隨機(jī)積分與Ito定理課件

第八章隨機(jī)積分—Ito積分第一節(jié)引言第二節(jié)Ito積分的理論第三節(jié)Ito積分的特征第四節(jié)Ito定理及應(yīng)用第五節(jié)更復(fù)雜情況下的Ito公式1ppt課件第八章隨機(jī)積分—Ito積分第一節(jié)引言第二節(jié)第一節(jié)引言一、Ito積分的導(dǎo)出在物理現(xiàn)象中是用微分方程來描述其模型，而建立微分方程是從導(dǎo)數(shù)定義出發(fā)。并可根據(jù)微分與積分的關(guān)系，建立相應(yīng)的積分方程。但在隨機(jī)環(huán)境中，由于不可預(yù)測的“消息”不斷出現(xiàn)，并且表示現(xiàn)象動態(tài)性的等式是這些噪音的函數(shù)，這就無法定義一個(gè)有效的導(dǎo)數(shù)，建立一個(gè)微分方程。然而，在某些條件下可以定義一個(gè)積分—Ito積分，建立積分方程。首頁2ppt課件第一節(jié)引言一、Ito積分的導(dǎo)出前面討論的隨機(jī)微分等式，其中的項(xiàng)都只是近似討論，而沒給出精確的解釋。但如果給出Ito積分的定義，反過來才能更確切地討論。即若用微分方程代表資產(chǎn)價(jià)格的動態(tài)行為，那么能否對兩邊取積分，即也就是說，是否等式右邊第二項(xiàng)的積分有意義？為解釋此項(xiàng)積分的含義，需引進(jìn)Ito積分首頁3ppt課件前面討論的隨機(jī)微分等式，其中的項(xiàng)也就是說，一旦定義Ito積分，則上積分等式才有意義即有其中h為一定的時(shí)間間隔。若則上等式改寫為即或這正是在固定間隔下的隨機(jī)微分方程表示式首頁4ppt課件也就是說，一旦定義Ito積分，則上積分等式才有意義即有其中h此表示式為一近似式，其精確公式為二、Ito積分的重要性首先隨機(jī)微分方程只能根據(jù)Ito積分方程來定義，要理解隨機(jī)微分方程的真正含義，必須首先理解Ito積分。其次在實(shí)際運(yùn)用當(dāng)中，經(jīng)常先用固定的時(shí)間間隔，得出隨機(jī)微分方程的近似值，然后再通過Ito積分就可以給出近似值的精確形式。返回首頁5ppt課件此表示式為一近似式，其精確公式為二、Ito積分的重要性首先隨第二節(jié)Ito積分的理論Ito積分是用來定義隨時(shí)間的變化無法統(tǒng)計(jì)和不可預(yù)測的隨機(jī)增量的總和。布朗運(yùn)動如果標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動一、Ito積分的定義首頁6ppt課件第二節(jié)Ito積分的理論Ito積分是用來定義隨時(shí)間定義1滿足作和式如果均方極限存在則稱記為首頁7ppt課件定義1滿足作和式如果均方極限存在則稱記為首頁7ppt課件注意在定義中不能按通常的黎曼積分那樣作和式原因是即所以這里取固定的左端點(diǎn)。定理1首頁8ppt課件注意在定義中不能按通常的黎曼積分那樣作和式原因是即所以這里取定理2則證令則首頁9ppt課件定理2則證令則首頁9ppt課件因?yàn)?首頁10ppt課件因?yàn)?首頁10ppt課件例1解試求故首頁11ppt課件例1解試求故首頁11ppt課件注表明Ito隨機(jī)積分不同于黎曼積分二、Ito積分的性質(zhì)性質(zhì)1則（1）（2）證明與黎曼積分相仿（略）首頁12ppt課件注表明Ito隨機(jī)積分不同于黎曼積分二、Ito積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2則證明略首頁13ppt課件性質(zhì)2則證明略首頁13ppt課件性質(zhì)3則存在且關(guān)于t是均方連續(xù)的。證明首頁14ppt課件性質(zhì)3則存在且關(guān)于t是均方連續(xù)的。證明首頁14ppt課件三、Ito微分法則則第二個(gè)積分作為Ito積分存在，且（1）這時(shí)稱(1)式定義的隨機(jī)過程有(Ito)隨機(jī)微分并記為首頁15ppt課件三、Ito微分法則則第二個(gè)積分作為Ito積分存在，且（1）這例2求隨機(jī)微分解由例１可知即由隨機(jī)微分的定義首頁16ppt課件例2求隨機(jī)微分解由例１可知即由隨機(jī)微分的定義首頁16ppt課定理3Ito公式的二次微分函數(shù)，則且首頁17ppt課件定理3Ito公式的二次微分函數(shù)，則且首頁17ppt課件例3求隨機(jī)微分解設(shè)因?yàn)樗杂蒊to公式得首頁18ppt課件例3求隨機(jī)微分解設(shè)因?yàn)樗杂蒊to公式得首頁18ppt課件定理4都是連續(xù)函數(shù)．如果隨機(jī)過程有隨機(jī)微分則首頁19ppt課件定理4都是連續(xù)函數(shù)．如果隨機(jī)過程有隨機(jī)微分注是復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)轿⒎址▌t在隨機(jī)微分中的表現(xiàn)，稱為Ito公式首頁20ppt課件注是復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)轿⒎址▌t在隨機(jī)微分中的表現(xiàn)，稱為Ito公式首四、Ito隨機(jī)微分方程則在Ito積分和微分的基礎(chǔ)上建立的隨機(jī)微分方程稱為Ito隨機(jī)微分方程與Ito隨機(jī)微分方程等價(jià)的Ito隨機(jī)積分方程其中右邊第一個(gè)積分是均值積分，第二個(gè)積分是Ito積分首頁21ppt課件四、Ito隨機(jī)微分方程則在Ito積分和微分的基礎(chǔ)上建立的隨機(jī)例4考慮Ito方程取由Ito公式得即所以即注將看作普通函數(shù)，則解為返回首頁22ppt課件例4考慮Ito方程取由Ito公式得即所以即注將第三節(jié)Ito積分的特征資產(chǎn)價(jià)格理論意義下Ito積分其中在信息集下是非預(yù)期的一、Ito積分是鞅在間隔內(nèi)影響資產(chǎn)價(jià)格不可預(yù)測的干擾總和可表示為則此Ito積分就是鞅。因?yàn)槭醉?3ppt課件第三節(jié)Ito積分的特征資產(chǎn)價(jià)格理論意義下Ito積給定時(shí)間t的信息集，如果每個(gè)增量是不可預(yù)測的，則這些增量的總和也是不可預(yù)測的，即于是故Ito積分是鞅。首頁24ppt課件給定時(shí)間t的信息集，如果每個(gè)增量是不可預(yù)測的，則這些增量的下面考慮兩種有意思的情況：1．第一種情況假設(shè)此時(shí)Ito積分就等同于Riemann積分即有則即積分是鞅首頁25ppt課件下面考慮兩種有意思的情況：1．第一種情況假設(shè)此時(shí)Ito積分就因?yàn)榫S納過程的增量具有0均值且是非相關(guān)的，故此積分是鞅注當(dāng)是常數(shù)時(shí)，Riemann和Ito積分是相同的且都是鞅首頁26ppt課件因?yàn)榫S納過程的增量具有0均值且是非相關(guān)的，故此積分是鞅注當(dāng)2．第二種情況若此時(shí)Ito積分就不同于Riemann積分。Ito積分將保持鞅特性，而Riemman將不再具有鞅特性。例如如果衍生產(chǎn)品的標(biāo)的資產(chǎn)具有幾何分布，其方差則可表明Ito積分就不同于Riemann積分。用Riemann求和來大致估計(jì)Ito積分會導(dǎo)致自相矛盾，方法具體過程如下例：首頁27ppt課件2．第二種情況若此時(shí)Ito積分就不同于Riemann積分。I3．一個(gè)例子其中偏移量和方差率分別為假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格滿足隨機(jī)微分方程即兩個(gè)參數(shù)都比例于資產(chǎn)價(jià)格考慮一個(gè)小時(shí)間間隔，對隨機(jī)微分方程積分現(xiàn)在用Rieman求和來討論上式右邊的第二項(xiàng)積分的近似計(jì)算，看會有什么結(jié)果？首頁28ppt課件3．一個(gè)例子其中偏移量和方差率分別為假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格滿足隨機(jī)微分Rieman求和的一種近似計(jì)算是用子間隔的中點(diǎn)處的維納過程測值來計(jì)算。首先計(jì)算然后再乘以矩形的底得從而有兩項(xiàng)相關(guān)下面考慮上隨機(jī)微分方程的簡單形式則其新增項(xiàng)形式為首頁29ppt課件Rieman求和的一種近似計(jì)算是用子間隔的中點(diǎn)處的維納過程測用Riemann求和來大致估計(jì)這樣一個(gè)積分，根據(jù)底和高為矩形的面積可得由于期望這意味著上式右邊的條件期望不為0，即是可預(yù)測的，首頁30ppt課件用Riemann求和來大致估計(jì)這樣一個(gè)積分，根據(jù)底和高為矩形從而可知，用Riemann求和來估計(jì)Ito積分意味著新增干擾項(xiàng)有一個(gè)非零期望值，即但由于Ito積分存在條件：即有則Ito積分的近似計(jì)算必須是矛盾首頁31ppt課件從而可知，用Riemann求和來估計(jì)Ito積分意味著新增干擾注如果被積函數(shù)不是非預(yù)期的，則不能保證用來構(gòu)建Ito積分的部分求和的均方值會收斂為一個(gè)有效的隨機(jī)變量，即Ito積分根本就不存在。二、路徑積分考察在期間[0，T]內(nèi)資產(chǎn)價(jià)格間隔長度為分割：且有首頁32ppt課件注如果被積函數(shù)不是非預(yù)期的，則不能保證用來構(gòu)建Ito積分的部假設(shè)一個(gè)金融分析家要計(jì)算積分其有限求和形式為取特殊路徑則顯然但路徑積分在隨機(jī)過程中并不一定收斂。如首頁33ppt課件假設(shè)一個(gè)金融分析家要計(jì)算積分其有限求和形式為取特殊路徑則顯然取符號函數(shù)則有即故此路徑積分在隨機(jī)過程中不收斂。注路徑積分意義在計(jì)算路徑積分時(shí)，沒有用到與相聯(lián)系的概率，而是用實(shí)際測值來計(jì)算的。另一方面，Ito積分是用均方收斂值來計(jì)算并由隨機(jī)等式來決定。非預(yù)期重要性由于可預(yù)測的符號，函數(shù)能“看到未來情況”，則求和公式中各部分都為正，當(dāng)n增加時(shí)，就會發(fā)散。首頁34ppt課件取符號函數(shù)則有即故此路徑積分在隨機(jī)過程中不收斂。注路徑積分意三、Ito積分存在性存在的條件是也就是說的均方會收斂到某個(gè)稱為Ito積分的隨機(jī)變量首頁35ppt課件三、Ito積分存在性存在的條件是也就是說的均方會收斂到某個(gè)稱四、相關(guān)性Ito積分是一隨機(jī)過程，因此它有各種不同的量一次量即二次量協(xié)方差方差返回首頁36ppt課件四、相關(guān)性Ito積分是一隨機(jī)過程，因此它有各種不同的量一次量第四節(jié)Ito定理及應(yīng)用在隨機(jī)環(huán)境中，導(dǎo)數(shù)的概念是不存在的，資產(chǎn)價(jià)格的變動被認(rèn)為是不可預(yù)測的，且在連續(xù)時(shí)間內(nèi)變動太不規(guī)則，導(dǎo)致資產(chǎn)價(jià)格可能連續(xù)卻不光滑，必須用隨機(jī)微分來代替導(dǎo)數(shù)進(jìn)行計(jì)算。Ito規(guī)則給出了一個(gè)簡化隨機(jī)微分的公式，并給出了詳細(xì)的計(jì)算。一、導(dǎo)數(shù)類型在標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算中，所有變量都是確定型的，可以有三種類型的導(dǎo)數(shù)：首頁37ppt課件第四節(jié)Ito定理及應(yīng)用在隨機(jī)環(huán)境中，導(dǎo)數(shù)的概念是不存偏導(dǎo)數(shù)全微分鏈?zhǔn)綄?dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)在金融市場中作用偏導(dǎo)數(shù)為計(jì)算資產(chǎn)價(jià)格相對于風(fēng)險(xiǎn)因子的變化反應(yīng)提供了一個(gè)“乘數(shù)”。典型例子：是在計(jì)算套期保值參數(shù)中用到偏導(dǎo)數(shù)，假設(shè)一個(gè)市場參與者知道的函數(shù)形式，1則首頁38ppt課件偏導(dǎo)數(shù)全微分鏈?zhǔn)綄?dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)在金融市場中作用偏導(dǎo)數(shù)為計(jì)算資產(chǎn)價(jià)格因此對維納過程定義一個(gè)關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)不會有任何困難，但需要知道的不是隨時(shí)間的變化，而是假定在時(shí)間固定情況下，它對的小變化有什么反應(yīng)。23全微分是在假定時(shí)間和標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格都發(fā)生變動，而導(dǎo)致的變化，其結(jié)果就是隨機(jī)微分。它代表了在時(shí)間間隔內(nèi)衍生資產(chǎn)價(jià)格的變化，對市場交易者很有用。在標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算中，鏈?zhǔn)綄?dǎo)數(shù)表示一個(gè)變量相對于初始變量經(jīng)過某些連鎖效應(yīng)的最終變化速率。在隨機(jī)計(jì)算中，鏈?zhǔn)綄?dǎo)數(shù)指的是隨機(jī)微分相互間的關(guān)系，也就是全微分的隨機(jī)形式。首頁39ppt課件因此對維納過程定義一個(gè)關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)不會有任何困難，但需要知例1且則注但全微分同隨機(jī)事件的實(shí)際發(fā)生率有關(guān)，二者不同。上式給出的是對為非隨機(jī)變量的情況。首頁40ppt課件例1且則注但全微分同隨機(jī)事件的實(shí)際發(fā)生率有關(guān)，二者不同。首頁二、Ito定理的應(yīng)用（一）Ito定理則有Ito公式可得或首頁41ppt課件二、Ito定理的應(yīng)用（一）Ito定理則有Ito公式可得或首頁說明在分析金融衍生產(chǎn)品時(shí)，一旦知道標(biāo)的資產(chǎn)的隨機(jī)微分方程，運(yùn)用Ito公式就可得到金融衍生產(chǎn)品的隨機(jī)微分方程，即知道衍生資產(chǎn)價(jià)格的變化。例2求解因故有Ito定理可得首頁42ppt課件說明在分析金融衍生產(chǎn)品時(shí)，一旦知道標(biāo)的資產(chǎn)的隨機(jī)微分方程，運(yùn)因此得到在信息集下的的隨機(jī)微分方程，其偏移率和方差項(xiàng)為即漂移率是常數(shù)，方差依賴于信息集。例3若則有此時(shí)得到在信息集下的的隨機(jī)微分方程，其偏移率和方差項(xiàng)為首頁43ppt課件因此得到在信息集下的例4計(jì)算Ito積分解設(shè)得其相關(guān)積分等式故即注這個(gè)結(jié)果與本章第二節(jié)計(jì)算出來的結(jié)果相同，可作為計(jì)算Ito積分的工具。首頁44ppt課件例4計(jì)算Ito積分解設(shè)得其相關(guān)積分等式故即注這個(gè)結(jié)果與本章第例5計(jì)算積分解定義由Ito定理得其對應(yīng)的積分等式故首頁45ppt課件例5計(jì)算積分解定義由Ito定理得其對應(yīng)的積分等式故首頁45p注用Ito定理計(jì)算Ito積分的步驟123對新得到的隨機(jī)微分方程兩邊進(jìn)行積分處理，得到一個(gè)新的積分等式，該等式所包含的積分的計(jì)算要比原積分簡單。4重新排列積分等式各項(xiàng)，得到最終結(jié)果。首頁46ppt課件注用Ito定理計(jì)算Ito積分的步驟123對新得到的隨機(jī)微分方（二）伊托定理在遠(yuǎn)期合約定價(jià)中的應(yīng)用（補(bǔ)充內(nèi)容）現(xiàn)在以不支付股息的股票為例說明伊托定理在遠(yuǎn)期合約領(lǐng)域中的應(yīng)用。假定各個(gè)時(shí)期的無風(fēng)險(xiǎn)利率r等于常數(shù)，遠(yuǎn)期價(jià)格用F表示，則遠(yuǎn)期價(jià)格F與即期價(jià)格S之間的關(guān)系可表示為所以首頁47ppt課件（二）伊托定理在遠(yuǎn)期合約定價(jià)中的應(yīng)用（補(bǔ)充內(nèi)容）如果股票價(jià)格S遵循幾何布朗運(yùn)動，并且預(yù)期收益和波動率分別是和，即那么由伊托公式可得遠(yuǎn)期價(jià)格F變化的隨機(jī)過程為將代入上式，得可見，遠(yuǎn)期價(jià)格F與股票價(jià)格S一樣，也遵循幾何布朗運(yùn)動。但是，遠(yuǎn)期價(jià)格的預(yù)期增長率是，而不是。首頁48ppt課件如果股票價(jià)格S遵循幾何布朗運(yùn)動，并且預(yù)期收益和波動率分別是三、Ito定理的積分形式微分形式進(jìn)而可得Ito定理的另一特性：兩邊取積分，得積分形式該式說明關(guān)于維納過程和其它連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程的積分是用時(shí)間的積分函數(shù)表達(dá)出來的。注返回首頁49ppt課件三、Ito定理的積分形式微分形式進(jìn)而可得Ito定理的另一第五節(jié)更復(fù)雜情況下的Ito公式第一種是在某些條件下，函數(shù)可能不只是依賴于單一隨機(jī)變量，這樣就要用到多變量的Ito公式。不能直接使用Ito公式的兩種情況：第二種考慮金融市場受到小概率事件影響，這樣需要對隨機(jī)微分方程加上跳躍過程來決定資產(chǎn)價(jià)格，相應(yīng)的Ito公式會改變很多。首頁50ppt課件第五節(jié)更復(fù)雜情況下的Ito公式第一種是在某些條件下，函數(shù)一、多變量情況設(shè)為兩個(gè)受維納過程影響的隨機(jī)過程其中則首頁51ppt課件一、多變量情況設(shè)為兩是兩個(gè)獨(dú)立的維納過程的增量結(jié)果這個(gè)問題可由下面Ito定理的多變量形式得到解決：由于在單變量Ito定理中，等交叉項(xiàng)在均方意義下都等于0。且若在一個(gè)固定的間隔內(nèi)，有則在均方意義下，有首頁52ppt課件是兩個(gè)獨(dú)由此可得這些等式代入上式即得雙變量Ito公式首頁53ppt課件由此可得這些等式代入上式即得雙變量Ito公式首頁53ppt課例1（金融衍生品）在評價(jià)利率期權(quán)衍生品的價(jià)值時(shí)，收益曲線起到很大作用。利率期權(quán)的模型之一是假設(shè)收益曲線依賴于兩個(gè)狀態(tài)變量，分別是短期利率和長期利率則利率衍生品的價(jià)格就可表示為假定利率服從隨機(jī)微分方程其中，長短期利率誤差項(xiàng)具有相關(guān)性，在固定間隔h內(nèi)，相關(guān)系數(shù)為首頁54ppt課件例1（金融衍生品）在評價(jià)利率期權(quán)衍生品的價(jià)市場參與者可通過參數(shù)的選擇，由該等式得到長短期利率的相關(guān)性和方差特性。在評估利率期權(quán)時(shí)，需要知道期權(quán)價(jià)格對收益曲線的變化和會怎樣變化，也就是要知道隨機(jī)微分，即有Ito公式的多變量形式可得首頁55ppt課件市場參與者可通過參數(shù)的選擇，由該等例2財(cái)富假設(shè)市場有n種資產(chǎn)，都是受同一隨機(jī)變動影響的連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過程投資總價(jià)格可由財(cái)富函數(shù)表示則由Ito定理可得隨著時(shí)間的變化而財(cái)富的增量首頁56ppt課件例2財(cái)富假設(shè)市場有n種資產(chǎn)，二、Ito公式和跳躍假設(shè)觀測一個(gè)過程，它服從隨機(jī)微分方程：其中且假定在一個(gè)固定間隔h內(nèi)該跳躍有零均值：原因：任何可預(yù)測的跳躍成分可被包含在漂移項(xiàng)中對跳躍過程，作如下假定：1首頁57ppt課件二、Ito公式和跳躍假設(shè)觀測一個(gè)過程，它服從隨2跳躍類型是隨機(jī)和獨(dú)立的。首頁58ppt課件2跳躍類型是隨機(jī)和獨(dú)立的。首頁58ppt課件在這些條件下漂移參數(shù)可被看作為兩個(gè)分散的漂移的總和：其中是連續(xù)運(yùn)動的維納過程部分，第二項(xiàng)為中純跳躍部分跳躍過程兩個(gè)隨機(jī)性跳躍的發(fā)生為隨機(jī)事件，發(fā)生大小也是隨機(jī)的。假定這兩個(gè)隨機(jī)性是相互獨(dú)立的。則Ito公式為首頁59ppt課件在這些條件下漂移參數(shù)可被看作為兩個(gè)分散的漂移的總和其中首頁60ppt課件其中首頁60ppt課件首先要計(jì)算由可能發(fā)生的隨機(jī)跳躍的期望變化，也就是上式右邊的第二項(xiàng)，要計(jì)算此項(xiàng)，需要用到在時(shí)間內(nèi)跳躍發(fā)生的概率和由跳躍所引起的函數(shù)跳躍的大小期望值。在實(shí)際中如何計(jì)算呢？其次如果在特定的時(shí)間內(nèi)發(fā)生跳躍，還應(yīng)包含式上式的第一項(xiàng)。首頁61ppt課件首先要計(jì)算由可能發(fā)生的隨機(jī)跳躍的期望變化，也就是上式右邊的第在隨機(jī)計(jì)算中，Ito定理是核心微分工具。第一，在給定標(biāo)的資產(chǎn)運(yùn)動方程情況下，由Ito定理可得到金融衍生品的隨機(jī)微分方程；本章說明第二，Ito定理完全獨(dú)立Ito積分的。返回首頁62ppt課件在隨機(jī)計(jì)算中，Ito定理是核心微分工具。第一，在給定標(biāo)的資產(chǎn)第八章隨機(jī)積分—Ito積分第一節(jié)引言第二節(jié)Ito積分的理論第三節(jié)Ito積分的特征第四節(jié)Ito定理及應(yīng)用第五節(jié)更復(fù)雜情況下的Ito公式63ppt課件第八章隨機(jī)積分—Ito積分第一節(jié)引言第二節(jié)第一節(jié)引言一、Ito積分的導(dǎo)出在物理現(xiàn)象中是用微分方程來描述其模型，而建立微分方程是從導(dǎo)數(shù)定義出發(fā)。并可根據(jù)微分與積分的關(guān)系，建立相應(yīng)的積分方程。但在隨機(jī)環(huán)境中，由于不可預(yù)測的“消息”不斷出現(xiàn)，并且表示現(xiàn)象動態(tài)性的等式是這些噪音的函數(shù)，這就無法定義一個(gè)有效的導(dǎo)數(shù)，建立一個(gè)微分方程。然而，在某些條件下可以定義一個(gè)積分—Ito積分，建立積分方程。首頁64ppt課件第一節(jié)引言一、Ito積分的導(dǎo)出前面討論的隨機(jī)微分等式，其中的項(xiàng)都只是近似討論，而沒給出精確的解釋。但如果給出Ito積分的定義，反過來才能更確切地討論。即若用微分方程代表資產(chǎn)價(jià)格的動態(tài)行為，那么能否對兩邊取積分，即也就是說，是否等式右邊第二項(xiàng)的積分有意義？為解釋此項(xiàng)積分的含義，需引進(jìn)Ito積分首頁65ppt課件前面討論的隨機(jī)微分等式，其中的項(xiàng)也就是說，一旦定義Ito積分，則上積分等式才有意義即有其中h為一定的時(shí)間間隔。若則上等式改寫為即或這正是在固定間隔下的隨機(jī)微分方程表示式首頁66ppt課件也就是說，一旦定義Ito積分，則上積分等式才有意義即有其中h此表示式為一近似式，其精確公式為二、Ito積分的重要性首先隨機(jī)微分方程只能根據(jù)Ito積分方程來定義，要理解隨機(jī)微分方程的真正含義，必須首先理解Ito積分。其次在實(shí)際運(yùn)用當(dāng)中，經(jīng)常先用固定的時(shí)間間隔，得出隨機(jī)微分方程的近似值，然后再通過Ito積分就可以給出近似值的精確形式。返回首頁67ppt課件此表示式為一近似式，其精確公式為二、Ito積分的重要性首先隨第二節(jié)Ito積分的理論Ito積分是用來定義隨時(shí)間的變化無法統(tǒng)計(jì)和不可預(yù)測的隨機(jī)增量的總和。布朗運(yùn)動如果標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動一、Ito積分的定義首頁68ppt課件第二節(jié)Ito積分的理論Ito積分是用來定義隨時(shí)間定義1滿足作和式如果均方極限存在則稱記為首頁69ppt課件定義1滿足作和式如果均方極限存在則稱記為首頁7ppt課件注意在定義中不能按通常的黎曼積分那樣作和式原因是即所以這里取固定的左端點(diǎn)。定理1首頁70ppt課件注意在定義中不能按通常的黎曼積分那樣作和式原因是即所以這里取定理2則證令則首頁71ppt課件定理2則證令則首頁9ppt課件因?yàn)?首頁72ppt課件因?yàn)?首頁10ppt課件例1解試求故首頁73ppt課件例1解試求故首頁11ppt課件注表明Ito隨機(jī)積分不同于黎曼積分二、Ito積分的性質(zhì)性質(zhì)1則（1）（2）證明與黎曼積分相仿（略）首頁74ppt課件注表明Ito隨機(jī)積分不同于黎曼積分二、Ito積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2則證明略首頁75ppt課件性質(zhì)2則證明略首頁13ppt課件性質(zhì)3則存在且關(guān)于t是均方連續(xù)的。證明首頁76ppt課件性質(zhì)3則存在且關(guān)于t是均方連續(xù)的。證明首頁14ppt課件三、Ito微分法則則第二個(gè)積分作為Ito積分存在，且（1）這時(shí)稱(1)式定義的隨機(jī)過程有(Ito)隨機(jī)微分并記為首頁77ppt課件三、Ito微分法則則第二個(gè)積分作為Ito積分存在，且（1）這例2求隨機(jī)微分解由例１可知即由隨機(jī)微分的定義首頁78ppt課件例2求隨機(jī)微分解由例１可知即由隨機(jī)微分的定義首頁16ppt課定理3Ito公式的二次微分函數(shù)，則且首頁79ppt課件定理3Ito公式的二次微分函數(shù)，則且首頁17ppt課件例3求隨機(jī)微分解設(shè)因?yàn)樗杂蒊to公式得首頁80ppt課件例3求隨機(jī)微分解設(shè)因?yàn)樗杂蒊to公式得首頁18ppt課件定理4都是連續(xù)函數(shù)．如果隨機(jī)過程有隨機(jī)微分則首頁81ppt課件定理4都是連續(xù)函數(shù)．如果隨機(jī)過程有隨機(jī)微分注是復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)轿⒎址▌t在隨機(jī)微分中的表現(xiàn)，稱為Ito公式首頁82ppt課件注是復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)轿⒎址▌t在隨機(jī)微分中的表現(xiàn)，稱為Ito公式首四、Ito隨機(jī)微分方程則在Ito積分和微分的基礎(chǔ)上建立的隨機(jī)微分方程稱為Ito隨機(jī)微分方程與Ito隨機(jī)微分方程等價(jià)的Ito隨機(jī)積分方程其中右邊第一個(gè)積分是均值積分，第二個(gè)積分是Ito積分首頁83ppt課件四、Ito隨機(jī)微分方程則在Ito積分和微分的基礎(chǔ)上建立的隨機(jī)例4考慮Ito方程取由Ito公式得即所以即注將看作普通函數(shù)，則解為返回首頁84ppt課件例4考慮Ito方程取由Ito公式得即所以即注將第三節(jié)Ito積分的特征資產(chǎn)價(jià)格理論意義下Ito積分其中在信息集下是非預(yù)期的一、Ito積分是鞅在間隔內(nèi)影響資產(chǎn)價(jià)格不可預(yù)測的干擾總和可表示為則此Ito積分就是鞅。因?yàn)槭醉?5ppt課件第三節(jié)Ito積分的特征資產(chǎn)價(jià)格理論意義下Ito積給定時(shí)間t的信息集，如果每個(gè)增量是不可預(yù)測的，則這些增量的總和也是不可預(yù)測的，即于是故Ito積分是鞅。首頁86ppt課件給定時(shí)間t的信息集，如果每個(gè)增量是不可預(yù)測的，則這些增量的下面考慮兩種有意思的情況：1．第一種情況假設(shè)此時(shí)Ito積分就等同于Riemann積分即有則即積分是鞅首頁87ppt課件下面考慮兩種有意思的情況：1．第一種情況假設(shè)此時(shí)Ito積分就因?yàn)榫S納過程的增量具有0均值且是非相關(guān)的，故此積分是鞅注當(dāng)是常數(shù)時(shí)，Riemann和Ito積分是相同的且都是鞅首頁88ppt課件因?yàn)榫S納過程的增量具有0均值且是非相關(guān)的，故此積分是鞅注當(dāng)2．第二種情況若此時(shí)Ito積分就不同于Riemann積分。Ito積分將保持鞅特性，而Riemman將不再具有鞅特性。例如如果衍生產(chǎn)品的標(biāo)的資產(chǎn)具有幾何分布，其方差則可表明Ito積分就不同于Riemann積分。用Riemann求和來大致估計(jì)Ito積分會導(dǎo)致自相矛盾，方法具體過程如下例：首頁89ppt課件2．第二種情況若此時(shí)Ito積分就不同于Riemann積分。I3．一個(gè)例子其中偏移量和方差率分別為假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格滿足隨機(jī)微分方程即兩個(gè)參數(shù)都比例于資產(chǎn)價(jià)格考慮一個(gè)小時(shí)間間隔，對隨機(jī)微分方程積分現(xiàn)在用Rieman求和來討論上式右邊的第二項(xiàng)積分的近似計(jì)算，看會有什么結(jié)果？首頁90ppt課件3．一個(gè)例子其中偏移量和方差率分別為假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格滿足隨機(jī)微分Rieman求和的一種近似計(jì)算是用子間隔的中點(diǎn)處的維納過程測值來計(jì)算。首先計(jì)算然后再乘以矩形的底得從而有兩項(xiàng)相關(guān)下面考慮上隨機(jī)微分方程的簡單形式則其新增項(xiàng)形式為首頁91ppt課件Rieman求和的一種近似計(jì)算是用子間隔的中點(diǎn)處的維納過程測用Riemann求和來大致估計(jì)這樣一個(gè)積分，根據(jù)底和高為矩形的面積可得由于期望這意味著上式右邊的條件期望不為0，即是可預(yù)測的，首頁92ppt課件用Riemann求和來大致估計(jì)這樣一個(gè)積分，根據(jù)底和高為矩形從而可知，用Riemann求和來估計(jì)Ito積分意味著新增干擾項(xiàng)有一個(gè)非零期望值，即但由于Ito積分存在條件：即有則Ito積分的近似計(jì)算必須是矛盾首頁93ppt課件從而可知，用Riemann求和來估計(jì)Ito積分意味著新增干擾注如果被積函數(shù)不是非預(yù)期的，則不能保證用來構(gòu)建Ito積分的部分求和的均方值會收斂為一個(gè)有效的隨機(jī)變量，即Ito積分根本就不存在。二、路徑積分考察在期間[0，T]內(nèi)資產(chǎn)價(jià)格間隔長度為分割：且有首頁94ppt課件注如果被積函數(shù)不是非預(yù)期的，則不能保證用來構(gòu)建Ito積分的部假設(shè)一個(gè)金融分析家要計(jì)算積分其有限求和形式為取特殊路徑則顯然但路徑積分在隨機(jī)過程中并不一定收斂。如首頁95ppt課件假設(shè)一個(gè)金融分析家要計(jì)算積分其有限求和形式為取特殊路徑則顯然取符號函數(shù)則有即故此路徑積分在隨機(jī)過程中不收斂。注路徑積分意義在計(jì)算路徑積分時(shí)，沒有用到與相聯(lián)系的概率，而是用實(shí)際測值來計(jì)算的。另一方面，Ito積分是用均方收斂值來計(jì)算并由隨機(jī)等式來決定。非預(yù)期重要性由于可預(yù)測的符號，函數(shù)能“看到未來情況”，則求和公式中各部分都為正，當(dāng)n增加時(shí)，就會發(fā)散。首頁96ppt課件取符號函數(shù)則有即故此路徑積分在隨機(jī)過程中不收斂。注路徑積分意三、Ito積分存在性存在的條件是也就是說的均方會收斂到某個(gè)稱為Ito積分的隨機(jī)變量首頁97ppt課件三、Ito積分存在性存在的條件是也就是說的均方會收斂到某個(gè)稱四、相關(guān)性Ito積分是一隨機(jī)過程，因此它有各種不同的量一次量即二次量協(xié)方差方差返回首頁98ppt課件四、相關(guān)性Ito積分是一隨機(jī)過程，因此它有各種不同的量一次量第四節(jié)Ito定理及應(yīng)用在隨機(jī)環(huán)境中，導(dǎo)數(shù)的概念是不存在的，資產(chǎn)價(jià)格的變動被認(rèn)為是不可預(yù)測的，且在連續(xù)時(shí)間內(nèi)變動太不規(guī)則，導(dǎo)致資產(chǎn)價(jià)格可能連續(xù)卻不光滑，必須用隨機(jī)微分來代替導(dǎo)數(shù)進(jìn)行計(jì)算。Ito規(guī)則給出了一個(gè)簡化隨機(jī)微分的公式，并給出了詳細(xì)的計(jì)算。一、導(dǎo)數(shù)類型在標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算中，所有變量都是確定型的，可以有三種類型的導(dǎo)數(shù)：首頁99ppt課件第四節(jié)Ito定理及應(yīng)用在隨機(jī)環(huán)境中，導(dǎo)數(shù)的概念是不存偏導(dǎo)數(shù)全微分鏈?zhǔn)綄?dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)在金融市場中作用偏導(dǎo)數(shù)為計(jì)算資產(chǎn)價(jià)格相對于風(fēng)險(xiǎn)因子的變化反應(yīng)提供了一個(gè)“乘數(shù)”。典型例子：是在計(jì)算套期保值參數(shù)中用到偏導(dǎo)數(shù)，假設(shè)一個(gè)市場參與者知道的函數(shù)形式，1則首頁100ppt課件偏導(dǎo)數(shù)全微分鏈?zhǔn)綄?dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)在金融市場中作用偏導(dǎo)數(shù)為計(jì)算資產(chǎn)價(jià)格因此對維納過程定義一個(gè)關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)不會有任何困難，但需要知道的不是隨時(shí)間的變化，而是假定在時(shí)間固定情況下，它對的小變化有什么反應(yīng)。23全微分是在假定時(shí)間和標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格都發(fā)生變動，而導(dǎo)致的變化，其結(jié)果就是隨機(jī)微分。它代表了在時(shí)間間隔內(nèi)衍生資產(chǎn)價(jià)格的變化，對市場交易者很有用。在標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算中，鏈?zhǔn)綄?dǎo)數(shù)表示一個(gè)變量相對于初始變量經(jīng)過某些連鎖效應(yīng)的最終變化速率。在隨機(jī)計(jì)算中，鏈?zhǔn)綄?dǎo)數(shù)指的是隨機(jī)微分相互間的關(guān)系，也就是全微分的隨機(jī)形式。首頁101ppt課件因此對維納過程定義一個(gè)關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)不會有任何困難，但需要知例1且則注但全微分同隨機(jī)事件的實(shí)際發(fā)生率有關(guān)，二者不同。上式給出的是對為非隨機(jī)變量的情況。首頁102ppt課件例1且則注但全微分同隨機(jī)事件的實(shí)際發(fā)生率有關(guān)，二者不同。首頁二、Ito定理的應(yīng)用（一）Ito定理則有Ito公式可得或首頁103ppt課件二、Ito定理的應(yīng)用（一）Ito定理則有Ito公式可得或首頁說明在分析金融衍生產(chǎn)品時(shí)，一旦知道標(biāo)的資產(chǎn)的隨機(jī)微分方程，運(yùn)用Ito公式就可得到金融衍生產(chǎn)品的隨機(jī)微分方程，即知道衍生資產(chǎn)價(jià)格的變化。例2求解因故有Ito定理可得首頁104ppt課件說明在分析金融衍生產(chǎn)品時(shí)，一旦知道標(biāo)的資產(chǎn)的隨機(jī)微分方程，運(yùn)因此得到在信息集下的的隨機(jī)微分方程，其偏移率和方差項(xiàng)為即漂移率是常數(shù)，方差依賴于信息集。例3若則有此時(shí)得到在信息集下的的隨機(jī)微分方程，其偏移率和方差項(xiàng)為首頁105ppt課件因此得到在信息集下的例4計(jì)算Ito積分解設(shè)得其相關(guān)積分等式故即注這個(gè)結(jié)果與本章第二節(jié)計(jì)算出來的結(jié)果相同，可作為計(jì)算Ito積分的工具。首頁106ppt課件例4計(jì)算Ito積分解設(shè)得其相關(guān)積分等式故即注這個(gè)結(jié)果與本章第例5計(jì)算積分解定義由Ito定理得其對應(yīng)的積分等式故首頁107ppt課件例5計(jì)算積分解定義由Ito定理得其對應(yīng)的積分等式故首頁45p注用Ito定理計(jì)算Ito積分的步驟123對新得到的隨機(jī)微分方程兩邊進(jìn)行積分處理，得到一個(gè)新的積分等式，該等式所包含的積分的計(jì)算要比原積分簡單。4重新排列積分等式各項(xiàng)，得到最終結(jié)果。首頁108ppt課件注用Ito定理計(jì)算Ito積分的步驟123對新得到的隨機(jī)微分方（二）伊托定理在遠(yuǎn)期合約定價(jià)中的應(yīng)用（補(bǔ)充內(nèi)容）現(xiàn)在以不支付股息的股票為例說明伊托定理在遠(yuǎn)期合約領(lǐng)域中的應(yīng)用。假定各個(gè)時(shí)期的無風(fēng)險(xiǎn)利率r等于常數(shù)，遠(yuǎn)期價(jià)格用F表示，則遠(yuǎn)期價(jià)格F與即期價(jià)格S之間的關(guān)系可表示為所以首頁109ppt課件（二）伊托定理在遠(yuǎn)期合約定價(jià)中的應(yīng)用（補(bǔ)充內(nèi)容）如果股票價(jià)格S遵循幾何布朗運(yùn)動，并且預(yù)期收益和波動率分別是和，即那么由伊托公式可得遠(yuǎn)期價(jià)格F變化的隨機(jī)過程為將代入上式，得可見，遠(yuǎn)期價(jià)格F與股票價(jià)格S一樣，也遵循幾何布朗運(yùn)動。但是，遠(yuǎn)期價(jià)格的預(yù)期增長率是，而不是。首頁110ppt課件如果股票價(jià)格S遵循幾何布朗運(yùn)動，并且預(yù)期收益和波動率分別是三、Ito定理的積分形式微分形式進(jìn)而可得Ito定理的另一特性：兩邊取積分，得積分形式該式說明關(guān)于維納過程和其它連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程的積分是用時(shí)間的積分函數(shù)表達(dá)出來的。注返回首頁111ppt課件三、Ito定理的積分形式微分形式進(jìn)而可得Ito定理的另一第五節(jié)更復(fù)雜情況下的Ito公式第一種是在某些條件下，函數(shù)可能不只是依賴于單一隨機(jī)變量，這樣就要用到多變量的Ito公式。不能直接使用Ito公式的兩種情況：第二種考慮金融市場受到小概率事件影響，這樣需要對隨機(jī)微分方程加上跳躍過程來決定資產(chǎn)價(jià)格，相應(yīng)的Ito公式會改變很多。首頁112ppt課件第五節(jié)更復(fù)雜情況下的Ito公式第一種是在某些條件下，函數(shù)一、多變量情況設(shè)