中學數(shù)學中重要的數(shù)學思想――分類討論的思想

中學數(shù)學中重要的數(shù)學思想――分類討論的思想依據(jù)數(shù)學研究對象本質(zhì)屬性的相同點和差異點做分類的思想究和求解的方法叫做分類討論的方法。分類討論既是一種邏輯方法，也是一種數(shù)學思想。需要運用分類討論的思想解決的數(shù)學問題，就其引起分類的原因，可歸結(jié)為：①涉及的數(shù)學概念是分類定義的；②運用的數(shù)學定理、公式或運算性質(zhì)、法則是分類給出的；③求解的數(shù)學問題的結(jié)論有多種情況或多種可能；④數(shù)學問題中含有參變量，這些參變量的取值會導(dǎo)致不同結(jié)果的。回顧總結(jié)中學數(shù)學教材中分類討論的知識點，大致有：絕對值概念的定義；根式的性質(zhì)；一元二次方程根的判別式與根的情況；二次函數(shù)二次項系數(shù)正負與拋物線開口方向；反比例函數(shù)k/x的反比例系數(shù)k，正比例函數(shù)的比例系數(shù)k，一次函數(shù)kx+b的斜率k與圖象位置及函數(shù)單調(diào)性關(guān)系；冪函數(shù)xn的冪指數(shù)n的正、負與定義域、單調(diào)性、奇偶性的關(guān)系；y=axy=logax中底數(shù)aa＞10＜1對函數(shù)單調(diào)性的影響；等比數(shù)列前nq=lq≠1的區(qū)別；復(fù)數(shù)概念的分類；不等式性質(zhì)中兩邊同乘(除)時正數(shù)與負數(shù)對不等號方向的影響；排列組合中的分類計數(shù)原理；圓錐曲線中離心率e直線與圓錐曲線位置關(guān)系的討論；運用點斜式、斜截式直線方程時斜率k曲線系方程中的參數(shù)與曲線類型；角終邊所在象限與三角函數(shù)符號;??當你對以上各種情況“心中有數(shù)”時，分類討論便不再令人望而生畏。例1設(shè)首項為1，公比為q(q0的等比數(shù)列的前n項之和為Sn又設(shè)Tn=Sn/(Sn+1)(n=1，2，?)，例2不等式的解集( (A){x∣-2≤x≤2}(B){x∣-√3≤x＜0或0＜x≤2}(C){x∣-2≤x＜0或0＜x≤2}(D){x∣-√3≤x＜0或0＜x≤√3}分析：使不等式有意義的x的范圍是-2≤x＜0∪0＜x≤2．題設(shè)不掉絕對值符號，化為無理不等式處理。解：(1)當x>0時，∣x∣/x=1，原不等式等價于√(4-x2)≥-1．由4-x2≥0，x＞0，得0＜x≤2；(2)當x＜0時，∣x∣/x=-1，原不等式等價于√(4-x2≥1由4-x2≥0;4-x2≥1;x＜0得-√3≤x<0．{x｜-√3≤x＜00＜x≤2}(B)．3當α0180x2+y2cosα=1?α=0=1x2+y2=1，顯然這是單位圓；當°＜sα＜α＞，）＞1=ax軸上；α=180=-1x軸上的等軸雙曲線。α0180°變化時，曲線從單位圓、橢圓、平行直線到雙曲線、等軸雙痛快。例4解不等式loga(1-1/x)＞1． [96理(20)]分析：由于對數(shù)函數(shù)的增減性與底數(shù)a0＜a＜la＞l兩也要注意同解性。解：為了使不等式有解，必須a＞0且a≠1．0°＜α<90x2/1+y2/(1/cosα)=1,它表示焦點在y1；長半軸√(1/cosα)αα＝90＝0x2=1，x=±l，它表示兩條平行直線；評注：當a＞l與0＜a＜l同．這類題目對分類討論思想的考查是隱蔽的，對數(shù)函數(shù)性質(zhì)清楚的同學可以一眼洞穿。例5 從0,1,2,3,?8這九個數(shù)字中，任取三個數(shù)字排成三位數(shù)，且6可當9用，可以組成多少個不同的三位?6的作用特別，就按所排成的三位數(shù)中有或沒有6680不能作百位數(shù)，故這三個數(shù)字又有兩種取法：0p7302P72個；66900的問題，共有兩種取法：60260的三位數(shù)有2P21C71P22個．∴滿足條件的三位數(shù)共有：P73+2P72+2C11C72P33+2P21C71P22=602(個)．答：這樣的三位數(shù)一共可以組成602個．6a≠-1/2x(x+4a)(x-6a)/(2a+1)＞0．2a+16a的大小也需要再分類討論．解：(1)當2a+1＞0，即a＞-1/2時，原不等式化為(x+4a)(x-6a)＞0．①當a＞0時，-4a＜0＜6ax＜-4a或x＞6a；②當a=0時，-4a=6a=0，原式化為x2＞0,∴x≠0；-1/2＜a＜0時，6a＜0＜-4a,∴x＜6a或x＞-4a．(2)當2a+1＜0即a＜-1/2時，原式化為(x+4a)(x-6a)＜0∵6a＜0＜-4a，∴6a＜x＜-4a．綜上討論，不等式的解集為：a＞0︱x＜-4a或x＞6a}；當a=0時，{x︱x≠0，x∈R}；a∈(-1/2,0)時，{x∣x＜6a或x＞-4a}；a∈(-∞-1/2)時，{x∣6a＜x＜-4a}．例7已知集合A={(x，y)∣(y-3)/(x-2)=a+1}，B={(x，y)∣(a2-1)x+(a-1)y=15}，若A∩B=Φ，求實數(shù)a的取值范圍。a=1,∴A∩B=Ф；a≠1時，A∩B=Ф等價于方程組顯然方程組無解等價于方程③無解或方程③有一解x=2(為什么?)．而方程③有無解又要對a2-1是否為零即a是否等于±1分別討論：①當a=1時，③化為02x=15，無解，與(1)同；a=-102x=2lAB=Ф成立；③當a≠-1時，方程(3)可化為x=(2a2-3a+16)/2(a2-1)x=22a2+3a-20=0a=-4a=5/2A∩B=Ф．(1)，(2)a=±1，-4，5/2時A∩B=Ф．評述：本命題實質(zhì)是判定以圓錐曲線的焦點弦為直徑的圓與其準線的位置關(guān)系(即是相交、相切、相離)。大家再一次看到量（e）變引起質(zhì)（位置）變的數(shù)學例子。例9設(shè)圓錐PO的母線長為2，軸截面面積為1，則過頂點O的圓錐PO的截面面積的最大值．θ，則S=1/23232sinθ=2sinθ=1，∴sinθ=1/2，θ=30°或150°．θ=30OPO()此時截面等腰三角形的頂角都小于軸截面的頂角30范圍內(nèi)，正弦函數(shù)是S=1/232×=2sinαα=θ=30最大＝1；當θ＝150°時，過頂點O的截面的兩條母線互相垂直時，截面面積最大，此時S最大=1/232323sin90°=2．綜合可知，過頂點O的圓錐PO的截面面積的最大值為1或2．例10在直角坐標系中，設(shè)矩形．OPQR的頂點按逆時針順序依次為O(0，0)，P(1，t)，Q(1-2t，2+t)，R(-2t，2)t∈(0，+∞)OPQRS(t)．OPQR在第一象限內(nèi)的部分是什么圖形．由于O為定點，當tP(1，t)恒在第一R(-2t，2)(-2t＜0，2＞0)Q(1-2t，2+t)1-2t可Qy一象限內(nèi)的部分可能是三角形也可能是直角梯形，故需分類求解．Q1-2t＞00＜t＜1/2QRy軸相交K．直線QR的方程是(y-2)/(2+t-2)=(x+2t)/(1-2t+2t)，即y-2=t(x+2t)，令x=0，得y=2+2t2，∴S(t)=SOPQR-SOKR=∣OP∣2∣PQ∣-1/2|OR|2|RK|.∵∣OP∣=√(1+t2),∣OR∣+2√(1+t2),∴√(1+t2)?2√(1+t2)-1/232(1+t2)22t=2(1-t+t2-t3);(2)當1-2t=0即t=1/2時，Q點坐標為(0，5/2)∴S(t)=SOPQ=1/235/231=5/4；1-2t＞1/2點在第二象限，設(shè)PQ與y軸相交于點LPQ的方程是(y-t)/(2+t-t)=(x-1)/(1-2t-1)x=0y=t+1/t,∴L(0,t+1/t)目，應(yīng)盡量選擇更簡便的方法。小結(jié)：分類討論的思想在求解函數(shù)、方程、不等式、排列組合，幾何等數(shù)學問題中有廣泛的應(yīng)用．用分類討論解答數(shù)學問題的主要步驟是：①分析題目條件，明確討論的對象，確二級分類；③逐類進行討論、求解；④歸納小結(jié)，得出綜合后的結(jié)論。強化訓練(A)1或-1(B)0或-1(C)0或1(D)0或1或-1(3)Z∈CZ2-3∣Z∣+2=0()(A)2(B)3(C)4(D)62．填空題．已知函數(shù)f(x)=lg(a+2)+sinx的最大值為2，則a= ；不等(k2-1)x2+2(k+1)x+1＞0對x∈R恒成立，則實數(shù)k的取值范圍不等式的解集；過點P(2，3)且與圓x2+y2-2x=0相切的直線方程已知cosα=1/7，cos(α+β)=-11/14，則cosβ= ;3．解答題．(1)求不等式√(4-x2）-∣x∣/x≥0的解集；xlg(ax2+3x-1)＞lgx；設(shè)函數(shù)f(x)=1-1/2cos2x+a3，求x的值；a＞0，a≠1，t＞01/2logatloga(t+1)/2的大??；8682人加入?；@球代表隊，且1?y2-ax2=1(a是