線性規(guī)劃應用問題教案12

線性規(guī)劃應用問題教案1教學目標(1)幫助學生掌握用線性規(guī)劃的方法解決一些簡單的應用問題的基本思路和主要方法．在應用中培養(yǎng)學生的分析能力，判斷能力，作圖能力，計算能力．同時通過對線性規(guī)劃方法的實際應用，進一步加深對線性規(guī)劃有關知識的理解．(2)通過把簡單的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的實踐，逐步培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識和能力．教學重點和難點重點：用線性規(guī)劃的方法解決一些簡單的實際問題．解題的主要步驟和基本思路．難點：把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．具體說如何根據(jù)實際問題的條件，轉(zhuǎn)化為線性約束條件；如何把實際問題中要的結果轉(zhuǎn)化為線性目標函數(shù)．如何根據(jù)實際問題的要求確定最優(yōu)解．教學過程設計(一)教師提出問題，與學生邊議邊講邊示范．線性規(guī)劃這種數(shù)學方法在人們的生產(chǎn)、生活活動中有著重要的作用．下面我們通過兩個簡單的實際問題，來看一下，如何把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，然后用數(shù)學方法去解決實際問題．把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題是對同學的數(shù)學能力的考驗，有一定難度，大家在學習中要特別重視這種轉(zhuǎn)化．例1某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1t需耗A種礦石10t，B種礦石5t，煤4t；生產(chǎn)乙種產(chǎn)品1t，需耗A種礦石4t，B種礦石4t，煤9t，每1t甲種產(chǎn)品的利潤是600元，每1t乙種產(chǎn)品的利潤是1000元．工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求消耗A種礦石不超過300t，B種礦石不超過200t，煤不超過360t，甲、乙兩種產(chǎn)品應各生產(chǎn)多少(精確到1t)，能使利潤總額達到最大？分析首先必須反復認真看題，把問題中的條件，結論，已知量，要求量徹底搞清，這樣才能順利地把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．這個問題的結論是：甲、乙兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少，利潤總額最大．這里有三個未知量，我們用符號表示出來．設甲種產(chǎn)品生產(chǎn)xt，乙種產(chǎn)品生產(chǎn)yt，總利潤為z元．則z＝600x＋1000y這個問題是求z的最大值，而又提出一堆限制條件，即約束條件．因條件比較多，容易混淆，我們把它們列為一張表，可以較明顯地看清楚．顯然問題是在表中列出的限制條件下，求函數(shù)z＝600x＋1000y的最大值，是一個線性規(guī)劃問題．解設甲種產(chǎn)品生產(chǎn)xt，乙種產(chǎn)品生產(chǎn)yt，利潤總額為z元．則z＝600x＋1000y這個函數(shù)中，對x、y是有限制的，其約束條件是：作出可行域(如圖)作直線l0：600x＋1000y＝0即l0：3x＋5y＝0把直線l0向右上方平移至l1的位置，直線過M點與原點距離最大，z有最大值．答：應生產(chǎn)甲種產(chǎn)品約12t，乙種產(chǎn)品約34t，能使利潤總額達到最大．例2要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示．今需要A、B、C三種規(guī)格的成品各15、18、27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少？分析首先認真分析問題中的條件，已知量，未知量和結論．這個問題的結論是：兩種鋼板各用多少張，既達到問題的限制條件，且所用鋼板的總數(shù)最少．這里有三個未知量，我們用符號表示出來．設第一種鋼板用x張，第二種鋼板用y張，所用鋼板總數(shù)為z，則z＝x＋y．在截鋼板時，提出一堆限制條件，即約束條件，已反映在給出的表中．我們可把它用不等式組表示出來．顯然問題是在表中所列的限制條件下，求z＝x＋y的最小值，是一個線性規(guī)劃問題．解設需截第一種鋼板x張，需截第二種鋼板y張，約束條件為：目標函數(shù)z＝x＋y，作直線l0：x＋y＝0，優(yōu)解．這時A點所在的直線為x＋y＝11．找一條與x＋y＝11平行而且離原點最近的直線x＋y＝12，在這條直線上的整點有(0，12)，(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，(6，6)，(7，5)，(8，4)，(9，3)，(10，2)，(11，1)，(12，0)等等．但在可行域內(nèi)的整點只有B(3，9)和C(4，8)．這樣B(3，9)，C(4，8)是這個問題的最優(yōu)解．答：符合要求的截法有兩種：第一種截法是截第一種鋼板3張，第二種鋼板9張；第二種截法是截第一種鋼板4張，第二種鋼板8張．(二)教師指導學生課堂練習課本練習題2解設每天應配制甲種飲料x杯，乙種飲料y杯，咖啡館每天獲利z＝＋(元)x，y滿足約束條件在平面直角坐標系內(nèi)作出可行域，作直線l：＋＝0，把直線l向右上方平移至l1的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點C，且與原點距離最大，此時，z＝＋取最大值，得點C的坐標為(200，240)，所以，每天應配制甲種飲料200杯，乙種飲料240杯，獲利最大．(三)小結我們這里研究的簡單的線性規(guī)劃應用題屬于兩類：第一類：給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣安排運用這些資源，能使完成的任務量最大，收到的效益最大．第二類：給定一項任務，問怎樣統(tǒng)籌安排，能使完成這項任務的人力、物力資源量最小．一般步驟是：(1)仔細分析問題的條件和結論．確定變量和目標函數(shù)．(2)把題中的限制條件，用不等式組表示為線性約束條件．(3)在直角坐標平面上作出可行域．(4)用線性規(guī)劃的作圖