高等數(shù)學B-第四章第五節(jié)-定積分在物理上的應(yīng)用課件

第五節(jié)一、變力沿直線所作的功二、液體的側(cè)壓力三、引力問題四、轉(zhuǎn)動慣量(補充)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分在物理學上的應(yīng)用第五節(jié)一、變力沿直線所作的功二、液體的側(cè)壓力三、引力問1一、變力沿直線所作的功設(shè)物體在連續(xù)變力F(x)作用下沿x軸從x＝a移動到力的方向與運動方向平行,求變力所做的功.在其上所作的功元素為因此變力F(x)在區(qū)間上所作的功為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、變力沿直線所作的功設(shè)物體在連續(xù)變力F(x)作用下沿2例1.一個單求電場力所作的功.解:當單位正電荷距離原點r時,由庫侖定律電場力為則功的元素為所求功為說明:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束位正電荷沿直線從距離點電荷a處移動到b處(a<b),在一個帶+q電荷所產(chǎn)生的電場作用下,例1.一個單求電場力所作的功.解:當單位正電荷距離原點3例2.體,求移動過程中氣體壓力所解:由于氣體的膨脹,把容器中的一個面積為S的活塞從點a處移動到點b

處(如圖),作的功.建立坐標系如圖.由波義耳—馬略特定律知壓強

p與體積V成反比,即功元素為故作用在活塞上的所求功為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束力為在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣例2.體,求移動過程中氣體壓力所解:由于氣體的膨脹,把容4例3.試問要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:建立坐標系如圖.在任一小區(qū)間上的一薄層水的重力為這薄層水吸出桶外所作的功(功元素)為故所求功為(KJ

)設(shè)水的密度為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(KN)一蓄滿水的圓柱形水桶高為5m,底圓半徑為3m,例3.試問要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:建立5面積為A的平板二、液體側(cè)壓力設(shè)液體密度為深為h處的壓強:當平板與水面平行時,當平板不與水面平行時,所受側(cè)壓力問題就需用積分解決.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束平板一側(cè)所受的壓力為??面積為A的平板二、液體側(cè)壓力設(shè)液體密度為深為h處6小窄條上各點的壓強例4.

的液體,

求桶的一個端面所受的側(cè)壓力.解:建立坐標系如圖.所論半圓的利用對稱性,側(cè)壓力元素端面所受側(cè)壓力為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束方程為一水平橫放的半徑為R

的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為小窄條上各點的壓強例4.的液體,求桶的一個端面所受7說明:當桶內(nèi)充滿液體時,小窄條上的壓強為側(cè)壓力元素故端面所受側(cè)壓力為奇函數(shù)(P350公式67)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:當桶內(nèi)充滿液體時,小窄條上的壓強為側(cè)壓力元素故端面所受8三、引力問題質(zhì)量分別為的質(zhì)點,相距r,二者間的引力:大小:方向:沿兩質(zhì)點的連線若考慮物體對質(zhì)點的引力,則需用積分解決.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、引力問題質(zhì)量分別為的質(zhì)點,相距r,二者間的引力9例5.設(shè)有一長度為l,線密度為的均勻細直棒,其中垂線上距a單位處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點M,該棒對質(zhì)點的引力.解:建立坐標系如圖.細棒上小段對質(zhì)點的引力大小為故垂直分力元素為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束在試計算例5.設(shè)有一長度為l,線密度為的均勻細直棒,其中垂線10利用對稱性棒對質(zhì)點引力的水平分力機動目錄上頁下頁返回結(jié)束故棒對質(zhì)點的引力大小為棒對質(zhì)點的引力的垂直分力為利用對稱性棒對質(zhì)點引力的水平分力機動目錄上頁11說明:2)若考慮質(zhì)點克服引力沿y軸從a處1)當細棒很長時,可視l為無窮大,此時引力大小為方向與細棒垂直且指向細棒.移到b

(a<b)處時克服引力作的功,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則有說明:2)若考慮質(zhì)點克服引力沿y軸從a處1)當細12引力大小為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束注意正負號3)當質(zhì)點位于棒的左端點垂線上時,引力大小為機動目錄上頁下頁返回13四、轉(zhuǎn)動慣量(補充)質(zhì)量為m

的質(zhì)點關(guān)于軸l的轉(zhuǎn)動慣量為的質(zhì)點系若考慮物體的轉(zhuǎn)動慣量,則需用積分解決.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束關(guān)于軸l的轉(zhuǎn)動慣量為四、轉(zhuǎn)動慣量(補充)質(zhì)量為m的質(zhì)點關(guān)于軸l的轉(zhuǎn)動慣14例6.⑴

求圓盤對通過中心與其垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量;⑵求圓盤對直徑所在軸的轉(zhuǎn)動慣量.解:

⑴建立坐標系如圖.設(shè)圓盤面密度為.小圓環(huán)質(zhì)量對應(yīng)于的小圓環(huán)對軸l的轉(zhuǎn)動慣量為故圓盤對軸l的轉(zhuǎn)動慣量為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)有一個半徑為R,質(zhì)量為M的均勻圓盤,例6.⑴求圓盤對通過中心與其垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量;⑵求圓15平行y軸的細條關(guān)于y

軸的轉(zhuǎn)動慣量元素為細條質(zhì)量:故圓盤對y

軸的轉(zhuǎn)動慣量為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束⑵取旋轉(zhuǎn)軸為

y軸,建立坐標系如圖.平行y軸的細條關(guān)于y軸的轉(zhuǎn)動慣量元素為細條質(zhì)量:故圓16內(nèi)容小結(jié)(1)先用微元分析法求出它的微分表達式dQ一般微元的幾何形狀有:扇、片、殼等.(2)然后用定積分來表示整體量

Q,并計算之.1.用定積分求一個分布在某區(qū)間上的整體量Q的步驟:2.定積分的物理應(yīng)用:變力作功,側(cè)壓力,引力,轉(zhuǎn)動慣量等.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束條、段、環(huán)、帶、內(nèi)容小結(jié)(1)先用微元分析法求出它的微分表達式dQ一般17(99考研)思考與練習提示:作x軸如圖.1.為清除井底污泥,用纜繩將抓斗放入井底,泥后提出井口,纜繩每在提升過程中污泥以20N/s的速度從抓斗縫隙中漏掉,現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m/s,問克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重400N,將抓起污泥的抓斗由機動目錄上頁下頁返回結(jié)束抓起污x提升dx

所作的功為

米重50N,(99考研)思考與練習提示:作x軸如圖.1.為清除井底18提升抓斗中的污泥:井深30m,抓斗自重400N,纜繩每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m∕s,污泥以20N∕s的速度從抓斗縫隙中漏掉克服纜繩重:抓斗升至x處所需時間:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束克服抓斗自重:提升抓斗中的污泥:井深30m,抓斗自重400192.設(shè)星形線上每一點處線密度的大小等于該點到原點距離的立方,提示:如圖.在點O處有一單位質(zhì)點,求星形線在第一象限的弧段對這質(zhì)點的引力.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.設(shè)星形線上每一點處線密度的大小等于該點到原點距離的立方20同理故星形線在第一象限的弧段對該質(zhì)點的習題課目錄上頁下頁返回結(jié)束引力大小為作業(yè):

P2872,3,5,9,12同理故星形線在第一象限的弧段對該質(zhì)點的習題課目錄上21銳角取多大時,薄板所受的壓力P最大.備用題斜邊為定長的直角三角形薄板,垂直放置于解:

選取坐標系如圖.設(shè)斜邊長為l,水中,并使一直角邊與水面相齊,則其方程為問斜邊與水面交成的機動目錄上頁下頁返回結(jié)束銳角取多大時,薄板所受的壓力P最大.備用題斜22機動目錄上頁下頁返回結(jié)束故得唯一駐點故此唯一駐點即為所求.由實際意義可知最大值存在,即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束故得23第五節(jié)一、變力沿直線所作的功二、液體的側(cè)壓力三、引力問題四、轉(zhuǎn)動慣量(補充)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分在物理學上的應(yīng)用第五節(jié)一、變力沿直線所作的功二、液體的側(cè)壓力三、引力問24一、變力沿直線所作的功設(shè)物體在連續(xù)變力F(x)作用下沿x軸從x＝a移動到力的方向與運動方向平行,求變力所做的功.在其上所作的功元素為因此變力F(x)在區(qū)間上所作的功為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、變力沿直線所作的功設(shè)物體在連續(xù)變力F(x)作用下沿25例1.一個單求電場力所作的功.解:當單位正電荷距離原點r時,由庫侖定律電場力為則功的元素為所求功為說明:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束位正電荷沿直線從距離點電荷a處移動到b處(a<b),在一個帶+q電荷所產(chǎn)生的電場作用下,例1.一個單求電場力所作的功.解:當單位正電荷距離原點26例2.體,求移動過程中氣體壓力所解:由于氣體的膨脹,把容器中的一個面積為S的活塞從點a處移動到點b

處(如圖),作的功.建立坐標系如圖.由波義耳—馬略特定律知壓強

p與體積V成反比,即功元素為故作用在活塞上的所求功為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束力為在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣例2.體,求移動過程中氣體壓力所解:由于氣體的膨脹,把容27例3.試問要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:建立坐標系如圖.在任一小區(qū)間上的一薄層水的重力為這薄層水吸出桶外所作的功(功元素)為故所求功為(KJ

)設(shè)水的密度為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(KN)一蓄滿水的圓柱形水桶高為5m,底圓半徑為3m,例3.試問要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:建立28面積為A的平板二、液體側(cè)壓力設(shè)液體密度為深為h處的壓強:當平板與水面平行時,當平板不與水面平行時,所受側(cè)壓力問題就需用積分解決.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束平板一側(cè)所受的壓力為??面積為A的平板二、液體側(cè)壓力設(shè)液體密度為深為h處29小窄條上各點的壓強例4.

的液體,

求桶的一個端面所受的側(cè)壓力.解:建立坐標系如圖.所論半圓的利用對稱性,側(cè)壓力元素端面所受側(cè)壓力為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束方程為一水平橫放的半徑為R

的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為小窄條上各點的壓強例4.的液體,求桶的一個端面所受30說明:當桶內(nèi)充滿液體時,小窄條上的壓強為側(cè)壓力元素故端面所受側(cè)壓力為奇函數(shù)(P350公式67)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:當桶內(nèi)充滿液體時,小窄條上的壓強為側(cè)壓力元素故端面所受31三、引力問題質(zhì)量分別為的質(zhì)點,相距r,二者間的引力:大小:方向:沿兩質(zhì)點的連線若考慮物體對質(zhì)點的引力,則需用積分解決.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、引力問題質(zhì)量分別為的質(zhì)點,相距r,二者間的引力32例5.設(shè)有一長度為l,線密度為的均勻細直棒,其中垂線上距a單位處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點M,該棒對質(zhì)點的引力.解:建立坐標系如圖.細棒上小段對質(zhì)點的引力大小為故垂直分力元素為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束在試計算例5.設(shè)有一長度為l,線密度為的均勻細直棒,其中垂線33利用對稱性棒對質(zhì)點引力的水平分力機動目錄上頁下頁返回結(jié)束故棒對質(zhì)點的引力大小為棒對質(zhì)點的引力的垂直分力為利用對稱性棒對質(zhì)點引力的水平分力機動目錄上頁34說明:2)若考慮質(zhì)點克服引力沿y軸從a處1)當細棒很長時,可視l為無窮大,此時引力大小為方向與細棒垂直且指向細棒.移到b

(a<b)處時克服引力作的功,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則有說明:2)若考慮質(zhì)點克服引力沿y軸從a處1)當細35引力大小為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束注意正負號3)當質(zhì)點位于棒的左端點垂線上時,引力大小為機動目錄上頁下頁返回36四、轉(zhuǎn)動慣量(補充)質(zhì)量為m

的質(zhì)點關(guān)于軸l的轉(zhuǎn)動慣量為的質(zhì)點系若考慮物體的轉(zhuǎn)動慣量,則需用積分解決.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束關(guān)于軸l的轉(zhuǎn)動慣量為四、轉(zhuǎn)動慣量(補充)質(zhì)量為m的質(zhì)點關(guān)于軸l的轉(zhuǎn)動慣37例6.⑴

求圓盤對通過中心與其垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量;⑵求圓盤對直徑所在軸的轉(zhuǎn)動慣量.解:

⑴建立坐標系如圖.設(shè)圓盤面密度為.小圓環(huán)質(zhì)量對應(yīng)于的小圓環(huán)對軸l的轉(zhuǎn)動慣量為故圓盤對軸l的轉(zhuǎn)動慣量為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)有一個半徑為R,質(zhì)量為M的均勻圓盤,例6.⑴求圓盤對通過中心與其垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量;⑵求圓38平行y軸的細條關(guān)于y

軸的轉(zhuǎn)動慣量元素為細條質(zhì)量:故圓盤對y

軸的轉(zhuǎn)動慣量為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束⑵取旋轉(zhuǎn)軸為

y軸,建立坐標系如圖.平行y軸的細條關(guān)于y軸的轉(zhuǎn)動慣量元素為細條質(zhì)量:故圓39內(nèi)容小結(jié)(1)先用微元分析法求出它的微分表達式dQ一般微元的幾何形狀有:扇、片、殼等.(2)然后用定積分來表示整體量

Q,并計算之.1.用定積分求一個分布在某區(qū)間上的整體量Q的步驟:2.定積分的物理應(yīng)用:變力作功,側(cè)壓力,引力,轉(zhuǎn)動慣量等.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束條、段、環(huán)、帶、內(nèi)容小結(jié)(1)先用微元分析法求出它的微分表達式dQ一般40(99考研)思考與練習提示:作x軸如圖.1.為清除井底污泥,用纜繩將抓斗放入井底,泥后提出井口,纜繩每在提升過程中污泥以20N/s的速度從抓斗縫隙中漏掉,現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m/s,問克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重400N,將抓起污泥的抓斗由機動目錄上頁下頁返回結(jié)束抓起污x提升dx

所作的功為

米重50N,(99考研)思考與練習提示:作