高數(shù)冪級數(shù)詳解和習(xí)題課件

第三節(jié)冪級數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一般概念二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪級數(shù)的運(yùn)算四、小結(jié)練習(xí)題25-11月-221第三節(jié)冪級數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一般概念23-11月-22一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一般概念1.定義:25-11月-222一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一般概念1.定義:23-11月-2222.收斂點(diǎn)與收斂域:25-11月-2232.收斂點(diǎn)與收斂域:23-11月-223函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和余項(xiàng)(x在收斂域上)注意函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問題,實(shí)質(zhì)上是數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂問題.3.和函數(shù):(定義域是?)25-11月-224函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和余項(xiàng)(x在收斂域上)注意函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在某點(diǎn)x二、冪級數(shù)及其收斂性1.定義:2.收斂性:25-11月-225二、冪級數(shù)及其收斂性1.定義:2.收斂性:23-11月-22幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域25-11月-226幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域23-11月-226推論25-11月-227推論23-11月-227定義:正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.規(guī)定問題如何求冪級數(shù)的收斂半徑?冪級數(shù)的收斂域?yàn)橐韵聨讉€(gè)區(qū)間之一：25-11月-228定義:正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.規(guī)定問題如何求冪級數(shù)的收證明25-11月-229證明23-11月-229由比值審斂法,25-11月-2210由比值審斂法,23-11月-2210定理證畢.25-11月-2211定理證畢.23-11月-2211例2求下列冪級數(shù)的收斂域:解該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散25-11月-2212例2求下列冪級數(shù)的收斂域:解該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散23-25-11月-221323-11月-2213發(fā)散收斂故收斂域?yàn)?0,1].25-11月-2214發(fā)散收斂故收斂域?yàn)?0,1].23-11月-2214解缺少偶次冪的項(xiàng)級數(shù)收斂,25-11月-2215解缺少偶次冪的項(xiàng)級數(shù)收斂,23-11月-2215級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂域?yàn)?5-11月-2216級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂域?yàn)?3-11月-三、冪級數(shù)的運(yùn)算1.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):(1)加減法(其中25-11月-2217三、冪級數(shù)的運(yùn)算1.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):(1)加減法(其中23-(2)乘法(其中25-11月-2218(2)乘法(其中23-11月-2218(3)除法(相除后的收斂區(qū)間比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多)2.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì):25-11月-2219(3)除法(相除后的收斂區(qū)間比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多)(收斂半徑不變)25-11月-2220(收斂半徑不變)23-11月-2220(收斂半徑不變)25-11月-2221(收斂半徑不變)23-11月-2221解兩邊積分得25-11月-2222解兩邊積分得23-11月-222225-11月-222323-11月-2223解25-11月-2224解23-11月-222425-11月-222523-11月-2225解收斂區(qū)間(-1,1),25-11月-2226解收斂區(qū)間(-1,1),23-11月-2226常用已知和函數(shù)的冪級數(shù)25-11月-2227常用已知和函數(shù)的冪級數(shù)23-11月-2227四、小結(jié)2.冪級數(shù)的收斂性:收斂半徑R3.冪級數(shù)的運(yùn)算:分析運(yùn)算性質(zhì)1.函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念:25-11月-2228四、小結(jié)2.冪級數(shù)的收斂性:收斂半徑R3.冪級數(shù)的運(yùn)算:分析思考題

冪級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后，收斂半徑不變，那么它的收斂域是否也不變？25-11月-2229思考題冪級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后，收斂半徑不變，那么它的收斂思考題解答不一定.例它們的收斂半徑都是1,但它們的收斂域各是25-11月-2230思考題解答不一定.例它們的收斂半徑都是1,但它們的收斂域各是練習(xí)題25-11月-2231練習(xí)題23-11月-223125-11月-223223-11月-2232練習(xí)題答案25-11月-2233練習(xí)題答案23-11月-2233第三節(jié)冪級數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一般概念二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪級數(shù)的運(yùn)算四、小結(jié)練習(xí)題25-11月-2234第三節(jié)冪級數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一般概念23-11月-22一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一般概念1.定義:25-11月-2235一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一般概念1.定義:23-11月-2222.收斂點(diǎn)與收斂域:25-11月-22362.收斂點(diǎn)與收斂域:23-11月-223函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和余項(xiàng)(x在收斂域上)注意函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問題,實(shí)質(zhì)上是數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂問題.3.和函數(shù):(定義域是?)25-11月-2237函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和余項(xiàng)(x在收斂域上)注意函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在某點(diǎn)x二、冪級數(shù)及其收斂性1.定義:2.收斂性:25-11月-2238二、冪級數(shù)及其收斂性1.定義:2.收斂性:23-11月-22幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域25-11月-2239幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域23-11月-226推論25-11月-2240推論23-11月-227定義:正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.規(guī)定問題如何求冪級數(shù)的收斂半徑?冪級數(shù)的收斂域?yàn)橐韵聨讉€(gè)區(qū)間之一：25-11月-2241定義:正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.規(guī)定問題如何求冪級數(shù)的收證明25-11月-2242證明23-11月-229由比值審斂法,25-11月-2243由比值審斂法,23-11月-2210定理證畢.25-11月-2244定理證畢.23-11月-2211例2求下列冪級數(shù)的收斂域:解該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散25-11月-2245例2求下列冪級數(shù)的收斂域:解該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散23-25-11月-224623-11月-2213發(fā)散收斂故收斂域?yàn)?0,1].25-11月-2247發(fā)散收斂故收斂域?yàn)?0,1].23-11月-2214解缺少偶次冪的項(xiàng)級數(shù)收斂,25-11月-2248解缺少偶次冪的項(xiàng)級數(shù)收斂,23-11月-2215級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂域?yàn)?5-11月-2249級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂域?yàn)?3-11月-三、冪級數(shù)的運(yùn)算1.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):(1)加減法(其中25-11月-2250三、冪級數(shù)的運(yùn)算1.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):(1)加減法(其中23-(2)乘法(其中25-11月-2251(2)乘法(其中23-11月-2218(3)除法(相除后的收斂區(qū)間比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多)2.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì):25-11月-2252(3)除法(相除后的收斂區(qū)間比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多)(收斂半徑不變)25-11月-2253(收斂半徑不變)23-11月-2220(收斂半徑不變)25-11月-2254(收斂半徑不變)23-11月-2221解兩邊積分得25-11月-2255解兩邊積分得23-11月-222225-11月-225623-11月-2223解25-11月-2257解23-11月-222425-11月-225823-11月-2225解收斂區(qū)間(-1,1),25-11月-2259解收斂區(qū)間(-1,1),23-11月-2226常用已知和函數(shù)的冪級數(shù)25-11月-2260常用已知和函數(shù)的冪級數(shù)23-11月-2227四、小結(jié)2.冪級數(shù)的收斂性:收斂半徑R3.冪級數(shù)的運(yùn)算:分析運(yùn)算性質(zhì)1.函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念:25-11月-2261四、小結(jié)2.冪級數(shù)的收斂性:收斂半徑R3.冪級數(shù)的運(yùn)算:分析思考題

冪級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后，收斂半徑不變，那么它的收斂域是否也不變？25-11月-2262思考題冪級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后，收斂半徑不變，那