小學數(shù)學思想方法的梳理(五)

小學數(shù)學方法的梳理五）五．方程和函數(shù)思想、方程和函數(shù)思想的概念。方程和函數(shù)試初等數(shù)學代數(shù)領域的主要內(nèi)容是解決實際問題的重要工具們可以用來描述現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系而他們之間有著密切的聯(lián)系此本文將二者放在一起進行討論。（1方程思想。含有未知數(shù)的等式叫方程，判斷一個式子是不是方程，只需要同時滿足兩個條件;個是含有未知數(shù)，另一個必須是等式。如有些小學老師經(jīng)常有疑問的判斷;x=0和x=1是不是方程？根據(jù)方程的定義他滿足方程的條件都是方程方程按照未知數(shù)的個數(shù)和未知數(shù)的最高次數(shù)，可以分為一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程一次方程等等些是初等數(shù)學代數(shù)領域最基本的內(nèi)容程想的核心是將問題中未知量用數(shù)字以外的數(shù)學符號（常用x、y等母）表示，根據(jù)數(shù)量關(guān)系之間的相等關(guān)系構(gòu)建方程模型。方程思想體現(xiàn)了已之與未知數(shù)的對立統(tǒng)一。函數(shù)思想。設集合兩個非空數(shù)集，如果按照某種確定的對立關(guān)系f如果對于集合的任意一個數(shù)在集合b中有唯一確定的數(shù)y和的對應，那么就稱是x的函數(shù)，記作y=f(x)。其中叫做自變量x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域y叫函數(shù)或因變量，與相對應的的叫做函數(shù)值y的取值范圍做值域。以上函數(shù)的定義是從初等數(shù)學的角度出發(fā)的自變量只有一個與之應的函數(shù)值也是唯一的樣的函數(shù)研究的是兩個變量之間的關(guān)系一變量的取值發(fā)生變化一個變量的取值也相應發(fā)生了變化中學里學習的正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)都是這類函數(shù)實現(xiàn)實中變量的變化而相應變化樣的函數(shù)是多元函數(shù)雖在中小學里不學習多元函數(shù)，但只機上它是存在的，如圓柱的體積與底面半r和柱的高的關(guān);πrh.半徑和高有一對取值也就是說體隨半徑和高的變化而變化過對這種變化的探究找出對應關(guān)系之間的法則，從而構(gòu)建函數(shù)模型。函數(shù)思想體現(xiàn)了運動變化的、普遍性的觀點。．方程和函數(shù)的區(qū)別。從小學數(shù)學到中學數(shù)學與代數(shù)領域經(jīng)歷了從算數(shù)到方程術(shù)研究具體確定的常數(shù)以及他們之間的數(shù)量關(guān)系程究定的常數(shù)與未知的數(shù)量之間的關(guān)系數(shù)究變量之間的數(shù)量關(guān)系。方程和函數(shù)雖然都是表示數(shù)量關(guān)系的是他們有本質(zhì)的區(qū)別二一次的不定方程中的未知數(shù)往往是常量，而一次函數(shù)中的自變量和因變量一定是量變，因此二者有本質(zhì)的不同。方程必須有未知數(shù)知數(shù)是常量且一定用等式的形式呈現(xiàn)者一不可2x-4=6而函數(shù)至少要有兩個變量兩個變量依據(jù)一定的法則相對應現(xiàn)的形式可以有解析式圖像法和列表法等集大小等于1小于等于10的數(shù)合b為于的偶數(shù)。那么兩個集合的數(shù)之間的對應關(guān)系可以用表，還可以用如下的表格表示。xy

人們運用方程思想關(guān)注的通過設未知數(shù)如何找出數(shù)量之間的相等關(guān)系構(gòu)建方程并求出方程的解從而解決數(shù)學問題實際問題們運用函數(shù)思想一般更加關(guān)注數(shù)量之間的對應關(guān)系通過構(gòu)建函數(shù)模型并究函數(shù)的一些性質(zhì)來解決數(shù)學問題和實際問題程中的未知數(shù)往往是靜態(tài)的，而函數(shù)的變量則是動態(tài)的。方程已經(jīng)有多的歷史，而函數(shù)概念的產(chǎn)生不過才年。

（2方程和函數(shù)的關(guān)系。（3方程和函數(shù)雖然有本質(zhì)的區(qū)別，但是他們同屬代數(shù)領域，也有密切的關(guān)系。如二元一次不定方程ax+by+c=0和一次函數(shù)如果方程的解在實數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)的定義域和值域都是實數(shù)那方和過變換可轉(zhuǎn)化為y=-a/bx-c/b,們在直角坐標系里畫出來的圖像是一條直線。因此可以說一個一元一次方程對應一個一次函數(shù)如果使一次函數(shù)y=kx+b中函數(shù)植等于0,那么一次函數(shù)轉(zhuǎn)化為這就是一元一次方程因此,可以說求這個一元一次方程的解,際上就是求使函數(shù)值偽的自變量的值,者說求一次函數(shù)圖象與X軸交的橫坐標的.一般地就初等數(shù)學而言,今令函數(shù)值為0,么這個函數(shù)就轉(zhuǎn)化為含有一個未知數(shù)的方程;方程的,是求使函數(shù)值為0的變量的,者說求函數(shù)圖像與X軸點的橫坐標的值.方程和數(shù)思想的重要意.世以前,人們主要是運用算術(shù)和方程方法解現(xiàn)實生活中的各種實際問方程與算術(shù)相比由未知數(shù)參與了等量關(guān)系式的夠建更加便于人理解問題\分析數(shù)量關(guān)系并夠建模型而方程在解決以常量為主要的實際問題中發(fā)揮了重要作用,到世,隨社會的發(fā)展傳統(tǒng)的研究常量的算術(shù)和方程已經(jīng)不能解決以研兩個變量之間的關(guān)系為主的經(jīng)濟,技軍事等領域的重要問這時函數(shù)變產(chǎn)生了函數(shù)為研究運動變化的數(shù)量之間的依存應關(guān)系和構(gòu)建模型帶來了方便從能夠解決比較復雜的問題.概括的說程和函數(shù)思想是中小學數(shù)學尤是中學數(shù)學的重要內(nèi)容之一.方程和函數(shù)在研究和構(gòu)建現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系模型方面揮著重要的不可替代的作用.方程和數(shù)思想的具體運.小學數(shù)學在學習方程之前的問題,通過算術(shù)方法解決,在入方程之后,學數(shù)學中比較復雜的有關(guān)數(shù)量關(guān)系的問題,都以通過方程解決,方思想是小學思想的重要思想其中一元一次方程是小學數(shù)學的必學內(nèi)容在學數(shù)學里沒有學習函數(shù)的概念但是有函數(shù)思想的滲透與正比例函數(shù)和反比例函數(shù)最接近的正比例函數(shù)和反例函數(shù)是小學數(shù)學的必學內(nèi)容另,小學數(shù)學的一些知識中也會滲透函數(shù)思想如數(shù)與數(shù)的一一對應體現(xiàn)了函數(shù)思方程和函數(shù)是小學數(shù)學與初中數(shù)學銜接的紐小學數(shù)學中方程和函數(shù)思想的應用如下.思想方法方程思想函數(shù)思想

知識點方程分數(shù),百分數(shù)和比例等量代換雞兔同籠加法積的變化規(guī)律商的變化規(guī)律

應用舉例用一元一次方程解決整數(shù)和小數(shù)等各種問題用一元一次方程解決分數(shù),百數(shù)和比例等各種問題二(三)元一次方程思想的滲透用方程解決雞兔同籠問題一個加數(shù)不變,和著另一個加數(shù)的變化而變化,可表示為Y=KX.滲正比例函數(shù)思想一個因數(shù)不變積著另一個因數(shù)的化而變化,表示為滲正比例函數(shù)關(guān)系除數(shù)不變,商著被除數(shù)的變化變化,可示為滲正比例函數(shù)思想,被數(shù)不變商著除數(shù)的變化而變,可示為Y=X\K,滲反比例函數(shù)思想

正比例關(guān)系反比例關(guān)系數(shù)列空間與圖形統(tǒng)計圖表程和函數(shù)思想的教

正比例關(guān)系改寫成Y=KX,就是正比例函數(shù)反比例函數(shù)改寫成就反比例函數(shù)等差數(shù)列,等比數(shù)列,般數(shù)列的每一項與序號之間的對應關(guān)系都可以看作是特殊的函數(shù)關(guān).長方形正形,平四邊形,三形梯的面積公式,長體.,正方圓柱,圓的體積公式的周長和面積公式都滲透了函數(shù)思想函數(shù)的列表法與統(tǒng)計表都有相似之處方程和函數(shù)都是義務教育階段重要的數(shù)學思想方用方程和函數(shù)表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī),不僅體現(xiàn)方程和函數(shù)的思想的價值.也助于學生形成模型思想根據(jù)課程標準的理念,方和函數(shù)思想的教學應關(guān)注以下幾方中的字X,Y等表具體的未知的常即未知,是代數(shù)思想和方程思想的基礎.正例關(guān)系和反比例關(guān)系等函數(shù)關(guān)系中的字母X,Y代表的是變化的,即變量,且這兩個量是相關(guān)聯(lián)的量一個量的變另一個量也會隨著變,這是函數(shù)思想的基礎,要讓學生體會它的區(qū).結(jié)具體情境通分析數(shù)量關(guān)系來理解等量并方程表示等關(guān)再通過解方程解決問題從而認識方程的作用結(jié)簡單情境,認成正比例的量或反比例的量,通分析數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)