－3×4＋2＝28，應(yīng)選C.

2．某個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，若是當(dāng)n＝k(k∈N＋且k≥1)時(shí)命題成立，則必然可推適合n＝k＋1時(shí)，該命題也成立．現(xiàn)已知n＝5時(shí)，該命題不成立，那么

應(yīng)有( )

A．當(dāng)n＝4時(shí)該命題成立

B．當(dāng)n＝6時(shí)該命題成立

C．當(dāng)n＝4時(shí)該命題不成立

D．當(dāng)n＝6時(shí)該命題不成立

[剖析]若n＝4時(shí)命題成立，由遞推關(guān)系知n＝5時(shí)命題成立，與題中條件矛

盾，∴n＝4時(shí)，該命題不成立．

[答案]C

3．記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和f(k＋1)＝f(k)＋( )

πA.2B．π

3C．2πD.2π

[剖析]n＝k到n＝k＋1時(shí)，內(nèi)角和增加π.

[答案]B

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4．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋2＋3＋＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)時(shí)，在考據(jù)n

＝1建馬上，左邊所得的代數(shù)式為()A．1B．1＋3C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4[剖析]當(dāng)n＝1時(shí)左邊所得的代數(shù)式為1＋2＋3.

[答案]C

5．一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n＝2時(shí)命題成立，且由n＝k時(shí)命題成立

推得n＝k＋2時(shí)命題也成立，則( )

A．該命題對(duì)于n＞2的自然數(shù)n都成立

B．該命題對(duì)于所有的正偶數(shù)都成立

C．該命題何時(shí)成立與k取什么值沒(méi)關(guān)

D．以上答案都不對(duì)

[剖析]由題意n＝2時(shí)成立可推得n＝4,6,8，都成立，因此所有正偶數(shù)都成

立，應(yīng)選B.

[答案]B

二、填空題

1116．用數(shù)學(xué)歸納法證明：設(shè)f(n)＝1＋2＋3＋＋n，則n＋f(1)＋f(2)＋＋f(n

1)＝nf(n)(n∈N＋，且n≥2)第一步要證明的式子是________．

[剖析]n＝2時(shí)，等式左邊＝2＋f(1)，右邊＝2f(2)．

∴第一步要證明的式子是2＋f(1)＝2f(2)．

[答案]2＋f(1)＝2f(2)

7．用數(shù)學(xué)歸納法證明“n∈N＋，n(n＋1)(2n＋1)能被6整除”時(shí)，某同學(xué)證法

以下：

n＝1時(shí)1×2×3＝6能被6整除，∴n＝1時(shí)命題成立．

(2)假設(shè)n＝k時(shí)成立，即k(k＋1)(2k＋1)能被6整除，那么n＝k＋1時(shí)，

(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝(k＋1)(k＋2)[k＋(k＋3)]

k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)．

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k，k＋1，k＋2和k＋1，k＋2，k＋3分別是三個(gè)連續(xù)自然數(shù)．∴其積能被6整除．故n＝k＋1時(shí)命題成立．

綜合(1)(2)，對(duì)所有n∈N＋，n(n＋1)(2n＋1)能被6整除．這種證明不是數(shù)學(xué)歸納法，主要原因是________．

[答案]沒(méi)用上歸納假設(shè)111(n∈N＋)，則f(n＋1)－f(n)等于________．8．設(shè)f(n)＝1＋2＋3＋＋－3n1[剖析]111，因此111由于f(n)＝1＋＋＋＋f(n＋1)＝1＋2＋3＋＋3n－1233n－1＋111，因此f(n＋1)－f(n)＝111＋＋＋＋.3n3n＋13n＋23n3n＋13n＋2[答案]1113n＋＋＋＋23n13n三、解答題n＋9，可否存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N＋，都能9．已知f(n)＝(2n＋7)·3使m整除f(n)？若是存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因．

[解]存在，m＝36.

證明以下：

(1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝36，能被36整除；

(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，且k≥1)時(shí)，f(k)能被36整除，

k即f(k)＝(2k＋7)3·＋9能被36整除，

則當(dāng)k1kk1n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]3·＋＋9＝3[(2k＋7)3·＋9]＋18(3－1)．

k能被36k1是偶數(shù)，因此k1由歸納假設(shè)3[(2k＋7)3·＋9]整除，而3－－118(3－－1)能被36整除，

因此f(k＋1)能被36整除．

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由(1)(2)，得f(n)能被36整除，由于f(1)＝36，故能整除f(n)的最大整數(shù)是36，

即m＝36.

10．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n

1,2,3，.

(1)求a1，a2；

(2)猜想數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式，并給出嚴(yán)格證明．[解](1)∵Sn－1是方程x2－nx－an＝0的一個(gè)根，a(Sn－1)2－an·(Sn－1)－an＝0，

(Sn－1)2－anSn＝0，

∴當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，21當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝6.(2)由(1)知S1＝11時(shí)，n－2－n－n－1)·Sn＝，∴n＝1＝，≥21).①a2n(S(SS0S2－Sn－111＝213此時(shí)當(dāng)n＝2時(shí)，S2＝3；當(dāng)n＝3時(shí)，S3＝2＝4.2－22－3由猜想可得，Sn＝n，n＝1,2,3，.n＋1

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論．

1當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2，顯然成立．

k假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，且k≥1)時(shí)結(jié)論成立，即Sk＝.k＋1

當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由①知Sk＋1＝1，2－Sk

∴Sk＋11＝k＋1k＋1＝k＝.k＋2k＋1＋12－k＋1

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∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)式子也成立．n綜上，Sn＝，n＝1,2,3，，對(duì)所有正整數(shù)n都成立．

[能力提升練]

1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋22＋＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的過(guò)程中，第二

步n＝k時(shí)等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)應(yīng)獲取( )

．1＋2＋22＋＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B．1＋2＋22＋＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1C．1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D．1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝2k＋1－1

[剖析]由條件知，左邊是從20,21向到達(dá)2n－1都是連續(xù)的，

因此當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

左邊應(yīng)為1＋2＋22＋＋2k－1＋2k，從右邊應(yīng)為2k＋1－1.

[答案]D

2．用數(shù)學(xué)歸納法證明：(n＋1)(n＋2)·(n＋n)＝2n×1×3××(2n－1)時(shí)，從

“k到k＋1”左邊需增乘的代數(shù)式是( )

2k＋1A．2k＋1B．k＋12k＋2C．2(2k＋1)D．k＋1[剖析]當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)··(k＋1＋k＋1)＝(k＋1)·(k2k＋12k＋2＋2)(k·＋3)··(k＋k)·＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)··(k＋k)·2(2k＋1)．k＋1

[答案]C

3．設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥2)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線但是同一點(diǎn)．若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)＝________；當(dāng)n

＞4時(shí)，f(n)＝________(用n表示)．

[剖析]f(2)＝0，f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，每增加一條直線，交點(diǎn)增加的個(gè)

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數(shù)等于原來(lái)直線的條數(shù)．

因此f(3)－f(2)＝2，f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，，f(n)－f(n－1)＝n－1.

累加，得f(n)－f(2)＝2＋3＋4＋＋(n－1)

2＋n－1＝(n－2)．2

1因此f(n)＝2(n＋1)(n－2)．

1[答案]52(n＋1)(n－2)

4．已知△ABC的三邊長(zhǎng)是有理數(shù)．

(1)求證：cosA是有理數(shù)；

(2)求證：對(duì)任意正整數(shù)n，cosnA和sinA·sinnA都是有理數(shù)．

AB2＋AC2－BC2

[證明](1)由AB，BC，AC為有理數(shù)及余弦定理知cosA＝2AB·AC是

有理數(shù)．

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明cosnA和sinA·sinnA都是有理數(shù)．

①當(dāng)n＝1時(shí)，由(1)知cosA是有理數(shù)，

從而有sinA·sinA＝1－cos2A也是有理數(shù)．

②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，coskA和sinA·sinkA都是有理數(shù)．

當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由

cos(k＋1)A＝cosA·coskA－sinA·sinkA，

sinA·sin(k＋1)A

sinA·(sinA·coskA＋