高二數(shù)學下學期期末考試分類匯編導數(shù)及其應用新人教A版

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）A．16 B．54 C．－25 D．－16【答案】D【解析】解：，則，解得：，，故選:D.2．（2021·重慶合川·高二階段練習）過函數(shù)圖像上一個動點作函數(shù)的切線，則切線領斜角范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由題意，函數(shù)，可得，因為，所以，即切線的斜率，設切線的傾斜角為，則又因為，所以或，即切線的傾斜角的范圍為.故選：B.3．（2022·安徽·合肥一中模擬預測）對于三次函數(shù)，若曲線在點處的切線與曲線在點處點的切線重合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，，設，則，即……①又，即……②由①②可得，.故選：B.4．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學校高二期中）已知曲線在點處的切線也是曲線的一條切線，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：因為，所以，，所以，所以切線的方程為，又，所以，設切線與的切點為，可得切線的斜率為，即，，可得切點為，所以，解得．故選：D．5．（2022·河北·邢臺市第二中學高二階段練習）已知函數(shù)與的部分圖像如圖所示，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由圖可知，與在區(qū)間上單調遞增，所以，.在區(qū)間上，的圖像比的圖像更陡峭，所以，.故選：B6．（2022·廣東·中山大學附屬中學高二期中）設函數(shù)，則（

）A．e B．1 C． D．【答案】B【解析】由題意，所以，所以原式等于.故選：B.7．（2022·重慶·高二階段練習）定義在上的函數(shù)滿足，且，則滿足不等式的的取值有（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】構造函數(shù)，則，因為，所以，所以單調遞減，又，所以，不等式變形為，即，由函數(shù)單調性可得：故選：D8．（2022·江蘇·昆山柏廬高級中學高二期中）已知的定義域是，為的導函數(shù)，且滿足，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，所以，解之得或，即原不等式的解集為，故選：B.9．（2022·四川省內江市第六中學高二期中）是定義在上的函數(shù)，是的導函數(shù)，已知，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，得構造函數(shù)，，所以函數(shù)在上單調遞增，因為，所以不等式等價于即，所以故選：C.10．（2022·江蘇南通·模擬預測）已知函數(shù)的導函數(shù)，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，則，為偶函數(shù)，且在單調遞增，，，即，，所以，∴，故選：A二、解答題11．（2021·重慶合川·高二階段練習）已知函數(shù)(1)當，證明：；(2)若函數(shù)在上恰有一個極值，求a的值．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)由題設且，則，所以在上遞增，則，得證.(2)由題設在有且僅有一個變號零點，所以在上有且僅有一個解，令，則，而，故時，時，時，所以在、上遞增，在上遞減，故極大值，極小值，，要使在上與有一個交點，則或或.經(jīng)驗證，或時對應零點不變號，而時對應零點為變號零點，所以.12．（2022·吉林·長春市第二實驗中學高二期中）設函數(shù)，若在處有極值．(1)求實數(shù)a的值；(2)求函數(shù)的極值；(3)若對任意的，都有，求實數(shù)c的取值范圍．【答案】(1)(2)在處有極大值，在處有極小值(3)【解析】(1)，因為在處有極值，所以，解得.檢驗：當時，，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以在處有極小值，滿足條件.故.(2)由（1）知當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；又，.所以在處有極大值，在處有極小值.(3)原命題等價于對任意的都成立，由（2）知，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，所以，因為，，所以，解得.13．（2022·天津河北·高二期中）已知函數(shù)，其中，曲線在處的切線方程為．(1)求函數(shù)f（x）的解析式；(2)求函數(shù)f（x）在區(qū)間[－1，4]上的最大值和最小值．【答案】(1)(2)最大值是－，最小值是－19【解析】(1)：∵，∴．由題意得，即，解得，．∴；(2)解：令，解得，或，列表討論和f（x）的變化情況：3（3，4）＋0－0＋單調遞增單調遞減－19單調遞增∴當時，函數(shù)f（x）有極大值；當時，函數(shù)f（x）有極小值．又，，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[－1，4]上的最大值是－，最小值是－19.14．（2022·河北·滄縣中學高二階段練習）已知函數(shù)，為函數(shù)的導數(shù)．(1)求的解集；(2)求曲線的單調區(qū)間．【答案】(1)(2)單調遞增區(qū)間是，，單調遞減區(qū)間是【解析】【分析】由得，，∴，即，解得，∴的解集是(2)，∴當x變化時，的變化情況如下表：x＋0－0＋∴的單調遞增區(qū)間是，，單調遞減區(qū)間是．15．（2022·安徽師范大學附屬中學高二期中）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調性；(2)若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【解析】(1)解：因為，所以，若，則在上恒成立，故在上單調遞增，若，則當時，；當時，．故在上單調遞增，在上單調遞減．綜上所述，當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞增，在上單調遞減．(2)由等價于．令，函數(shù)，則，由，可得．當時，單調遞減；當時，單調遞增，故．所以a的取值范圍為．16．（2022·廣西·柳州市第三中學高二階段練習（理））已知函數(shù)在處的切線與軸平行.(1)求的值；(2)若函數(shù)的圖象與拋物線恰有三個不同交點，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】(1)解：因為，所以，在處的切線與軸平行，，解得．(2)解：令，則原題意等價于圖象與軸有三個交點，由，解得或；由，解得．在時取得極大值；在時取得極小值．故，．一、單選題1．（2022·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學高二期中）已知函數(shù)，，若對任意的存在，使，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為對任意的存在，使成立，即，由函數(shù)，可得，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以當時，函數(shù)取得最小值，最小值為，又由函數(shù)，當時，函數(shù)在上單調遞增，，即，解得，不成立，舍去；當時，函數(shù)在上單調遞減，上單調遞增，，即，解得或，不成立，舍去；當時，函數(shù)在上單調遞減，，即，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.2．（2022·湖北·高二階段練習）函數(shù)在內存在極值點，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】由題意知：在內存在變號零點，即在內有解，則，易得在內單調遞減，值域為，故.故選：A.3．（2022·甘肅·蘭州一中高二期中）定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足，且f（4）＝ln（4e4），則不等式f（ex）＞ex+x的解集為（）A．（4，+∞） B．（﹣∞，2） C．（ln2，+∞） D．（ln4，+∞）【答案】D【解析】解：令g（x）＝f（x）﹣lnx﹣x，

因為定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足xf′（x）﹣1﹣x＞0，所以g′（x）＝，所以g（x）在（0，+∞）上單調遞增，因為f（4）＝ln（4e4）＝4+ln4，所以g（4）＝0，則不等式f（ex）＞ex+x可轉化為g（ex）+x+ex＞ex+x，即g（ex）＞0=g（4），所以ex＞4，所以x＞ln4．故選：D．4．（2022·河南·高二階段練習（理））若當時，關于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】令，所以，所以當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以，即時，恒成立，所以當時，恒成立成立；若當時，關于的不等式恒成立，則等價于當時，關于的不等式恒成立，當時，不等式顯然成立當時，關于的不等式恒成立，即恒成立，又函數(shù)在上單調遞減，所以，所以，即；綜上實數(shù)的取值范圍是.故選：A.5．（2022·江蘇·海門中學高二階段練習）已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，且函數(shù)在上的最大值為M，最小值為m，則的值為（

）A． B． C． D．0【答案】B【解析】解：，，又時，，則，解得，，則，，，當時，，當或時，，故函數(shù)在，上單調遞減，在上單調遞增，故的極小值為，極大值為，，故函數(shù)在上的最大值為，最小值為，則故選：B6．（2022·首都師范大學附屬中學高二期中）已知函數(shù)，若有三個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，，故當時，單調遞減，當時，單調遞增，故，且時，，當時，，由此作出函數(shù)的大致圖象如圖：由有三個不同的零點，即函數(shù)的圖象與有三個不同的交點，結合圖象，可得，故選：C7．（2022·天津市薊州區(qū)第一中學高二期中）已知函數(shù)，若對任意的，存在使得，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B．[，4]C． D．【答案】B【解析】解：的導函數(shù)為，由時，，時，，可得g（x）在[–1，0]上單調遞減，在（0，1]上單調遞增，故g（x）在[–1，1]上的最小值為g（0）=0，最大值為g（1）=，所以對于任意的，．因為開口向下，對稱軸為軸，所以當時，，當時，，則函數(shù)在[，2]上的值域為[a–4，a]，由題意，得，，可得，解得．故選：B.8．（2022·山東濟寧·高二期中）已知，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：因為，令，則，當時，，則在上遞增；當時，，則在上遞減，因為，所以，又，所以，即，故選：D9．（2022·黑龍江·雙鴨山一中高二期末）已知是奇函數(shù)的導函數(shù)，，當時，，則使得成立的的取值范圍是A． B．C． D．【答案】A【解析】設g（x），則g′（x）＝，∵當x＞0時，xf′（x）﹣f（x）>0，∴當x＞0時，g′（x）>0，此時函數(shù)g（x）為增函數(shù)，∵f（x）是奇函數(shù)，∴g（x）是偶函數(shù)，即當x＜0時，g（x）為減函數(shù)．∵f（﹣1）＝0，∴g（﹣1）＝g（1）＝0，當x＞0時，f（x）>0等價為g（x）>0，即g（x）>g（1），此時x＞1，當x＜0時，f（x）>0等價為g（x）<0，即g（x）<g（﹣1），此時﹣1＜x＜0，綜上不等式的解集為（﹣1，0）∪（1，+∞），故選A．10．（2022·重慶市萬州第二高級中學高二階段練習）設函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，，由題意知，函數(shù)在直線下方的圖象中只有一個點的橫坐標為整數(shù)，，當時，；當時，.所以，函數(shù)的最小值為.又，.直線恒過定點且斜率為，故且，解得，故選D.二、解答題11．（2022·北京·北師大二附中三模）已知函數(shù)，其中，為的導函數(shù).(1)當，求在點處的切線方程；(2)設函數(shù)，且恒成立.①求的取值范圍；②設函數(shù)的零點為，的極小值點為，求證：.【答案】(1)(2)①;②詳見解析【解析】(1)時，,,,，所以函數(shù)在處的切線方程，即.(2)①由題設知，，，，由，得，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；由，得，所以函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).故在處取得最小值，且.由于恒成立，所以，得，所以的取值范圍為；②設，則.設，則，故函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，由（1）知，，所以，，故存在，使得，所以，當時，，，函數(shù)單調遞減；當時，，，函數(shù)單調遞增.所以是函數(shù)的極小值點.因此，即.由①可知，當時，，即，整理得，所以.因此，即.所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增.由于，即，即，所以.又函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，所以.12．（2022·河北衡水·高三階段練習）已知函數(shù)，．(1)若在點處的切線的斜率為，求的最值；(2)若在原點處取得極值，當時，的圖像總在的圖像的上方，求k的取值范圍．【答案】(1)有最小值，且最小值為，無最大值；(2).【解析】由題意得，函數(shù)的定義域為，．因為，所以，解得，所以，則．令，解得或（舍），所以當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增，所以函數(shù)有最小值，且最小值，無最大值．(2)因為，，所以，解得，所以，若，則，單調遞減，若，則，單調遞增．因為當時，函數(shù)的圖像總在函數(shù)的圖像的上方，即恒成立，所以，即．設，，則，令，則，所以函數(shù)在上單調遞增，所以，當，即時，，所以函數(shù)在上單調遞增，所以恒成立，符合題意；當，即時，，，所以存在，使得，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增．又，所以不恒成立，故不符合題意．綜上所述，k的取值范圍為．13．（2022·河北保定·高二期中）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)若函數(shù)無零點，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若函數(shù)有兩個相異零點，求證；．【答案】(1)答案見解(2)(3)證明見解析【解析】(1)解：由題可知的定義域是，當時，，所以在上單調遞增；當時，令解得，當時，所以在上單調遞增，當時，所以在上單調遞減.綜上：當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.(2)解：由（1）可知，要使函數(shù)無零點就需要，此時在上遞增，在上遞減，，欲使函數(shù)無零點，則只要，即所以的范圍是.(3)因為有兩個相異的零點，又由于，故不妨設令，且有，，要證令，則，所以只要證明時恒成立，令，由于已知恒成立，所以在遞增，所以時，恒成立，即恒成立，從而證明.【點睛】利用導數(shù)證明不等式問題：（1）直接構造法：證明不等式轉化為證明，進而構造輔助函數(shù)；（2）適當放縮構造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結